Hình chữ nhật trong tam giác vuông: vì sao lớn nhất ở điểm giữa, và những đại lượng không có cực trị
Bài giảng hệ thống khái niệm về hình chữ nhật đặt ở góc vuông của tam giác vuông: đưa về một biến bằng đồng dạng, chặn bằng đỉnh parabol hoặc Cô-si, rồi phân…
Toán 9 · Cực trị hình học
Hình chữ nhật trong tam giác vuông: vì sao lớn nhất ở điểm giữa, và những đại lượng không có cực trị
Đây không phải một danh sách bài giải sẵn. Em sẽ học một cách nhìn: biến hình chữ nhật thành hàm một biến nhờ đồng dạng, chặn hàm đó bằng hai cách, rồi hỏi câu hỏi quan trọng nhất của mọi bài cực trị: đại lượng này có cực trị hay không, và nếu có thì có chạm tới được không.
Đồng dạng Đỉnh parabol Bất đẳng thức Cô-si Hệ thức lượng 4 phòng thí nghiệm kéo thả
- Công cụ 1: đưa hai kích thước về một biến, đọc đúng miền mở từ hình.
- Công cụ 2: chứng minh cận bằng đỉnh parabol hoặc Cô-si, rồi bắt buộc kiểm tra khả năng đạt.
- Công cụ 3: biết khi nào một đại lượng có cực trị, khi nào chỉ có cận mà không đạt.
1 Bản đồ khái niệm: một hình, ba câu hỏi, ba công cụ
Bài này chỉ có một hình duy nhất: hình chữ nhật đặt ở góc vuông của tam giác vuông. Từ hình đó em rút ra ba công cụ dùng lại được cho rất nhiều bài cực trị khác.
Bối cảnh chung của cả bài
Tam giác OAB vuông tại O, cạnh góc vuông OA=a nằm ngang, OB=b thẳng đứng. Hình chữ nhật OPFQ có đỉnh O, đỉnh P nằm trên OA, đỉnh Q nằm trên OB, còn đỉnh đối diện F nằm trên cạnh huyền AB. Đặt OP=x và OQ=y (cũng là PF=y).
Hình 1. F chạy trên cạnh huyền kéo theo hình chữ nhật co giãn; hai kích thước x và y không còn độc lập.
Ba câu hỏi của mọi bài cực trị trong hình học
- Biến nào, miền nào? Chọn đúng một biến và đọc miền của nó từ hình (miền mở hay đóng?).
- Cận nào, có chạm tới không? Chặn đại lượng cần tìm bằng một số, rồi hỏi: có vị trí nào đạt đúng số đó không?
- Đại lượng này có cực trị hay không? Cùng một hình chữ nhật nhưng diện tích, chu vi, đường chéo, tỉ số cư xử rất khác nhau.
Công cụ 1
Một biến từ đồng dạng
Hệ thức đoạn chắn \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1, miền 0<x<a, rồi S(x)=-\dfrac{b}{a}x^{2}+bx.
Trả lời câu hỏi 1.
Công cụ 2
Hai cách chứng minh cận
Đỉnh parabol hoặc Cô-si, luôn kết thúc bằng bước kiểm tra khả năng đạt.
Trả lời câu hỏi 2.
Công cụ 3
Có cực trị hay không?
Phân loại đại lượng theo dạng hàm: bậc hai có đỉnh, bậc nhất đơn điệu, hằng số, hàm giảm.
Trả lời câu hỏi 3.
Bản đồ loại bài
Loại bài · Công cụ cần dùng · Phần
Diện tích lớn nhất · Công cụ 1 rồi Công cụ 2 · 2, 3
Đề khoá miền hoặc x nguyên · Công cụ 2, đối chiếu đỉnh với miền · 3, 6
Chu vi, đường chéo, tỉ số · Công cụ 3 (xét dạng hàm trước) · 4
Chi phí, lợi nhuận · Đổi hàm mục tiêu, kỹ thuật không đổi · 6
Một cạnh nằm trên cạnh huyền · Đồng dạng theo chiều cao, rồi Công cụ 2 · 6 (Mở rộng)
Ba nhịp giải, dùng cho cả bài
Nhịp 1 - Chọn biến và miền. Nhịp 2 - Chặn. Nhịp 3 - Chạm (kiểm tra khả năng đạt). Thiếu nhịp nào, lời giải cũng chưa hoàn chỉnh.
