Từ tích bằng tích đến tỉ số lượng giác: dây chuyền chứng minh nhiều ý
Bài giảng khái niệm lớp 9 dạy một dây chuyền bốn mắt xích: đọc tích thành tỉ lệ thức, tìm góc bằng, đổi đoạn thẳng thành sin cos tan và đóng bài bằng hằng…
Toán 9 · Đồng dạng · Hệ thức lượng
Từ tích bằng tích đến tỉ số lượng giác: dây chuyền chứng minh nhiều ý
Một bài hình nhiều ý thường chỉ là cùng một dây chuyền bốn mắt xích chạy đi chạy lại: đọc tích thành tỉ lệ thức, tìm góc bằng, đổi đoạn thẳng thành sin, cos, tan, rồi đóng lại bằng hằng đẳng thức lượng giác. Học dây chuyền một lần, dùng cho mọi bài.
4 mắt xích 3 công cụ có tên 3 phòng thí nghiệm 3 dây chuyền mẫu khoảng 75 phút
Lớp 9 Tam giác đồng dạng Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tỉ số lượng giác
Sau bài này em sẽ làm được:
- Nhìn một đẳng thức tích và nói ngay hai tam giác nào cần so sánh, và vì sao chọn như vậy.
- Nêu đúng lý do hai góc bằng nhau, kể cả khi hình thay đổi (góc A nhọn hay tù).
- Đổi tỉ số các đoạn thẳng thành sin, cos hoặc tan của một góc, rồi đóng bài bằng \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
1 Bản đồ: một dây chuyền, bốn mắt xích
Bài hình nhiều ý trông như năm bài riêng, nhưng người ra đề thường chỉ dựng một dây chuyền. Hiểu dây chuyền, em đọc được đề trước khi bắt đầu giải.
Dây chuyền là gì?
Ý a) cho em một đẳng thức tích, ví dụ AD\cdot AC=AE\cdot AB. Ý b) biến tích thành hai tam giác đồng dạng. Ý c) đọc tỉ số đồng dạng như \cos A hay \sin B của một góc. Ý d) đóng lại bằng một đẳng thức lượng giác. Bốn việc ấy là bốn mắt xích, và các đề khác nhau chỉ khác hình vẽ, không khác dây chuyền.
Hình 1. Bốn mắt xích của dây chuyền, đọc theo chiều mũi tên vàng: mỗi ý của bài hình là một mắt xích, mất một mắt xích thì các ý sau không đi tiếp được.
Mắt xích 1 Tích thành tỉ lệ thức: từ a\cdot b=c\cdot d viết \dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}, chọn hai tam giác.
Mắt xích 2 Tìm góc bằng và nêu lý do; kết luận đồng dạng bằng c.g.c hoặc g.g.
Mắt xích 3 Trong tam giác vuông, tỉ số hai đoạn là sin, cos hoặc tan của một góc.
Mắt xích 4 Đóng bằng \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 hoặc \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
Ba câu hỏi vàng
- Tích này gợi ra hai tam giác nào? (công cụ 1)
- Góc nào bằng nhau, và vì sao? (công cụ 2)
- Tỉ số này là sin, cos hay tan của góc nào, trong tam giác vuông nào? (công cụ 3)
CL
Cô Lukato
Em đừng học thuộc đáp án từng bài. Hãy học dây chuyền: mỗi lần gặp một đề hình nhiều ý, hỏi ba câu vàng theo thứ tự, và ghi mắt xích đang dùng bên cạnh mỗi dòng lập luận.
Công cụ 1 · Tích thành tỉ lệ thức
Dùng cho mắt xích 1. Biết cách chia nhóm các đoạn và khi nào cách chia bị hỏng. Phần 2.
Công cụ 2 · Tìm góc bằng
Dùng cho mắt xích 2. Bốn loại góc bằng nhau ở lớp 9 và một bảng kiểm. Phần 3.
Công cụ 3 · Từ đoạn sang sin
Dùng cho mắt xích 3 và 4. Đọc tỉ số đoạn thẳng thành sin, cos, tan, rồi "đổi hết về một góc" để đóng bài. Phần 4.
Đề dây chuyền 1
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD (D thuộc AC) và CE (E thuộc AB).
a) Chứng minh AD\cdot AC=AE\cdot AB. b) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC và viết tỉ số đồng dạng theo góc A. c) Suy ra DE=BC\cdot\cos A. d) Tính diện tích tam giác ADE và diện tích tứ giác BCDE theo diện tích tam giác ABC và góc A. e) Kiểm tra bằng số khi AB=10, AC=14, BD=8.
