Hai hình chiếu và điểm ngoài: nối đồng dạng, tiếp tuyến và tỉ số lượng giác
Từ hai hình chiếu đến hai đường tròn, chứng minh hệ thức tiếp tuyến - cát tuyến và tỉ số lượng giác. 8 bí quyết, 3 phòng thí nghiệm tương tác và 16 bài tự…
LUKATO · TOÁN TƯ DUY · CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC
Hai hình chiếu và điểm ngoài
Nối đồng dạng, tiếp tuyến và tỉ số lượng giác thành một mạch suy luận. Một hình chữ nhật nhỏ mở ra hai đường tròn; một giao điểm ngoài buộc ta kiểm soát thứ tự điểm; một trường hợp cân cho biết khi nào cả công thức lẫn hình vẽ phải đổi cách hiểu.
8 bí quyết có điều kiện 3 phòng thí nghiệm hình học 16 bài tự luyện có lời giải Chứng minh trước, kiểm tra sau
Mục tiêu học tập. Nhận diện các tam giác đồng dạng, chứng minh tứ giác nội tiếp, vận dụng hệ thức tiếp tuyến - cát tuyến, chuyển một đẳng thức hình học thành tỉ số lượng giác và phân biệt giao điểm hữu hạn với hai đường song song. Kiến thức nền: tam giác vuông, hình chiếu, đường tròn, đồng dạng, tỉ số lượng giác của góc nhọn.
CHƯƠNG 01 / 08
Đọc cấu hình: đường thẳng không phải đoạn thẳng
Cho tam giác ABC vuông tại A, đặt AB=p, AC=q, với 0<p<q. Từ A hạ đường cao AH xuống BC. Từ H hạ các đường vuông góc đến AB, AC, lần lượt tại M, N. Khi nói K=MN\cap BC, ta lấy giao của hai đường thẳng chứa các đoạn này, không ép giao điểm nằm bên trong các đoạn.
Bốn điểm gần đỉnh vuông
Vì HM\perp AB, HN\perp AC và AB\perp AC, ta có HM\parallel AC, HN\parallel AB. Tứ giác AMHN là hình chữ nhật: AM=HN, AN=HM; hai đường chéo AH, MN bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Điều này không làm MN song song với BC trong mọi tam giác. Hai đường chỉ song song ở trường hợp p=q, cần xét riêng.
Điểm xa làm đổi cách đọc
Với p<q, điểm K nằm ngoài tam giác, về phía B. Thứ tự trên đường thẳng cạnh huyền là K,B,H,C. Trên đường thẳng qua hai hình chiếu là K,M,N.
Vì vậy KC=KB+BC và KH=KB+BH. Dùng nhầm hiệu thay cho tổng có thể tạo ra một đáp số dương trông hợp lí nhưng sai hoàn toàn.
Hình mở đầu dùng p=3, q=5. Mọi điểm được tính từ cấu hình; các nét kéo dài được phân biệt với cạnh tam giác.
BÍ QUYẾT 01
Ghi thứ tự điểm trước khi viết độ dài
Đọc giao điểm trên đường thẳng kéo dài . Trong cấu hình 0<p<q, luôn dùng K,B,H,C và K,M,N.
Vì sao đúng?
Chứng minh vị trí bằng Thales. Các hệ thức ở chương 2 cho AM/AB=q^2/(p^2+q^2)>AN/AC=p^2/(p^2+q^2). Qua N kẻ đường song song BC, cắt AB tại E. Định lí Thales cho AE/AB=AN/AC, nên AE<AM; E nằm trong đoạn AM. Vì E không trùng M, MN không song song BC, do đó hai đường thẳng có giao điểm hữu hạn K.
Đoạn MN nằm trong tam giác, còn phần đường MN kéo dài vượt M đi sang nửa mặt phẳng ngoài qua AB; phần kéo dài vượt N đi sang nửa mặt phẳng ngoài qua AC. Vì vậy K không nằm trong đoạn BC: chỉ có thể ngoài B hoặc ngoài C.
Giả sử K ngoài C. Khi ấy thứ tự trên hai đường là K,C,B và K,N,M. Trong tam giác MKB, điểm N nằm trên cạnh MK; đường NE song song KB nên Thales buộc E nằm trong cạnh MB. Điều này trái với E nằm trong AM. Vậy giả sử sai, và K nằm ngoài B. Từ đó có thứ tự K,B,H,C và K,M,N.
Một cách kiểm tra có tính toán là dùng A=(0,0), B=(p,0), C=(0,q). Giao điểm có hoành độ lớn hơn p và tung độ âm khi q>p. Đó là dấu hiệu vị trí, không phải phép đo bằng mắt.
Điều kiện sử dụng. p,q là độ dài dương, p<q, H là chân đường cao và M,N đúng là các hình chiếu đã mô tả.
