Bí quyết hai góc đáy: tìm chiều cao và diện tích bằng hình chiếu

Một khung tư duy độc lập để tìm chiều cao từ cạnh đáy và hai góc; đọc hình chiếu có dấu khi chân nằm ngoài, kiểm tra miền tam giác, giải bài ngược và phân…

Cập nhật: 2026-10-03

Môn: Toán · Tài liệu THCS

LUKATO BÍ QUYẾT TƯ DUY TOÁN

Bí quyết hai góc đáy: tìm chiều cao và diện tích bằng hình chiếu

Từ hai tam giác vuông đến chân chiếu có dấu, tam giác tù và cực đại diện tích

8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 20 câu tự kiểm tra

Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.

01

Hạ một đường cao, đọc hai góc cùng lúc

Biết một cạnh đáy và hai góc kề đáy, em đã đủ thông tin để dựng tam giác, tìm chiều cao và tính diện tích. Tuy nhiên, có một lựa chọn quyết định lời giải có ngắn và an toàn hay không: thay vì tìm cả hai cạnh bên, hãy hạ đường cao rồi đọc hai hình chiếu trên đường thẳng chứa đáy. Chiều cao trở thành chiếc cầu nối chung giữa hai góc.

Bài học này dùng một tam giác thống nhất: \triangle ABC có đáy BC=b>0, đỉnh A ở phía trên đường thẳng đáy, chiều cao AH=h>0. Hai góc kề đáy được ký hiệu B=\angle ABC và C=\angle ACB. Khi dùng ký hiệu B,C trong công thức lượng giác, ta đang nói về số đo góc chứ không phải độ dài.

Mục tiêu quan trọng không chỉ là nhớ một công thức. Em cần biết vì sao phép cộng hai cotang xuất hiện; vì sao một cotang có thể âm; vì sao chân đường cao nằm ngoài đáy mà diện tích vẫn tính được bằng cùng công thức; và vì sao di chuyển đỉnh theo chiều ngang có thể giữ diện tích không đổi trong một mô hình nhưng tạo cực đại trong mô hình khác.

Năng lực được luyện: phân tích hình thành hai tam giác vuông; định nghĩa tang và cotang; dùng hình chiếu có dấu trong tam giác tù; kiểm tra điều kiện tồn tại của tam giác; tính diện tích và đổi đơn vị; giải bài toán ngược; so sánh hình có cùng đáy, cùng chiều cao hoặc cùng góc đỉnh. Kiến thức nâng cao ở phần cực đại được chứng minh riêng, nên em có thể học công thức chiều cao trước rồi quay lại phần đó.

Cách học: đoán vị trí chân đường cao trước khi tính; ghi dấu của hai hình chiếu; tính chiều cao; sau cùng tính diện tích. Trong mỗi phòng thí nghiệm, một lần thay đổi tham số phải đi cùng một câu giải thích. Màn hình vẽ lại đúng hình không thay cho lý do vì sao công thức đúng.

Khởi động: tìm chiều cao mà không tìm cạnh bên

Cho BC=8\,\mathrm{cm}, B=45^\circ, C=30^\circ. Hãy dự đoán chân đường cao nằm trong hay ngoài đoạn BC, rồi tìm một cách tính AH không cần tìm AB,AC.

• Hai góc đáy đều nhọn nên chân đường cao nằm trong đoạn đáy. Gọi BH=x và HC=z; khi đó x+z=8.
• Trong tam giác vuông ABH, \tan45^\circ=h/x=1 nên x=h. Trong tam giác vuông ACH, \tan30^\circ=h/z=1/\sqrt3 nên z=\sqrt3h.

8=x+z=h+\sqrt3h=(1+\sqrt3)h

• Suy ra h=8/(1+\sqrt3)=4(\sqrt3-1)\,\mathrm{cm}. Đơn vị của chiều cao là độ dài, không phải diện tích.

Kết luận và kiểm tra

Chiều cao 4(\sqrt3-1)\,\mathrm{cm} được tìm bằng một phương trình tuyến tính. Diện tích là S=\tfrac12\cdot8\cdot4(\sqrt3-1)=16(\sqrt3-1)\,\mathrm{cm}^2. Điểm chung của hai tam giác vuông là cùng chiều cao h.

Câu hỏi định hướng trước khi bắt đầu

• Đường cao có phải luôn rơi bên trong cạnh đáy không? Hãy giữ câu hỏi này cho phần tam giác tù.
• Vì sao đổi \cot B+\cot C thành \tan B+\tan C thường làm đáp án sai?
• Giữ đáy và giữ chiều cao khác gì với giữ đáy và giữ góc đỉnh?
• Khi góc đáy gần tạo thành một đường thẳng, công thức có báo nguy cơ tam giác suy biến không?

