Bí quyết phân thức chu kì: đọc cả vòng để tìm cận sắc
Chuyên đề tư duy THCS về phân thức chu kì: chứng minh cận sắc 2 không dùng đạo hàm, giải đầy đủ dấu bằng, chuẩn hóa tỉ lệ, phân biệt quay vòng và đối xứng…
LUKATO BÍ QUYẾT TƯ DUY TOÁN
Bí quyết phân thức chu kì: đọc cả vòng để tìm cận sắc
Chứng chỉ không âm, tỉ lệ thuần nhất và mọi điều kiện đạt giá trị lớn nhất
8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 18 câu tự kiểm tra
Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.
01
Cận của cả vòng khác cận của từng phần
Một phân thức có thể gần bằng một, nhưng ba phân thức trong một vòng liên hệ không thể đồng thời gần bằng một theo cùng một cách. Khi biến đứng ở tử của phân thức này lại xuất hiện ở mẫu của phân thức kế tiếp, việc tăng một phần thường làm mất lợi thế ở phần khác. Muốn tìm một cận sắc, ta cần đọc cả vòng liên hệ, thay vì cộng ba ước lượng riêng lẻ.
Với ba số thực dương x,y,z, xét biểu thức:
M(x,y,z)=\frac{2x}{2x+y}+\frac{2y}{2y+z}+\frac{2z}{2z+x}.
Câu hỏi của chuyên đề là: giá trị lớn nhất của M bằng bao nhiêu, đạt được ở những bộ nào và vì sao không có bộ nào cho giá trị cao hơn? Ta giải quyết bằng phép quy đồng và một bất đẳng thức ba số dương, không dùng đạo hàm. Kết luận hoàn chỉnh sẽ gồm cả cận lẫn điều kiện xảy ra dấu bằng.
Chu kì
Thứ tự x,y,z quay theo một vòng. Thay bằng y,z,x giữ nguyên biểu thức, nhưng đổi chỗ tùy ý hai biến chưa chắc giữ nguyên giá trị.
Thuần nhất
Nhân cả ba biến với cùng một số dương không thay đổi mỗi phân thức. Điều quyết định giá trị là tỉ lệ giữa các biến, không phải độ lớn tuyệt đối.
Cận sắc
Một cận trên chỉ trở thành giá trị lớn nhất khi có bộ số thuộc miền đã cho đạt nó. Đoán đúng một con số chưa đủ; cần chứng minh và mô tả mọi bộ dấu bằng.
Thử bằng nhau trước, nhưng chưa kết luận
Nếu x=y=z=t>0, mỗi phân thức bằng 2/3, nên M=2. Điều này chứng minh có ít nhất một bộ đạt giá trị 2, đồng thời cho một ứng viên rất tự nhiên cho giá trị lớn nhất. Tuy nhiên, một bộ thử không chứng minh các bộ khác đều nhỏ hơn hoặc bằng 2. Ta vẫn cần một lý do bao quát toàn bộ miền dương.
Nếu chỉ dùng 0<2x/(2x+y)<1, rồi cộng ba bất đẳng thức, ta có M<3. Đây là cận trên đúng nhưng chưa sắc. Việc tìm được giá trị 2 ở bộ bằng nhau không cho phép tự động thay số 3 bằng 2 trong kết luận. Bước thiếu chính là sự phối hợp giữa ba mẫu số.
Vì sao không thể cùng làm ba phân thức gần bằng một?
Để 2x/(2x+y) gần bằng 1, ta muốn y rất nhỏ so với x. Để phân thức thứ hai gần bằng 1, ta muốn z rất nhỏ so với y. Để phân thức thứ ba gần bằng 1, lại muốn x rất nhỏ so với z. Ba mong muốn tạo thành một vòng trái ngược. Diễn đạt này cho trực giác, còn một chứng minh chính xác sẽ biến xung đột của vòng thành một biểu thức không âm.
Đặt a=y/x, b=z/y, c=x/z. Khi đó a,b,c>0 và abc=1. Ta có:
M=\frac2{2+a}+\frac2{2+b}+\frac2{2+c},\qquad abc=1.
Ba tỉ số không độc lập: không thể cho cả ba cùng tiến về 0, vì tích của chúng luôn bằng 1. Cách viết này còn cho một điều thú vị: biểu thức ban đầu theo biến x,y,z là chu kì, nhưng biểu thức theo ba tỉ số a,b,c lại đối xứng. Đổi tên biến và đổi thứ tự trong vòng không phải cùng một thao tác; phải theo dõi cả mối quan hệ giữa các biến mới.