Khi nào cách dùng bị hỏng? Nếu đổi thành p>q, giao điểm ngoài nằm về phía C, thứ tự điểm thay đổi. Nếu p=q, hai đường song song và không có K hữu hạn. Nếu chỉ xét hai đoạn MN, BC, chúng không giao nhau trong trường hợp đang học.
“Không thấy giao điểm trong hình nên K không tồn tại”
Đây là nhầm lẫn giữa khung hình, đoạn thẳng và đường thẳng. Một khung vẽ có giới hạn, còn một đường thẳng không dừng ở mép khung. Muốn kiểm tra K, hãy xác định đường cần kéo dài, chiều kéo dài và điều kiện song song; không suy luận từ việc điểm có hiện trên màn hình hay không.
TỰ LUYỆN 01 · Cơ bản · 3 phút · Kĩ năng: Xác định tổng và hiệu
Xác định tổng và hiệu
Biết 0<p<q. Chọn cách viết đúng: A. KH=BH-KB; B. KC=KB+BC; C. KB=KC+BC; D. KN=KM-MN.
Mở đáp án và lập luận đầy đủ
Đáp án. B.
- Thứ tự K,B,H,C cho KC=KB+BC và KH=KB+BH.
- Thứ tự K,M,N cho KN=KM+MN.
- Chỉ phương án B phù hợp cả vị trí lẫn phép cộng đoạn thẳng. A, C, D đều đặt sai điểm nằm giữa.
Bẫy cần tránh. Không chọn bằng cách so sánh các đoạn vẽ với nhau: hình minh họa có thể bị thay đổi tỉ lệ hoặc cắt bớt.
Chuyển giao. Nếu đổi p>q, thứ tự trên cạnh huyền là B,H,C,K; lúc này KB=KC+BC. Chuyển được thứ tự thì mới chuyển được công thức.
TỰ LUYỆN 02 · Cơ bản · 4 phút · Kĩ năng: Phân biệt giao điểm và song song
Phân biệt giao điểm và song song
Tam giác vuông có AB=AC. Hai hình chiếu của H là M,N. Có thể đặt K=MN\cap BC như một điểm hữu hạn hay không? Giải thích bằng cấu hình.
Mở đáp án và lập luận đầy đủ
Đáp án. Không; MN\parallel BC.
- Trong tam giác vuông cân, đường cao từ đỉnh vuông đồng thời là trung tuyến, nên H là trung điểm BC.
- Đối xứng qua AH hoặc xét đường trung bình cho biết M,N là trung điểm của AB,AC.
- Vì vậy MN\parallel BC. Hai đường khác nhau không có giao điểm hữu hạn.
- Các điểm H,M,N vẫn tồn tại; chỉ những đại lượng chứa K mới không được định nghĩa.
Bẫy cần tránh. Không được nói “K trùng H”. Điểm H nằm trên BC nhưng không nằm trên MN.
Chuyển giao. Với AB=AC=6, ta có AM=AN=3, MN=3\sqrt2, AH=3\sqrt2: hai đường chéo hình chữ nhật vẫn bằng nhau dù K không tồn tại.
CHƯƠNG 02 / 08
Hình chiếu tạo một tích chung
Trước khi tìm K, hãy khai thác hai tam giác vuông có chung cạnh AH. Do AH\perp BC, tam giác ABH và tam giác ACH đều vuông tại H. Khi hạ HM xuống cạnh AB, rồi HN xuống cạnh AC, ta đang lấy hình chiếu của cạnh AH lên hai cạnh huyền khác nhau.
BÍ QUYẾT 02
Một cạnh chung, hai tích bằng nhau
Chứng minh từng tích bằng AH^2: AM\cdot AB=AH^2=AN\cdot AC.
Vì sao đúng?
Nhánh thứ nhất. Xét \triangle AMH và \triangle AHB. Góc AMH và góc AHB đều vuông; góc MAH=HAB vì AM cùng hướng với AB. Hai tam giác đồng dạng theo góc - góc, với sự tương ứng A\leftrightarrow A, M\leftrightarrow H, H\leftrightarrow B. Do đó
\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}\quad\Longrightarrow\quad AM\cdot AB=AH^2.
Nhánh thứ hai. Xét \triangle ANH và \triangle AHC. Góc ANH, AHC đều vuông; góc NAH=HAC. Sự tương ứng là A\leftrightarrow A, N\leftrightarrow H, H\leftrightarrow C. Suy ra AN/AH=AH/AC, nên AN\cdot AC=AH^2.
Ghép hai nhánh qua cùng đại lượng AH^2, ta có tích chung. Không cần một phép biến đổi dài và chưa hề dùng đến K.