Hình 2. Dây chuyền 1 với AB=10, AC=14, BD=8: tam giác ADE (tô vàng) đồng dạng với tam giác ABC
Ví dụ 1 · Dây chuyền 1 chạy trọn bốn mắt xích
Mắt xích 1 Đọc tích thành tỉ lệ thức. Cần chứng minh AD\cdot AC=AE\cdot AB. Viết \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}: tử số AD,\,AB vào tam giác ABD, mẫu số AE,\,AC vào tam giác ACE.
Vì sao: mỗi nhóm có hai đoạn chung đầu mút A và không thẳng hàng, nên là hai cạnh của một tam giác.
Mắt xích 2 Góc bằng nhau. Xét tam giác ABD và tam giác ACE: góc ADB = góc AEC = 90^{\circ} (BD, CE là đường cao); góc BAD = góc CAE vì cùng là góc A (D thuộc tia AC, E thuộc tia AB). Suy ra tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE (g.g), nên \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}, tức là AD\cdot AC=AE\cdot AB. Xong ý a).
Vì sao: một cặp góc vuông chưa đủ; góc chung là cặp góc thứ hai (công cụ 2, loại "góc chung").
Mắt xích 1 Mắt xích 2 Đổi nhóm. Từ chính tích đó, chia nhóm theo cách kia: \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}. Tam giác ADE và tam giác ABC có góc DAE = góc BAC (góc chung) và hai cạnh kề tỉ lệ, nên đồng dạng (c.g.c), D ứng với B, E ứng với C. Tỉ số đồng dạng k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}. Xong ý b).
Vì sao: hai cách chia nhóm cho hai cặp tam giác khác nhau; cặp thứ hai cho phép so sánh DE với BC.
Mắt xích 3 Từ đoạn sang cos. Trong tam giác ABD vuông tại D: \cos A=\dfrac{AD}{AB} (cạnh kề chia cạnh huyền). Vậy k=\cos A và DE=k\cdot BC=BC\cdot\cos A. Xong ý c).
Vì sao: hai đoạn AD, AB cùng nằm trong tam giác vuông ABD và góc A là góc nhọn của tam giác đó. Tam giác ABC không vuông nên không dùng để đọc \cos A.
Mắt xích 4 Diện tích và hằng đẳng thức. Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k có tỉ số diện tích k^{2}: S_{ADE}=\cos^{2}A\cdot S_{ABC}. Phần còn lại S_{BCDE}=S_{ABC}-S_{ADE}=(1-\cos^{2}A)\,S_{ABC}=\sin^{2}A\cdot S_{ABC}. Xong ý d).
Vì sao: dùng \sin^{2}A+\cos^{2}A=1 để đổi 1-\cos^{2}A thành \sin^{2}A.
Thử bằng số (ý e). Tam giác ABD: AD=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6, \cos A=\dfrac{6}{10}=0{,}6, \sin A=\dfrac{8}{10}=0{,}8. AE=\dfrac{AD\cdot AC}{AB}=\dfrac{6\cdot 14}{10}=8{,}4. DC=14-6=8, BC=\sqrt{8^{2}+8^{2}}=8\sqrt{2}, DE=8\sqrt{2}\cdot 0{,}6=\dfrac{24\sqrt{2}}{5}\approx 6{,}79. S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 14\cdot 8=56, S_{ADE}=0{,}36\cdot 56=20{,}16, S_{BCDE}=0{,}64\cdot 56=35{,}84; cộng lại được 56.
Vì sao: số liệu phải khớp với công thức; mắt xích nào sai sẽ lộ ra ngay ở bước này.
Khi nào gãy. Mọi chỗ ghi "cùng nằm trên tia" ở bước 2 đều cần góc A nhọn. Khi A tù, D và E rơi ra phần kéo dài; phòng thí nghiệm 1 và ví dụ 3 ở phần 3 cho thấy cái gì còn đúng, cái gì phải sửa.
2 Công cụ 1 · Tích thành tỉ lệ thức
Mắt xích đầu tiên quyết định hai tam giác nào được đem ra so sánh. Chia nhóm sai là sai cả chuỗi phía sau.
Quy tắc
Từ a\cdot b=c\cdot d (các đoạn dương) suy ra \dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b} và \dfrac{a}{d}=\dfrac{c}{b}.
Mỗi tam giác nhận một thừa số ở vế trái và một thừa số ở vế phải. Có tối đa hai cách chia nhóm: \{a,\,c\} với \{b,\,d\}, hoặc \{a,\,d\} với \{b,\,c\}. Hai đoạn trong một nhóm phải chung một đầu mút và không thẳng hàng.
Trong tỉ lệ thức, mỗi phân số lấy một đoạn từ mỗi tam giác, và hai đoạn ấy là cạnh tương ứng.
Chọn cách nào? Chọn cách để hai đoạn trong mỗi nhóm là hai cạnh kề của một góc em chứng minh được bằng nhau (c.g.c). Nếu em chỉ có sẵn các góc vuông, hãy tìm thêm một góc nhọn bằng nhau (g.g).