Mục tiêu học tập
Sau chuyên đề, bạn có thể phân biệt bất biến theo quay vòng với tính đối xứng; chuẩn hóa một bộ số mà không thay đổi giá trị; tự quy đồng để tìm chứng chỉ của cận; truy ngược mọi điều kiện dấu bằng; và phân biệt bộ số dương, bộ trên cạnh biên, cùng điểm có mẫu số bằng không. Đây là một phương pháp tư duy về cấu trúc phân thức, không chỉ một mẹo nhớ đáp số.
Dự đoán trước khi đọc tiếp. Hãy so sánh hai bộ (1,2,4) và (1,4,2). Nếu bạn đoán hai giá trị bằng nhau vì biểu thức có ba biến xuất hiện đều nhau, hãy giữ nguyên dự đoán để kiểm tra ở phần ví dụ. Tiếp đó, hãy dự đoán xem bộ (10,10,10) có cho giá trị lớn hơn bộ (1,1,1) hay không. Hai câu hỏi kiểm tra hai loại bất biến khác nhau.
Cận của tổng không phải cận bằng nhau cho từng số hạng
Ở bộ cân bằng, mỗi phân thức bằng 2/3, nhưng không được suy ra mỗi phân thức luôn không vượt 2/3. Thật vậy, 2x/(2x+y)>2/3 tương đương x>y, vì mẫu dương. Với bộ (1,2,4), số hạng thứ ba là 8/9>2/3, còn hai số hạng trước cùng bằng 1/2<2/3. Phần vượt ở một nơi được bù bởi phần giảm ở nơi khác. Cận 2 là một điều kiện của toàn bộ vòng.
Muốn cả ba số hạng đồng thời lớn hơn 2/3, ta cần x>y, y>z, z>x, điều không thể xảy ra. Nhận xét này giải thích tại sao ba phần không thể cùng vượt mức cân bằng, nhưng chưa tự chứng minh tổng không vượt hai: một phần có thể vượt nhiều hơn tổng mức giảm của các phần còn lại. Chứng chỉ quy đồng sẽ đo đúng sự bù trừ này bằng một tổng không âm, thay cho một trực giác chưa đủ định lượng.
02
Chứng chỉ không âm và mọi điều kiện dấu bằng
1. Đo khoảng cách tới cận thay vì ước lượng từng phần
Ứng viên cận trên là 2. Ta xét 2-M và tìm cách chứng minh biểu thức này không âm. Vì x,y,z>0, ba mẫu 2x+y, 2y+z, 2z+x đều dương. Do đó tích:
D=(2x+y)(2y+z)(2z+x)>0
là một mẫu chung hợp lệ. Nhân bất đẳng thức với D không đổi chiều; đây là lý do cần ghi miền dương trước khi quy đồng. Nếu cho phép các biến âm, thao tác nhân có thể đổi chiều hoặc mẫu có thể bằng không, nên chứng minh này không còn nguyên vẹn.
Tử số của M sau khi quy đồng là:
N=2x(2y+z)(2z+x)+2y(2z+x)(2x+y)+2z(2x+y)(2y+z).
Để kiểm soát khai triển, đặt hai tổng chu kì:
A=x^2y+y^2z+z^2x,\qquad B=xy^2+yz^2+zx^2.
Cả hai đều dương nhưng không nhất thiết bằng nhau. Chúng là hai hướng quay của các đơn thức bậc ba. Phải giữ từng nhóm theo đúng hướng, thay vì tùy ý gộp mọi đơn thức có cùng bậc.
2. Khai triển mẫu và tử theo hai hướng quay
Nhân hai thừa số đầu của mẫu chung:
(2x+y)(2y+z)=4xy+2xz+2y^2+yz.
Nhân tiếp với 2z+x, rồi nhóm các đơn thức:
D=9xyz+4A+2B.
Chẳng hạn, hệ số của xyz là 8+1=9; các đơn thức x^2y,y^2z,z^2x có hệ số 4; các đơn thức xy^2,yz^2,zx^2 có hệ số 2. Việc ghi bảng hệ số giúp phát hiện ngay một lỗi đổi chỗ biến trong khai triển.
Với tử số của phân thức đầu tiên, ta có:
2x(2y+z)(2z+x)=8xyz+4x^2y+4xz^2+2x^2z.
Cộng thêm hai biểu thức quay vòng của nó, các hệ số tổng hợp thành:
N=24xyz+8A+2B.
Vì M=N/D, ta tính chênh lệch bằng cách lấy 2D-N. Các nhóm A triệt tiêu hoàn toàn:
2D-N=2(9xyz+4A+2B)-(24xyz+8A+2B)=2B-6xyz.
Vậy chứng chỉ chính xác của cận là:
2-M=\frac{2(xy^2+yz^2+zx^2-3xyz)}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)}.