Ví dụ 1 · Luống hoa lớn nhất trong mảnh vườn tam giác vuông
Mảnh vườn là tam giác vuông OAB với OA=52\,\text{m}, OB=39\,\text{m}. Em muốn trồng một luống hoa hình chữ nhật OPFQ với F thuộc AB. Đặt OP=x, OQ=y; diện tích luống là S=x\cdot y.
Vì sao làm bước này: một hình chữ nhật được xác định bởi hai kích thước, nên ta bắt đầu bằng hai ẩn rồi mới giảm xuống một.
Tam giác APF đồng dạng với tam giác AOB (chung góc A, cùng có một góc vuông). Suy ra \dfrac{PF}{OB}=\dfrac{AP}{AO}, tức \dfrac{y}{39}=\dfrac{52-x}{52}, nên y=39-0{,}75x.
Vì sao làm bước này: đồng dạng cho một ràng buộc hình học nối y với x, nhờ đó chỉ còn một ẩn.
Miền của x: F thuộc cạnh huyền nhưng không trùng A hay B, vì khi đó hình chữ nhật bị ép thành một đoạn thẳng. Vậy 0<x<52 (khoảng mở).
Vì sao làm bước này: miền quyết định về sau ta có quyền nói "đạt" hay không.
S(x)=x(39-0{,}75x)=-0{,}75x^{2}+39x.
Vì sao làm bước này: bài toán đã thành hàm bậc hai một biến, hệ số của x^{2} âm nên có điểm cao nhất.
Hoàn thành bình phương: S=507-0{,}75(x-26)^{2}. (Kiểm tra: 0{,}75(x-26)^{2}=0{,}75x^{2}-39x+507.)
Vì sao làm bước này: (x-26)^{2}\ge 0 nên S\le 507 với mọi x. Đây là bước chặn.
Kiểm tra khả năng đạt: dấu bằng khi x=26, mà 26 thuộc (0;52). Khi đó y=39-0{,}75\cdot 26=19{,}5, điểm F(26;19{,}5) chính là trung điểm của AB. Vậy diện tích lớn nhất là 507\,\text{m}^{2}.
Vì sao làm bước này: cận 507 chỉ trở thành giá trị lớn nhất khi có một hình chữ nhật thật sự đạt nó.
Nhận xét: diện tích tam giác là \dfrac{52\cdot 39}{2}=1014\,\text{m}^{2}, và 507=\dfrac{1014}{2}.
Vì sao làm bước này: luống tốt nhất chiếm đúng một nửa mảnh vườn. Đây có vẻ không phải ngẫu nhiên, và ở Phần 6 em sẽ thấy lý do.
GV
Cô Lukato
Hãy giữ lại con số 507 và hai chữ "trung điểm". Phần 2 trả lời câu hỏi "làm sao có công thức y=39-0{,}75x", Phần 3 trả lời "vì sao 507 là chặn", Phần 4 hỏi "những đại lượng nào khác cũng có chặn như vậy".
2 Công cụ 1 - Một biến từ đồng dạng
Hình chữ nhật có hai kích thước, nhưng F bị buộc phải nằm trên cạnh huyền nên thật ra chỉ còn một bậc tự do. Công cụ 1 biến nhận xét đó thành một công thức và một miền.
Quy tắc
Khi F thuộc cạnh huyền thì \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 (hệ thức đoạn chắn). Chọn x làm biến: y=b\left(1-\dfrac{x}{a}\right), miền 0<x<a, và S(x)=x\cdot y=-\dfrac{b}{a}x^{2}+bx.