Một phép kiểm tra trực giác cho ví dụ mở đầu: góc 45^\circ làm hình chiếu bên trái bằng chiều cao. Góc 30^\circ nhỏ hơn, nên hình chiếu bên phải dài hơn chiều cao. Tổng hai hình chiếu lớn hơn 2h, do đó h<4\,\mathrm{cm}. Kết quả 4(\sqrt3-1) thỏa mãn điều này. Ước lượng như vậy không thay lời giải, nhưng giúp phát hiện nhanh lỗi dùng nhầm tang với cotang.

02

Chứng minh công thức và miền hình học

Công thức cần một miền xác định hình học. Không phải mọi cặp số ghi ở ô góc đều tạo ra một tam giác. Với đỉnh nằm phía trên đáy và tam giác không suy biến, hai góc đáy phải dương, nhỏ hơn một góc bẹt, và tổng của chúng phải nhỏ hơn 180^\circ.

b>0,\qquad 0^\circ<B<180^\circ,\qquad 0^\circ<C<180^\circ,\qquad B+C<180^\circ

Góc đỉnh là A=180^\circ-B-C và phải dương. Hai góc đáy không thể đồng thời tù. Tuy nhiên, một góc đáy tù vẫn hoàn toàn hợp lệ nếu góc còn lại đủ nhỏ. Chúng ta sẽ dùng hình chiếu có dấu để cùng một công thức bao trùm trường hợp đó.

Định nghĩa cotang bằng tam giác vuông trước

Với góc nhọn \theta trong một tam giác vuông, \cot\theta là tỉ số cạnh kề trên cạnh đối. Nếu cạnh đối là chiều cao h và cạnh kề là hình chiếu dài x, thì \cot\theta=x/h. Đây là lý do công thức chiều cao dùng cotang: nó biến chiều cao chung thành độ dài ngang. Tang cho quan hệ đảo lại \tan\theta=h/x.

Chứng minh thứ nhất: cộng hai hình chiếu khi chân nằm trong đáy

Giả sử B,C<90^\circ nên H\in BC. Chứng minh h=b/(\cot B+\cot C).

• Từ tam giác vuông ABH, cạnh kề với góc B là BH, cạnh đối là AH. Do đó BH=h\cot B.
• Tương tự, trong ACH có HC=h\cot C. Cả hai độ dài đều dương vì hai góc nhọn có cotang dương.
• Cộng theo thứ tự các điểm B,H,C trên một đường thẳng: BC=BH+HC.

b=h\cot B+h\cot C=h(\cot B+\cot C)

• Vì \cot B+\cot C>0, chia hai vế cho tổng này. Chiều cao dương và có cùng đơn vị với đáy.

Kết luận và kiểm tra

h=\frac{b}{\cot B+\cot C},\qquad S=\frac{b^2}{2(\cot B+\cot C)}

Để tránh việc đổi công thức khi chân đường cao vượt ra ngoài đoạn đáy, chọn một trục ngang hướng từ B đến C. Đặt tọa độ B=(0,0), C=(b,0), A=(x,h), H=(x,0). Số x là tọa độ có dấu; nó không phải luôn là độ dài BH. Độ dài thật BH=|x|. Tương tự, b-x là hình chiếu có hướng từ phía C vào đáy; độ dài thật CH=|b-x|.

x=h\cot B,\qquad b-x=h\cot C

Nếu B<90^\circ, tia BA có thành phần ngang dương nên x>0. Nếu B=90^\circ, đỉnh đứng thẳng trên B nên x=0. Nếu B>90^\circ, đỉnh nằm về bên trái B nên x<0 và \cot B<0. Từ phía C, ba tình huống tương tự cho dấu của b-x. Việc có dấu giữ nguyên phép cộng x+(b-x)=b trong mọi trường hợp.

Chứng minh thứ hai: chân ngoài đáy vẫn dùng cùng phép cộng có dấu

Giả sử B>90^\circ, nên H nằm bên trái B. Chứng minh công thức chiều cao mà không cộng sai hai độ dài.

• Góc nhọn trong tam giác vuông ABH tại B là 180^\circ-B. Vì \cot(180^\circ-B)=-\cot B, độ dài BH=-h\cot B dương.
• Góc C vẫn nhọn. Tam giác vuông ACH cho CH=h\cot C.
• Thứ tự các điểm là H,B,C; vì thế BC=CH-BH. Phép trừ này bắt buộc bởi hình, không phải một điều chỉnh tùy ý.

b=h\cot C-(-h\cot B)=h(\cot B+\cot C)

• Nếu viết bằng tọa độ có dấu x=-BH, ta trở lại ngay x+(b-x)=b.