Đẳng thức này không phải một ước lượng. Nó đúng với mọi bộ mà ba mẫu khác không. Trong miền dương, mẫu của chứng chỉ dương, nên dấu của 2-M được quyết định bởi một tổng ba số dương trừ ba lần trung bình nhân của chúng.
3. Một bất đẳng thức ba số tạo toàn bộ cận
Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dương xy^2, yz^2, zx^2. Tích của ba số đó là x^3y^3z^3, nên:
xy^2+yz^2+zx^2\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz.
Tử số của chứng chỉ không âm, mẫu dương, do đó 2-M\ge0, hay M\le2. Đây là một bất đẳng thức cho cả vòng, không phải tổng ba cận riêng có thể mâu thuẫn với nhau.
4. Nếu chưa muốn dùng bất đẳng thức trung bình nhân
Ta có thể chứng minh chính phần không âm bằng một đẳng thức bình phương. Đặt:
u=\sqrt[3]{xy^2},\qquad v=\sqrt[3]{yz^2},\qquad w=\sqrt[3]{zx^2}.
Vì x,y,z>0, ba căn bậc ba đều dương và uvw=xyz. Công thức:
u^3+v^3+w^3-3uvw=\frac{u+v+w}{2}\bigl((u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2\bigr)
cho:
B-3xyz=\frac{u+v+w}{2}\bigl((u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2\bigr)\ge0.
Tất cả thừa số ngoài bình phương đều dương. Do đó chứng chỉ còn có thể viết thành:
2-M=\frac{(u+v+w)\bigl((u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2\bigr)}{D}.
Cách viết này giải thích rõ vì sao chênh lệch không âm và khi nào nó bằng không. Nó cũng nhắc ta rằng việc viết một biểu thức thành tổng bình phương cần đúng biến phụ; không được đoán rằng mọi đa thức không âm đều là tổng bình phương của các đa thức đơn giản theo biến gốc.
5. Truy ngược toàn bộ điều kiện dấu bằng
Vì mẫu D dương, M=2 khi và chỉ khi B=3xyz. Dấu bằng trong bất đẳng thức ba số dương xảy ra khi:
xy^2=yz^2=zx^2.
Chia các đẳng thức cho các thừa số dương thích hợp, ta được xy=z^2 và yz=x^2. Chia hai hệ thức này cho nhau:
\frac{xy}{yz}=\frac{z^2}{x^2}\quad\Longrightarrow\quad\frac{x}{z}=\frac{z^2}{x^2}\quad\Longrightarrow\quad x^3=z^3.
Do x,z>0, suy ra x=z. Thay vào xy=z^2 cho y=x. Vì vậy x=y=z. Chiều ngược cũng đúng: nếu ba biến bằng cùng một số dương, mỗi phân thức bằng 2/3, tổng bằng 2.
\max_{x,y,z>0}M=2,\qquad M=2\iff x=y=z>0.
Mọi bộ (t,t,t) với t>0 đều đạt cực đại. Không có một bộ duy nhất trong miền ban đầu. Nếu thêm chuẩn hóa x+y+z=1, chỉ còn bộ (1/3,1/3,1/3); nếu thêm xyz=1, chỉ còn (1,1,1). Điều kiện chuẩn hóa thay cách viết bộ dấu bằng, nhưng không đổi bản chất của cận.
6. Một cận dưới mở để hiểu toàn bộ khoảng giá trị
Cùng mẫu chung vừa tính còn cho:
M-1=\frac{N-D}{D}=\frac{15xyz+4A}{D}>0.
Vậy trong miền dương, 1<M\le2. Cận dưới 1 không đạt được, bởi tử số 15xyz+4A luôn dương. Tuy nhiên, có những bộ làm M gần 1 tùy ý: đặt x=t^2, y=t, z=1 với t>0. Khi đó:
M(t^2,t,1)=\frac{4t}{2t+1}+\frac2{2+t^2}.
Khi t tiến về 0 qua các giá trị dương, hai phân thức đầu của biểu thức gốc tiến về 0, phân thức cuối tiến về 1. Ta nói 1 là cận dưới đúng nhất, chứ không phải giá trị nhỏ nhất đạt được. Phân biệt hai khái niệm này rất hữu ích khi xét các đường tiến ra biên.
Lời giải ngắn sau khi đã hiểu cấu trúc
Với x,y,z>0, đặt D=(2x+y)(2y+z)(2z+x)>0. Quy đồng cho 2-M=2(xy^2+yz^2+zx^2-3xyz)/D. Theo bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, xy^2+yz^2+zx^2\ge3xyz, nên M\le2. Dấu bằng xảy ra khi xy^2=yz^2=zx^2, tương đương x=y=z>0. Các bộ này thực sự cho M=2, nên giá trị lớn nhất bằng 2. Đây là bản rút gọn của một lập luận đầy đủ, không bỏ qua mẫu số hay dấu bằng.