Vì sao đúng
PF và OB cùng vuông góc với OA nên song song. Tam giác APF và tam giác AOB có chung góc A và đều có một góc vuông, nên đồng dạng (g.g). Tỉ số cạnh tương ứng bằng nhau: \dfrac{PF}{OB}=\dfrac{AP}{AO}, tức \dfrac{y}{b}=\dfrac{a-x}{a}=1-\dfrac{x}{a}.
Khi nào gãy
Hệ thức chỉ đúng khi F nằm trên cạnh huyền. Nếu hình chữ nhật chỉ nằm bên trong tam giác (đỉnh F tự do) thì x và y độc lập và không rút về một biến được. Hệ thức cũng sai nếu em đặt nhầm x và y lên hai cạnh khác nhau.
Hình 2. Tam giác vàng APF đồng dạng tam giác AOB: PF song song OB nên các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Cách đọc miền từ hình
Kéo F dần về phía A: x tiến tới a, y tiến tới 0 và hình chữ nhật bị ép thành đoạn thẳng OA, không còn là hình chữ nhật. Kéo F về phía B: hình chữ nhật bị ép thành đoạn OB. Vì hai vị trí này không cho hình chữ nhật thật, x chỉ nhận giá trị trong khoảng mở (0;a), không lấy hai đầu.
Phòng thí nghiệm 1 · Kéo điểm F thanh trượt + đồ thị
Cạnh a = OA
Cạnh b = OB
Vị trí điểm F: x =
x = OP
y = OQ
S = x nhân y
Cận ab/4
S so với diện tích tam giác
Chưa đạt cận
Em thấy gì: kéo F từ B sang A: diện tích tăng rồi giảm, đối xứng qua trung điểm M của cạnh huyền. Đổi a và b, điểm cao nhất của parabol luôn ở x=\dfrac{a}{2} và luôn bằng đúng một nửa diện tích tam giác (cột cuối trong bảng số).
Bẫy: nghĩ rằng x + y là hằng số
Nhiều bạn hình dung "đi sang phải bao nhiêu thì đi lên thấp đi bấy nhiêu" và viết y=b-x hoặc x+y=a. Cạnh huyền không phải đường dốc 45 độ trừ khi a=b. Với a=52, b=39 và F là trung điểm (26;19{,}5), tổng x+y=45{,}5 khác cả 52 lẫn 39.
Lệnh kiểm tra: thử ba điểm đặc biệt vào hệ thức: F\equiv B cho (0;b), F\equiv A cho (a;0), và trung điểm \left(\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2}\right). Hệ thức đúng phải thoả cả ba.
Ví dụ 2 · Tự rút hệ thức bằng hai cặp đồng dạng (a = 45, b = 36)
Vẽ OPFQ trong tam giác vuông có OA=45, OB=36. Vì PF và OB cùng vuông góc với OA nên PF song song OB.
Vì sao làm bước này: hai đường thẳng song song cho ta các góc bằng nhau, nền tảng của đồng dạng.
Cặp thứ nhất: tam giác APF đồng dạng tam giác AOB (g.g). Suy ra \dfrac{y}{36}=\dfrac{45-x}{45}.
Vì sao làm bước này: viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng để tỉ số các cạnh không bị đảo.
Cặp thứ hai (để kiểm chéo): QF song song OA nên tam giác BQF đồng dạng tam giác BOA, suy ra \dfrac{x}{45}=\dfrac{36-y}{36}.
Vì sao làm bước này: hai cặp đồng dạng khác nhau phải dẫn tới cùng một hệ thức, đó là cách tự kiểm tra không cần đáp án.
Cả hai đều đưa về \dfrac{x}{45}+\dfrac{y}{36}=1. Thử ba điểm: x=0 cho y=36 (F trùng B); x=45 cho y=0 (F trùng A); trung điểm (22{,}5;18) cho 0{,}5+0{,}5=1.
