Phương hướng và góc lệch: đọc đề thành tam giác vuông, rồi nối quãng đường với thời gian
Ba công cụ giúp học sinh lớp 9 biến câu chỉ hướng thành tam giác vuông, chọn đúng tỉ số lượng giác và tính thời gian di chuyển, kèm ba phòng thí nghiệm tương…
Toán 9 · Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Phương hướng và góc lệch: đọc đề thành tam giác vuông, rồi nối quãng đường với thời gian
Một câu đề về tàu cứu hộ, máy bay không người lái hay đoàn leo núi thường chỉ nói bằng hướng, góc và vận tốc. Bài giảng này đưa cho em ba công cụ có tên gọi rõ ràng để biến câu chữ đó thành một tam giác vuông, chọn đúng tỉ số lượng giác, rồi nối chiều dài tìm được với thời gian.
Khoảng 90 phút 3 phòng thí nghiệm tương tác Vận dụng đến Nâng cao
- Đọc một câu hướng đi và vẽ đúng góc nằm ở đâu trong tam giác vuông.
- Chọn sin, cos, tan hay cot bằng một quy trình bốn bước, không đoán mò.
- Nối hai tầng: hình học cho chiều dài, chiều dài chia vận tốc cho thời gian, làm tròn đúng chỗ.
1 Bản đồ ba công cụ
Hai bài toán trông rất khác nhau có thể dùng chung một bộ máy. Trước khi tính, em cần biết mình đang cầm công cụ nào.
Ba công cụ của bài giảng
Công cụ 1 Đọc hướng. Biến câu "lệch góc \alpha so với hướng Bắc" thành một tam giác vuông có góc đặt đúng vị trí.
Công cụ 2 Chọn tỉ số. Gọi tên ba cạnh theo góc em biết, rồi chọn sin, cos, tan hoặc cot theo cạnh đã cho và cạnh cần tìm.
Công cụ 3 Hai tầng nối nhau. Tầng 1 là hình học cho một chiều dài. Tầng 2 dùng chiều dài đó và vận tốc để ra thời gian, đổi đơn vị và làm tròn ở bước cuối.
Câu hỏi 1 Góc nào em thật sự biết, và nó nằm ở đỉnh nào của tam giác vuông?
Câu hỏi 2 Với góc đó, cạnh đã cho và cạnh cần tìm là đối, kề hay huyền?
Câu hỏi 3 Chiều dài vừa tìm có phải đáp số không, hay còn một tầng nữa là thời gian?
Hình 1. Ba công cụ được dùng theo thứ tự. Công cụ sau luôn cần kết quả của công cụ trước.
Bức tranh gốc của cả bài giảng là một tàu rời bến trên bờ biển thẳng. Hãy nhìn nó thật kĩ, vì mọi bài sau đều là biến thể của hình này.
Hình 2. Bức tranh gốc. Đường Bắc - Nam (nét đứt) vuông góc với bờ. Góc lệch \alpha xuất hiện hai lần: giữa đường Bắc - Nam và đường đi tại P, và (do so le trong) tại đỉnh B của tam giác vuông PHB.
LK
Cô Lukato
Nhiều em thấy góc \alpha ở chỗ đề nói, tức là ở bến P, rồi tính ngay. Hãy hỏi: góc đó nằm giữa hai đường nào? Nếu một đường là đường Bắc - Nam thì nó chưa phải là góc của tam giác vuông ta cần.
Ví dụ mở đầu · Tàu cứu hộ rời bến
Đề. Bờ biển thẳng chạy theo hướng đông - tây. Tàu cứu hộ rời bến P, chạy 7,5 km theo hướng lệch 34 độ so với hướng Bắc về phía Đông thì dừng ở B. Tính khoảng cách từ B tới bờ. Sau đó tàu quay mũi chạy thẳng vào bờ (vuông góc với bờ) với vận tốc 18 km/h. Hỏi mất bao nhiêu phút?
Vì sao đọc đề trước: đề có hai tầng. Tầng 1 hỏi một chiều dài, tầng 2 hỏi thời gian.
Công cụ 1. Vẽ bờ nằm ngang và đường Bắc - Nam thẳng đứng qua P. Vẽ đường đi PB lệch 34^{\circ} so với phía Bắc, về bên phải (phía Đông). Từ B hạ đường vuông góc xuống bờ, chân là H. Ta được tam giác PHB vuông tại H.
Vì sao hạ vuông góc: khoảng cách từ điểm tới đường thẳng luôn là độ dài đường vuông góc, nên đoạn BH mới là "khoảng cách tới bờ".
Đặt góc đúng chỗ. BH song song với đường Bắc - Nam (cùng vuông góc với bờ). Hai góc so le trong cho \hat{B}=34^{\circ}. Còn góc tại P giữa đường đi và bờ là 90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ}.
Vì sao em chọn góc tại B: đó là góc em biết trực tiếp từ đề. Đối với góc \hat{B}: PB là huyền, BH là cạnh kề, PH là cạnh đối.
Công cụ 2. Đã cho huyền PB, cần tìm cạnh kề BH, nên dùng \cos\hat{B}=\dfrac{BH}{PB}. Vậy
\begin{aligned}BH&=PB\cdot\cos 34^{\circ}\\&=7{,}5\cdot 0{,}829038\\&\approx 6{,}2178\ \text{(km)}\end{aligned}
Khoảng cách từ tàu tới bờ khoảng 6,2 km.
Vì sao chưa làm tròn: ta giữ nguyên số 6,2178 trên máy để dùng cho tầng 2 và chỉ làm tròn khi báo đáp số.