Kết luận và kiểm tra

Công thức không thay đổi; ý nghĩa của hình chiếu thay đổi. Khi một cotang âm, dấu âm đang ghi lại phần chân chiếu đi ra ngoài đáy. Không được thay nó bằng trị tuyệt đối rồi giữ phép cộng.

Còn trường hợp một góc đáy bằng 90^\circ? Cotang của góc vuông bằng 0 vì \cot\theta=\cos\theta/\sin\theta. Phần hình chiếu tương ứng bằng không. Công thức vẫn hợp lệ, vì góc đáy còn lại nhọn làm tổng cotang dương. Không nên tính cotang góc vuông bằng phép nghịch đảo giá trị tang trên máy, bởi tang tại góc vuông không xác định.

Một chứng minh dấu quan trọng

Trong miền tam giác, tổng cotang luôn dương, kể cả khi một cotang âm. Dùng công thức cộng sin:

\cot B+\cot C=\frac{\cos B\sin C+\sin B\cos C}{\sin B\sin C}=\frac{\sin(B+C)}{\sin B\sin C}

Ta có 0^\circ<B,C<180^\circ nên \sin B,\sin C>0. Đồng thời 0^\circ<B+C<180^\circ nên \sin(B+C)>0. Tất cả các dấu đã được kiểm tra; tổng cotang dương không đến từ việc từng hạng đều dương.

h=\frac{b\sin B\sin C}{\sin(B+C)},\qquad S=\frac{b^2\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}

Chứng minh thứ ba: kiểm tra công thức bằng tỉ số sin

Kiểm tra công thức chiều cao bằng một cách độc lập, dùng AB/\sin C=BC/\sin A và A=180^\circ-(B+C).

• Tỉ số sin cho AB=b\sin C/\sin A. Trong phép tính chiều cao, h=AB\sin B vẫn đúng cho góc B tù vì sin của góc bù bằng nhau.
• Suy ra h=b\sin B\sin C/\sin A. Do \sin A=\sin(B+C), công thức trùng dạng sin vừa suy ra từ tổng cotang.
• Phương pháp này tìm một cạnh bên rồi lấy thành phần vuông góc. Phương pháp hình chiếu tìm chiều cao trực tiếp. Hai đường lập luận độc lập gặp nhau ở cùng kết quả.

Kết luận và kiểm tra

Không bắt buộc dùng định lý sin để giải bài THCS này. Đây là một kiểm tra mở rộng giúp em thấy công thức không chỉ đúng ở một hình vẽ nhọn đặc biệt.

Vị trí chân đường cao · Dấu hình chiếu · Góc đáy tương ứng · Quan hệ độ dài đúng

0<x<b · x>0,\ b-x>0 · Hai góc đều nhọn · BC=BH+HC

x=0 · x=0,\ b-x=b · B=90^\circ · BC=HC

x=b · x=b,\ b-x=0 · C=90^\circ · BC=BH

x<0 · x<0,\ b-x>b · B>90^\circ · BC=CH-BH

x>b · x>b,\ b-x<0 · C>90^\circ · BC=BH-CH

Mọi công thức trong bài đều nói về diện tích không âm của tam giác. Ta quy ước h>0 là khoảng cách vuông góc giữa đỉnh và đường thẳng chứa đáy. Nếu dựng tam giác ở phía dưới trục ngang, tọa độ tung độ âm nhưng chiều cao vẫn là trị tuyệt đối của tung độ. Phòng thí nghiệm đặt đỉnh phía trên để giảm một lựa chọn dấu không cần thiết; công thức diện tích không phụ thuộc việc đỉnh nằm ở phía nào của đường thẳng.

03

Tám bí quyết kiểm soát hình chiếu

Tám bí quyết sau là một bộ kiểm soát lời giải. Thẻ nào cũng chỉ ra điều kiện và giới hạn, vì công thức đúng dễ bị dùng sai nhất khi hình vẽ có chân chiếu bên ngoài hoặc khi đề chuyển từ một điều kiện cố định sang điều kiện khác.

01

Hạ đường cao để hai góc cùng nói về một ẩn

Quy tắc. Chọn đáy đã biết, hạ đường cao từ đỉnh còn lại và gọi chiều cao h.