Điều kiện sử dụng. Các góc vuông và hình chiếu phải đúng. Trong hệ thức này mọi độ dài đều dương vì tam giác không suy biến.
Khi nào cách dùng bị hỏng? Không được thay AM bằng BM tùy ý. Với cùng tam giác ABH, tích BM\cdot AB=BH^2, không phải AH^2. Nếu M là một điểm bất kì trên AB, nhánh đồng dạng mất đi.
Từ tích chung đến tỉ lệ dùng được
Chia cho tích dương AB\cdot AC, ta nhận được
\frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}=\frac qp.
Hai tam giác AMN và ACB vuông tại A; hai cặp cạnh góc vuông có tỉ lệ AM/AC=AN/AB. Do đó \triangle AMN\sim\triangle ACB. Thứ tự viết tên tam giác ở đây quyết định góc nào ứng với góc nào: M ứng với C, còn N ứng với B.
\angle AMN=\angle ACB,\qquad \angle ANM=\angle ABC.
Giữ đúng góc. Tích chung không dẫn tới AM/AN=AB/AC. Đảo nhầm tỉ lệ sẽ đổi chỗ hai góc nhọn. Nếu p<q, thì AM>AN; góc tại M của tam giác nhỏ phải là góc nhọn nhỏ hơn.
Gắn độ dài với cạnh huyền
Đặt d=p^2+q^2 và c=BC=\sqrt d. Từ hệ thức trong tam giác vuông:
BH=\frac{p^2}{c},\qquad HC=\frac{q^2}{c},\qquad AH=\frac{pq}{c}.
Thế vào tích chung, không cần đo hình, ta có:
AM=\frac{pq^2}{d},\qquad AN=\frac{p^2q}{d},\qquad BM=\frac{p^3}{d},\qquad CN=\frac{q^3}{d}.
Hai hệ thức cuối đến từ BM=AB-AM và CN=AC-AN. Chúng nhắc rằng hình chiếu chia mỗi cạnh theo một cấu trúc có điều kiện, không nhất thiết chia đôi.
TỰ LUYỆN 03 · Khá · 6 phút · Kĩ năng: Tính hai hình chiếu chính xác
Tính hai hình chiếu chính xác
Cho AB=6, AC=8. Tính BC,AH,AM,AN, rồi kiểm tra hai tích chung.
Mở đáp án và lập luận đầy đủ
Đáp án. BC=10, AH=24/5, AM=96/25, AN=72/25.
- BC=\sqrt{6^2+8^2}=10.
- AH=AB\cdot AC/BC=48/10=24/5.
- AM=AH^2/AB=(576/25)/6=96/25. Tương tự AN=(576/25)/8=72/25.
- AM\cdot AB=(96/25)\cdot6=576/25, còn AN\cdot AC=(72/25)\cdot8=576/25. Cả hai đều bằng AH^2.
Bẫy cần tránh. Số 24/5 là đường cao, không phải một trong hai hình chiếu. Không nhân thêm cạnh huyền khi dùng công thức tích.
Chuyển giao. Giữ AC=8, thay AB=6 thành AB=4: khi đó AH=8/\sqrt5, AM=16/5, AN=8/5. Tỉ lệ AM/AN=2 đúng bằng AC/AB.
TỰ LUYỆN 04 · Khá · 5 phút · Kĩ năng: Sửa một phép đồng dạng viết sai
Sửa một phép đồng dạng viết sai
Một bạn viết \triangle AMN\sim\triangle ABC, rồi kết luận \angle AMN=\angle ABC. Với AB=5, AC=12, sửa tên tam giác đồng dạng và tìm \tan\angle AMN.
Mở đáp án và lập luận đầy đủ
Đáp án. \triangle AMN\sim\triangle ACB, \tan\angle AMN=5/12.
- Tích chung cho AM/AN=AC/AB=12/5.
- Vì vậy AM ứng với AC, AN ứng với AB. Viết đúng là \triangle AMN\sim\triangle ACB.
- \angle AMN=\angle ACB. Trong tam giác nhỏ vuông tại A, cạnh đối góc tại M là AN, cạnh kề là AM.
- \tan\angle AMN=AN/AM=5/12.
Bẫy cần tránh. Không thể giữ một thứ tự tên sai rồi sửa một tỉ số đơn lẻ. Mọi cặp cạnh, góc phải khớp cùng một phép tương ứng.
Chuyển giao. Vẫn với 5,12, \tan\angle ANM=12/5. Hai góc phụ nhau trong tam giác vuông nên hai tang là nghịch đảo.