Vì sao đúng
Tích bằng nhau là cách viết khác của hai tỉ số bằng nhau. Hai tam giác có hai tỉ số cạnh bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau thì đồng dạng, nên chia nhóm đúng chính là đặt các cạnh tương ứng vào cùng một phân số.
Khi nào gãy
- Nhóm có hai đoạn thẳng hàng (ví dụ AE và AB cùng nằm trên đường thẳng AB): không là hai cạnh của tam giác nào, loại nhóm đó.
- Nhóm có hai đoạn không chung đầu mút (ví dụ BD và CE): không tạo thành tam giác.
- Tích chưa chắc đúng: ghép nhầm cạnh tương ứng như AD\cdot AB=AE\cdot AC cho một tích sai. Phải kiểm tra bằng hình hoặc bằng số.
- Một cặp góc vuông chưa đủ để kết luận đồng dạng: cần cặp góc thứ hai.
PHÒNG THÍ NGHIỆM 1 Tích nào, tam giác nào?
Góc A = 53 độ
AB = 5
AC = 7
Chọn một đẳng thức tích để thử:
Cách chia nhóm hợp lệ (bấm để tô màu hai tam giác):
Góc A tù. Chân đường cao D, E nằm trên phần kéo dài (tia đối của AC, AB), không còn nằm trên đoạn. Hai góc DAE và BAC bây giờ là hai góc đối đỉnh. Tỉ số đồng dạng là |\cos A|, vì \cos A<0, và DE=BC\cdot|\cos A|.
Góc A = 90 độ. D và E trùng A, tam giác ADE co lại thành một điểm và \cos A=0. Đây là chỗ "chia cho một đại lượng có thể bằng 0" gây hỏng lập luận.
Tiến độ phép kiểm tra: 0 phần trăm
\cos A 0
AD 0
AE 0
DE 0
BC\cdot|\cos A| 0
S_{ADE}:S_{ABC} 0
\cos^{2}A 0
Sai lệch khi chồng khít 0
Em thấy gì: Hai vế của đẳng thức 1, 3, 4 luôn bằng nhau khi em kéo bất kì thanh trượt nào; hai vế của 2 và 5 chỉ bằng nhau khi AB = AC. Bấm "Kiểm tra" để xem tam giác ADE được lật rồi phóng lên khít tam giác ABC. Kéo góc A qua 90 độ để thấy D, E nhảy sang tia đối.
Bẫy ở mắt xích 1 · ghép nhầm cạnh tương ứng
Thấy AD, AE, AB, AC cùng xuất hiện, nhiều em viết ngay AD\cdot AB=AE\cdot AC. Tích đó sai (chỉ đúng khi AB=AC). Cách tránh: chia nhóm trước, đọc tỉ lệ thức theo từng phân số, rồi mới viết lại thành tích; và luôn thử bằng số hoặc kéo thanh trượt trong phòng thí nghiệm 1.
Ví dụ 2 · Cùng một cách đọc cho tích khác: AB\cdot AC=AH\cdot BC
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ghi tích dạng a\cdot b=c\cdot d: a=AB, b=AC ở vế trái; c=AH, d=BC ở vế phải.
Vì sao: vế trái gồm hai cạnh góc vuông, vế phải gồm đường cao và cạnh huyền.
Liệt kê nhóm , mỗi nhóm một đoạn từ mỗi vế. Cách I: \{AB,\,AH\} và \{AC,\,BC\}. Cách II: \{AB,\,BC\} và \{AC,\,AH\}.
Vì sao: chỉ có hai cách: ghép AB với một trong hai đoạn ở vế phải, đoạn còn lại ghép với AC.
Kiểm tra từng nhóm. Cách I: AB,\,AH chung đỉnh A, không thẳng hàng (tam giác ABH); AC,\,BC chung đỉnh C (tam giác ABC). Cách II: AB,\,BC chung đỉnh B (tam giác ABC); AC,\,AH chung đỉnh A (tam giác AHC). Cả hai cách đều hợp lệ.
Vì sao: nhóm hợp lệ khi hai đoạn chung đầu mút và không thẳng hàng.
Mắt xích 2 Chọn cách I và tìm góc bằng. Tam giác ABH và tam giác CBA có góc AHB = góc CAB = 90^{\circ} và góc B chung, nên đồng dạng (g.g) với A ứng C, H ứng A. Suy ra \dfrac{AB}{CB}=\dfrac{AH}{CA}, tức là AB\cdot AC=AH\cdot BC. Cách II cho cặp tam giác ABC và HAC với góc C chung và cũng ra đúng tích ấy.