Vì sao đúng? Hai tam giác vuông cùng chứa h. Mỗi góc đáy cho một hình chiếu là bội của cùng chiều cao; cộng theo hướng đúng sẽ khôi phục cạnh đáy.

Điều kiện. Đáy khác không; đỉnh không nằm trên đường thẳng đáy.

Khi nào không dùng được? Nếu hình suy biến hoặc thiếu điều kiện xác định hai góc, một đường cao chưa đủ tạo đáp án duy nhất. Không tự giả định vị trí chân chiếu.

02

Dùng cotang khi biến từ chiều cao sang hình chiếu

Quy tắc. Viết hình chiếu có hướng x=h\cot B và b-x=h\cot C.

Vì sao đúng? Cotang là cạnh kề trên cạnh đối. Đã chọn chiều cao làm cạnh đối nên cotang biến h thành phần ngang.

Điều kiện. Góc đáy thuộc (0^\circ,180^\circ); cách mở rộng sang góc tù dùng sin và cos hoặc góc bù.

Khi nào không dùng được? Không dùng x=h\tan B. Công thức tang đúng là h=x\tan B khi các độ dài nằm trong tam giác vuông thích hợp.

03

Tọa độ có dấu không phải độ dài đoạn thẳng

Quy tắc. Ghi rõ x là tọa độ của H tính từ B; độ dài BH=|x|.

Vì sao đúng? Khi chân chiếu đi sang trái, tọa độ âm nhưng đoạn thẳng vẫn có độ dài dương. Dấu âm giúp phép cộng hình chiếu còn đúng.

Điều kiện. Trục được chọn hướng từ B sang C.

Khi nào không dùng được? Nếu chỉ viết BH=x trong mọi trường hợp thì em đã gán độ dài âm. Nếu thay mọi cotang bằng trị tuyệt đối thì em sẽ cộng sai phần đáy.

04

Kiểm tra tổng hai góc trước khi tính lượng giác

Quy tắc. Cần B>0,C>0,B+C<180^\circ và b>0.

Vì sao đúng? Góc còn lại bằng 180^\circ-B-C phải dương; tổng cotang nhờ đó luôn dương.

Điều kiện. Đang tính một tam giác không suy biến từ một cạnh đáy và hai góc kề.

Khi nào không dùng được? Cặp góc tổng bằng hoặc lớn hơn 180^\circ không tạo tam giác. Một con số máy vẫn in ra không thể sửa miền hình học sai.

05

Góc vuông làm một hình chiếu bằng không

Quy tắc. Dùng \cot90^\circ=0 và nhận ra H=B hoặc H=C.

Vì sao đúng? Đường cao trùng một cạnh bên; phần ngang về phía đỉnh vuông bằng không.

Điều kiện. Chỉ một góc đáy vuông, góc đáy còn lại dương và nhỏ hơn 90^\circ.

Khi nào không dùng được? Hai góc đáy không thể cùng vuông. Không tính 1/\tan90^\circ như một phép chia bình thường; hãy dùng \cos90^\circ/\sin90^\circ.

06

Tính diện tích bằng khoảng cách đến đường thẳng

Quy tắc. Dùng S=bh/2 dù chân đường cao nằm trên đoạn đáy hay phần kéo dài.

Vì sao đúng? Độ dài vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa đáy quyết định diện tích; độ dài ngang của chân chiếu không xuất hiện trong công thức.

Điều kiện. Đáy và chiều cao cùng đơn vị độ dài, chiều cao là khoảng cách dương.

Khi nào không dùng được? Không dùng cạnh bên thay chiều cao; không tự thay đáy bằng đoạn dài hơn từ chân ngoài đến một đầu mút.

07

Phân biệt những gì được giữ cố định

Quy tắc. Trước khi so sánh diện tích, ghi rõ đang giữ đáy và chiều cao hay giữ đáy và góc đỉnh.

Vì sao đúng? Cùng đáy, cùng chiều cao cho cùng diện tích. Cùng đáy, cùng góc đỉnh thì chiều cao thay đổi theo độ lệch hai góc đáy.

Điều kiện. Mọi tam giác trong phép so sánh đều không suy biến và thỏa cùng bộ điều kiện đã nêu.

Khi nào không dùng được? Không kết luận tam giác cân luôn lớn nhất trong mọi bài toán. Nếu chiều cao đã cố định, tất cả vị trí đỉnh trên đường song song đều cho cùng diện tích.

08

Giữ chính xác trước, làm tròn sau

Quy tắc. Giữ \cot B+\cot C hoặc dạng sin đầy đủ trong phép tính; chỉ làm tròn chiều cao và diện tích ở bước cuối.