Đọc khai triển bằng bảng hệ số
Nếu chưa quen nhóm theo A và B, hãy đọc bảng dưới đây. Mỗi hàng ghi một đơn thức bậc ba, hệ số trong mẫu D và hệ số trong tử N. Cột cuối lấy hai lần cột mẫu trừ cột tử. Đây chính là phép quy đồng chênh lệch 2-M.
Đơn thức · Trong D · Trong N · Trong 2D-N
x^2y · 4 · 8 · 0
y^2z · 4 · 8 · 0
z^2x · 4 · 8 · 0
xy^2 · 2 · 2 · 2
yz^2 · 2 · 2 · 2
zx^2 · 2 · 2 · 2
xyz · 9 · 24 · -6
Bảng cho thấy vì sao một hướng quay biến mất, còn hướng ngược giữ lại. Với bộ (1,2,4), A=34, B=40, xyz=8, nên D=72+136+80=288, N=192+272+80=544. Từ đó M=544/288=17/9, chênh lệch là (576-544)/288=1/9. Việc đọc bảng theo từng đơn thức giúp bạn tự dựng lại chứng chỉ khi quên công thức rút gọn.
03
Tám bí quyết đọc cấu trúc phân thức
01
Thử bộ cân bằng để tìm ứng viên, không để chứng minh
Quy tắc. Cho x=y=z=t>0 và tính giá trị. Nếu ba phần bằng nhau, ghi lại giá trị đó làm ứng viên cận.
Vì sao đúng? Một bộ cân bằng thường phù hợp với cấu trúc quay vòng. Ở đây mỗi phân thức bằng 2/3, nên ứng viên là 2. Việc có bộ đạt giá trị ứng viên là một nửa của bài toán cực trị.
Điều kiện. Bộ thử phải thuộc miền đề bài. Nếu biến phải dương, cần t>0, không được dùng t=0 để tránh mẫu bằng không.
Khi nào không dùng được? Không được kết luận cực đại chỉ từ việc thử bộ bằng nhau. Biểu thức chu kì khác có thể đạt giá trị lớn hơn khi các biến không bằng nhau. Nửa còn lại là chứng minh mọi bộ đều không vượt ứng viên.
02
Chọn chênh lệch hướng về cận dự đoán
Quy tắc. Muốn chứng minh M\le2, bắt đầu từ 2-M và tìm một biểu thức không âm.
Vì sao đúng? Quy đồng chênh lệch làm các nhóm đơn thức triệt tiêu. Chỉ còn xy^2+yz^2+zx^2-3xyz, một dạng có điều kiện dấu bằng rõ ràng. Đây là lựa chọn dựa trên cấu trúc, không phải phép khai triển ngẫu nhiên.
Điều kiện. Phải kiểm tra mẫu chung dương nếu dùng dấu của tử để kết luận dấu của phân thức. Trong miền dương, D>0 là tự động nhưng vẫn cần được nêu.
Khi nào không dùng được? Nếu mẫu âm, dấu tử không quyết định cùng chiều. Nếu mẫu bằng không, biểu thức không được xác định. Không được nhân với mẫu trước rồi mới hỏi xem mẫu có hợp lệ hay không.
03
Gộp đơn thức theo hướng quay
Quy tắc. Viết A=x^2y+y^2z+z^2x và B=xy^2+yz^2+zx^2, rồi ghi hệ số của xyz, A, B riêng.
Vì sao đúng? Hai hướng quay có cùng bậc nhưng hệ số khác nhau: mẫu là 9xyz+4A+2B, tử là 24xyz+8A+2B. Nhóm đúng cho phép nhận ra ngay 2D-N=2B-6xyz.
Điều kiện. Phải giữ thứ tự biến thống nhất trong từng đơn thức. Với x,y,z khác nhau, không được coi A=B chỉ vì cả hai đều có ba số hạng.
Khi nào không dùng được? Đổi hai biến đảo hướng của nhóm đơn thức. Gộp A và B thành một tổng có cùng hệ số sẽ làm mất thông tin chu kì, tạo một chứng chỉ sai.
04
Chuẩn hóa đồng thời cả ba biến
Quy tắc. Nhân cả bộ với một hệ số k>0. Có thể chọn k=1/(x+y+z) để được tổng bằng 1, hoặc k=1/z để đặt biến thứ ba bằng 1.
Vì sao đúng? Trong mỗi phân thức, tử và mẫu đều bậc nhất, nên thừa số k triệt tiêu. Do đó M(kx,ky,kz)=M(x,y,z). Chuẩn hóa giảm một bậc tự do về kích thước.