CHƯƠNG 03 / 08
Hai đường tròn có hai nhiệm vụ khác nhau
Cấu hình này chứa hai đường tròn tự nhiên. Nếu chỉ nhận ra một đường tròn, ta có thể chứng minh một tích đúng nhưng chưa nối được tới các đoạn KB,KC. Điều cần học là mỗi đường tròn xử lí một cặp đối tượng , rồi hai kết quả gặp nhau ở tích KM\cdot KN.
Đường tròn thứ nhất: AMHN
Đi qua hình chữ nhật AMHN, có đường kính AH, tâm là trung điểm AH. Đường BC tiếp xúc với đường tròn tại H. Đường KMN là cát tuyến.
Nhiệm vụ: nối KH^2 với KM\cdot KN.
Đường tròn thứ hai: MBCN
Đi qua bốn điểm M,B,C,N. Đường KBC và đường KMN đều là cát tuyến. Điểm H không được mặc nhiên xem là một điểm trên đường tròn này.
Nhiệm vụ: nối KB\cdot KC với cùng tích KM\cdot KN.
BÍ QUYẾT 03
Chứng minh nội tiếp bằng đúng một cặp góc
AMHN nội tiếp vì là hình chữ nhật; MBCN nội tiếp vì \angle BMN+\angle BCN=180^\circ.
Vì sao đúng?
Với đường tròn nhỏ. Góc AMH và ANH vuông. Vì thế M,N cùng nằm trên đường tròn đường kính AH. Hai điểm đầu đường kính là A,H, nên bốn điểm A,M,H,N đồng viên.
Với đường tròn qua hai đỉnh. Do M nằm giữa A,B, hai tia MA, MB đối nhau. Do N nằm giữa A,C, tia CN cùng hướng tia CA. Từ \angle AMN=\angle ACB, suy ra
\angle BMN=180^\circ-\angle ACB,\qquad \angle BCN=\angle ACB.
Hai góc đối của tứ giác MBCN cộng thành góc bẹt. Tứ giác không suy biến nên nội tiếp. Cách chứng minh dùng kiến thức góc THCS, không cần coi một phép kiểm tra số là chứng minh.
Điều kiện sử dụng. M,N phải nằm trong các cạnh AB,AC, hình không suy biến. Khi viết góc, cần dùng đúng tia MB thay vì MA.
Khi nào cách dùng bị hỏng? Đẳng thức hai góc bất kì không đủ kết luận nội tiếp. Cũng không được nói hai đường tròn có cùng tâm: tâm đường tròn AMHN là trung điểm AH; tâm đường tròn MBCN thường nằm ở vị trí khác.
Tiếp tuyến tại H: bán kính nào vuông góc?
Gọi O là trung điểm AH. Khi đó OH cùng đường thẳng với AH. Vì AH\perp BC, ta có OH\perp BC. Đường BC đi qua H và vuông góc bán kính OH, nên tiếp xúc với đường tròn AMHN tại H.
Điểm mấu chốt là bán kính OH, không phải bán kính của đường tròn qua M,B,C,N. Tiếp tuyến luôn gắn với một đường tròn xác định . Một đường có thể là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ và đồng thời là cát tuyến của đường tròn lớn.
“BC vừa là tiếp tuyến vừa là cát tuyến, nên có mâu thuẫn”
Không có mâu thuẫn. Với đường tròn AMHN, đường BC chỉ gặp tại H. Với đường tròn MBCN, nó gặp tại B,C. Mệnh đề về tiếp tuyến mà thiếu tên đường tròn là một mệnh đề thiếu thông tin.
TỰ LUYỆN 05 · Cơ bản · 4 phút · Kĩ năng: Chọn đúng đường tròn
Chọn đúng đường tròn
Trong cấu hình đã nêu, phát biểu nào đúng? A. BC tiếp xúc đường tròn MBCN tại H. B. BC tiếp xúc đường tròn AMHN tại H. C. MN là tiếp tuyến đường tròn AMHN. D. Hai đường tròn đều có đường kính AH.
Mở đáp án và lập luận đầy đủ
Đáp án. B.
- AMHN là đường tròn đường kính AH. Bán kính đến H nằm trên AH, vuông góc BC: B đúng.
- Với đường tròn MBCN, đường BC đi qua hai điểm khác nhau B,C, nên là cát tuyến. A sai.
- Đường MN đi qua hai điểm khác nhau của đường tròn nhỏ, nên là cát tuyến. C sai.
- Đường kính AH thuộc đường tròn nhỏ. Đường tròn qua M,B,C,N không đi qua A trong cấu hình không suy biến. D sai.
Bẫy cần tránh. H là tiếp điểm của đường tròn nhỏ; không thể chuyển nguyên vai trò của H sang đường tròn lớn.
Chuyển giao. Kiểm tra thêm: đường AB cắt đường tròn lớn tại M,B, đường AC cắt tại N,C. Từ điểm A, hai tích cát tuyến chính là tích chung ở chương 2.