Vì sao làm bước này: ba điểm đặc biệt loại ngay các hệ thức sai như x+y=36.
Rút gọn: y=36\left(1-\dfrac{x}{45}\right)=36-0{,}8x, nên S(x)=36x-0{,}8x^{2} trên khoảng 0<x<45.
Vì sao làm bước này: từ đây mọi câu hỏi chỉ còn là bài toán về hàm một biến.
Thử một vị trí: x=18 cho y=21{,}6 và S=388{,}8, nhỏ hơn \dfrac{45\cdot 36}{4}=405.
Vì sao làm bước này: con số hợp lý, vì 18 chưa phải điểm giữa 22{,}5, nên diện tích còn thấp hơn mức cao nhất.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Mảnh vườn tam giác vuông có OA=45\,\text{m}, OB=36\,\text{m}. Luống hoa OPFQ có F thuộc AB và OP=x=18\,\text{m}. Tính y=OQ (mét).
Gợi ý 1. Viết hệ thức đoạn chắn \dfrac{x}{45}+\dfrac{y}{36}=1.
Gợi ý 2. Thay x=18: \dfrac{y}{36}=1-\dfrac{18}{45}.
Chính xác! y=36\left(1-\dfrac{18}{45}\right)=21{,}6\,\text{m}.
Em đã dùng x+y=36. Thử hệ thức đó tại x=45: nó cho y=-9, vô lý. Hệ thức đúng là \dfrac{x}{45}+\dfrac{y}{36}=1.
Em đã dùng x+y=45. Thử tại x=0: nó cho y=45, nhưng khi F trùng B thì y=36.
Em đã viết \dfrac{y}{36}=\dfrac{x}{45}, tức coi F nằm trên một đường thẳng qua O. Đồng dạng cho \dfrac{y}{36}=\dfrac{45-x}{45}.
Làm đúng, hoặc mở hết gợi ý, hoặc kiểm tra hai lần thì mới mở được lời giải.
Lời giải
\dfrac{y}{36}=1-\dfrac{18}{45}=\dfrac{27}{45}=0{,}6, nên y=36\cdot 0{,}6=21{,}6.
Kiểm tra: \dfrac{18}{45}+\dfrac{21{,}6}{36}=0{,}4+0{,}6=1.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Tấm kính tam giác vuông có OA=52\,\text{cm}, OB=39\,\text{cm}; ô kính OPFQ có F thuộc AB, OP=x. Viết diện tích dưới dạng S(x)=-m\,x^{2}+n\,x. Nhập m và n cách nhau dấu chấm phẩy, dạng thập phân (ví dụ 0,5; 7).
Gợi ý 1. Rút y theo x: y=39\left(1-\dfrac{x}{52}\right).
Gợi ý 2. S=x\cdot y=39x-\dfrac{39}{52}x^{2}.
Chính xác! S(x)=-0{,}75x^{2}+39x, tức m=0{,}75, n=39.
Em đã dùng y=39-x, tức x+y=39. Hệ thức đúng là \dfrac{x}{52}+\dfrac{y}{39}=1, cho y=39-0{,}75x.
Em đã đổi chỗ: m là hệ số của x^{2}, còn n là hệ số của x.
Dấu âm đã nằm sẵn trong -m\,x^{2}, nên m là số dương.
Làm đúng, hoặc mở hết gợi ý, hoặc kiểm tra hai lần thì mới mở được lời giải.
Lời giải
y=39\left(1-\dfrac{x}{52}\right)=39-0{,}75x.
S=x\cdot y=39x-0{,}75x^{2}, vậy m=0{,}75 và n=39. Biểu thức này cũng cho thấy đỉnh ở x=\dfrac{39}{2\cdot 0{,}75}=26.
Bài 3 Mức 3 · Nâng cao
Trong tam giác vuông OA=52\,\text{m}, OB=39\,\text{m}, luống hoa OPFQ có chiều ngang gấp đôi chiều đứng: x=2y. Tính x (mét).