Vì sao: cả hai cặp góc vuông đều có sẵn; góc nhọn chung (B hoặc C) là cặp thứ hai.
Thử bằng số. Với AB=4, AC=3, BC=5, AH=\dfrac{12}{5}: AB\cdot AC=12 và AH\cdot BC=\dfrac{12}{5}\cdot 5=12.
Vì sao: số liệu 3, 4, 5 và AH=\dfrac{3\cdot 4}{5} nhận từ diện tích tam giác, không phụ thuộc phép chứng minh vừa làm.
Bài 2.1 Mức 1 · Nhận biết
Trong dây chuyền 1 có AD\cdot AC=AE\cdot AB với AD=6, AB=10, AC=14. Tính AE (viết số thập phân).
Gợi ý 1. Chia hai vế của AD\cdot AC=AE\cdot AB cho AB: đoạn nào còn lại ở vế trái, đoạn nào ở vế phải?
Gợi ý 2. AE=\dfrac{AD\cdot AC}{AB}. Thay số rồi tính.
Chính xác! AE=\dfrac{6\cdot 14}{10}=8{,}4.
Em đã viết AE=\dfrac{AD\cdot AB}{AC}, tức là ghép nhầm AB với AD. Từ AD\cdot AC=AE\cdot AB phải chia cho AB, không chia cho AC.
Em đã tính \dfrac{AC\cdot AB}{AD}, đó là \dfrac{AB\cdot AC}{AD} chứ không phải AE. AE là đoạn ở vế phải cùng với AB.
Lời giải sẽ mở sau khi em kiểm tra hai lần hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Từ AD\cdot AC=AE\cdot AB chia hai vế cho AB: AE=\dfrac{AD\cdot AC}{AB}=\dfrac{6\cdot 14}{10}=\dfrac{84}{10}=8{,}4.
Kiểm tra bằng tam giác đồng dạng: \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{6}{8{,}4}=\dfrac{5}{7} và \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}.
Bài 2.2 Mức 2 · Vận dụng
Cho D thuộc AC, E thuộc AB và tích AD\cdot AB=AE\cdot AC. Mỗi nhóm phải gồm một đoạn ở mỗi vế, chung đầu mút và không thẳng hàng. Có đúng mấy cách chia nhóm hợp lệ? (nhập một số)
Gợi ý 1. Cách thứ nhất: \{AD,\,AE\} và \{AB,\,AC\}. Cách thứ hai: \{AD,\,AC\} và \{AB,\,AE\}.
Gợi ý 2. Trong cách thứ hai, AD và AC cùng nằm trên đường thẳng nào? AB và AE thì sao?
Chính xác! Chỉ còn cách \{AD,\,AE\}, \{AB,\,AC\}; và đó cũng là lý do tích này không cho tam giác ABD đồng dạng ACE.
Em đã đếm cả cách \{AD,\,AC\} và \{AB,\,AE\}. Nhưng AD, AC cùng nằm trên đường thẳng AC, còn AB, AE cùng nằm trên đường thẳng AB: không đoạn nào tạo thành tam giác, nên cách này bị loại.
Cách \{AD,\,AE\} và \{AB,\,AC\} hợp lệ: các cặp chung đỉnh A và nằm trên hai đường thẳng khác nhau.
Lời giải sẽ mở sau khi em kiểm tra hai lần hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Hai cách chia nhóm: (i) \{AD,\,AE\} với \{AB,\,AC\}: các đoạn chung đỉnh A và nằm trên hai đường thẳng khác nhau, hợp lệ. (ii) \{AD,\,AC\} với \{AB,\,AE\}: AD, AC cùng nằm trên đường thẳng AC nên không phải hai cạnh của tam giác, bị loại.
Vậy đáp số là 1. Cách duy nhất còn lại cho cặp tam giác ADE và ACB với D ứng C, E ứng B: \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}. Cặp này khác cặp ABD, ACE của dây chuyền 1, vì tích AD\cdot AB=AE\cdot AC khác tích AD\cdot AC=AE\cdot AB.
Bài 2.3 Mức 3 · Nâng cao
Tam giác nhọn MNP có MN=8, MP=10, NP=2\sqrt{21}. Đường cao NK (K thuộc MP) có MK=4; đường cao PL (L thuộc MN). Tính KL, làm tròn đến hai chữ số thập phân (hoặc viết dạng căn).
Gợi ý 1. Theo dây chuyền 1 (đổi tên đỉnh): tam giác MKL đồng dạng với tam giác MNP, K ứng N, L ứng P.
Gợi ý 2. Tỉ số đồng dạng là k=\dfrac{MK}{MN} (cạnh kề chia cạnh huyền trong tam giác vuông MNK); KL=k\cdot NP.
Chính xác! KL=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{21}=\sqrt{21}\approx 4{,}58.