Gợi ý 1. Thay x=2y vào \dfrac{x}{52}+\dfrac{y}{39}=1.
Gợi ý 2. \dfrac{2y}{52}+\dfrac{y}{39}=\dfrac{y}{26}+\dfrac{y}{39}=\dfrac{5y}{78}.
Chính xác! x=31{,}2\,\text{m} và y=15{,}6\,\text{m}.
Em đã dùng x+y=39 rồi giải 3y=39. Hệ thức đúng là \dfrac{x}{52}+\dfrac{y}{39}=1, tức \dfrac{5y}{78}=1.
Em đã dùng x+y=52. Hệ thức đúng là \dfrac{x}{52}+\dfrac{y}{39}=1.
15{,}6 là y. Đề hỏi x=2y.
Làm đúng, hoặc mở hết gợi ý, hoặc kiểm tra hai lần thì mới mở được lời giải.
Lời giải
\dfrac{2y}{52}+\dfrac{y}{39}=\dfrac{5y}{78}=1, nên y=15{,}6 và x=2y=31{,}2.
Kiểm tra: \dfrac{31{,}2}{52}+\dfrac{15{,}6}{39}=0{,}6+0{,}4=1. Diện tích 31{,}2\cdot 15{,}6=486{,}72\,\text{m}^{2}, nhỏ hơn mức cao nhất 507\,\text{m}^{2}.
Điểm F(x;y) chạy trên cạnh huyền AB của tam giác vuông OAB với OA=a, OB=b, a\ne b. Hệ thức nào đúng với mọi vị trí của F?
Sai. Khi F trùng A ta có x=a, y=0, hệ thức này cho a=b, mâu thuẫn với a\ne b.
Sai. Đã đổi chỗ hai cạnh. Khi F trùng A nó cho \dfrac{a}{b}=1.
Đúng. Đồng dạng cho \dfrac{y}{b}=1-\dfrac{x}{a}, và hệ thức thoả cả ba điểm B, A, trung điểm.
Sai. Hệ thức này chỉ đúng tại trung điểm. Khi F trùng B ta có x=0, y=b và nó cho 0=1.
3 Công cụ 2 - Hai cách chứng minh cận
Có hàm S(x) rồi, ta cần hai việc khác nhau: chứng minh S không bao giờ vượt một số M, và chỉ ra S thật sự chạm M. Nhiều lời giải làm việc thứ nhất rất đẹp rồi quên việc thứ hai.
Quy tắc - Chặn rồi chạm
Bước 1, chặn: chứng minh S\le M với mọi x trong miền. Bước 2: giải điều kiện dấu bằng. Bước 3, kiểm tra khả năng đạt: giá trị x của dấu bằng phải nằm trong miền . Chỉ khi đó M mới là giá trị lớn nhất.
Vì sao đúng
Một số M chỉ là "chặn trên" nếu mọi giá trị đều không vượt M. Số 600 cũng là chặn trên của diện tích trong Ví dụ 1, nhưng không hình chữ nhật nào đạt 600. Giá trị lớn nhất đòi hỏi thêm một hình chữ nhật thật sự có diện tích đúng bằng M.
Khi nào gãy
Dấu bằng rơi ra ngoài miền (đề khoá miền, đề cho x nguyên) thì M vẫn là chặn đúng nhưng không còn là giá trị lớn nhất. Cô-si còn gãy thêm một điều kiện nữa: hai số phải có tổng không đổi .
Cách 1 - Đỉnh parabol, hoàn thành bình phương
S=-\dfrac{b}{a}x^{2}+bx=-\dfrac{b}{a}\left(x^{2}-ax\right)
=-\dfrac{b}{a}\left[\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}\right]
=\dfrac{ab}{4}-\dfrac{b}{a}\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}\le\dfrac{ab}{4}
Vì \left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}\ge 0. Dấu bằng khi x=\dfrac{a}{2}.