Công cụ 3. Thời gian bằng quãng đường chia vận tốc:
t=\dfrac{BH}{v}=\dfrac{ 6{,}2178 }{ 18 }\approx 0{,}345432\ \text{(giờ)}.
Đổi sang phút: 0{,}345432\cdot 60\approx 20{,}7259, tức khoảng 20,7 phút .
Vì sao nhân 60: vận tốc tính theo km mỗi giờ nên kết quả ban đầu là giờ. Một giờ có 60 phút.
Kiểm tra. Huyền PB = 7,5 km dài hơn cạnh góc vuông BH = 6,2 km, hợp lí. Kiểm tra bằng Pythagore: cạnh PH = 7{,}5\cdot\sin 34^{\circ}\approx 4{,}1939, và 6{,}2178^{2}+4{,}1939^{2}\approx 56{,}25=7{,}5^{2}.
Vì sao kiểm tra: hai cạnh góc vuông phải thỏa BH^{2}+PH^{2}=PB^{2}. Nếu lệch nhiều thì có một bước sai.
2 Công cụ 1: Đọc hướng
Câu hướng đi là một "bản vẽ viết bằng chữ". Công cụ này dịch bản vẽ đó thành tam giác vuông, với góc đặt đúng chỗ.
Công cụ 1
Quy tắc Quy ước: đường Bắc - Nam là trục thẳng đứng, đường Đông - Tây là trục nằm ngang, bờ thẳng được vẽ nằm ngang. "Lệch góc \alpha so với hướng Bắc (hay Nam)" nghĩa là góc giữa đường đi và đường Bắc - Nam bằng \alpha. Khi đó góc giữa đường đi và bờ bằng 90^{\circ}-\alpha. Các hướng Đông Bắc, Tây Bắc, Đông Nam, Tây Nam đều lệch 45^{\circ} mỗi bên.
Vì sao đúng Đường Bắc - Nam vuông góc với đường Đông - Tây, nên hai góc đó cộng lại thành 90^{\circ}. Đoạn BH (từ tàu xuống bờ) vuông góc với bờ nên song song với đường Bắc - Nam. Hai góc so le trong bằng nhau, vì thế góc tại B của tam giác vuông PHB bằng \alpha.
Khi nào gãy (1) Điểm xuất phát không nằm trên bờ: khi đó khoảng cách tới bờ còn phải cộng hoặc trừ khoảng cách ban đầu. (2) Đề cho thẳng góc so với bờ: dùng góc đó, đừng lấy phần bù thêm lần nữa. (3) Đề đo từ đường chuẩn khác: luôn hỏi "so với đường nào?" trước khi gọi tên góc.
Hình 3. Tám hướng trên la bàn. Mỗi hướng chéo là đường phân giác của một góc vuông nên lệch đúng 45^{\circ} so với đường Bắc - Nam.
Lab 1 La bàn góc lệch
Góc lệch \alpha: 32 độ
Độ dài đường đi PB: 8,0 km
Đường chuẩn Về phía
Hướng nhanh
Hướng đi -
Góc tại B (alpha) -
Góc đường đi và bờ -
Khoảng cách tới bờ BH -
Khoảng cách dọc bờ PH -
Kiểm tra Pythagore -
Em thấy gì: kéo góc lệch và để ý hai số \alpha và 90^{\circ}-\alpha luôn cộng bằng 90^{\circ}; khi \alpha tăng thì BH ngắn đi còn PH dài ra. Bấm Đông Bắc: hai đoạn BH và PH bằng nhau.
Bẫy 1 · Dùng nhầm góc phụ
Đề nói "lệch 34^{\circ} so với hướng Bắc". Nhiều em coi 34^{\circ} là góc giữa đường đi và bờ rồi viết BH=PB\cdot\sin 34^{\circ}. Thực ra góc với bờ là 56^{\circ}, nên BH=PB\cdot\sin 56^{\circ}=PB\cdot\cos 34^{\circ}. Dấu hiệu nhận ra: khoảng cách tới bờ ra nhỏ hơn mong đợi khi tàu đi gần như thẳng về phía Bắc.
Bẫy 2 · Đo góc từ sai đường chuẩn
Câu "đường đi hợp với bờ góc 25^{\circ}" khác hoàn toàn câu "lệch 25^{\circ} so với hướng Bắc". Trước khi vẽ, hãy gạch chân cụm "so với ...". Nếu đường chuẩn là bờ thì góc ở P đã biết ngay; nếu đường chuẩn là hướng Bắc hay Nam thì góc đó nằm ở B.
Ví dụ 2 · Thuyền đánh cá, đo góc từ hướng Nam
Đề. Bờ biển thẳng chạy theo hướng đông - tây và biển nằm ở phía Nam. Thuyền rời bến P, chạy 6,5 km theo hướng lệch 35 độ so với hướng Nam về phía Tây, dừng ở B. Tính khoảng cách từ B tới bờ và khoảng cách từ bến P tới chân đường vuông góc H.
Vì sao đáng chú ý: đường chuẩn là hướng Nam, nên tam giác nằm bên dưới bờ. Cách làm không đổi, chỉ đổi phía.
Vẽ. Bờ nằm ngang, đường Bắc - Nam đứng. Từ P kẻ đường đi xuống dưới và sang trái (phía Tây), lệch 35^{\circ} so với phần đường thẳng đứng hướng Nam. Hạ BH vuông góc với bờ.
Vì sao sang trái: "về phía Tây" đặt tia ở bên trái đường Bắc - Nam.
Đặt góc. \hat{B}=35^{\circ} (so le trong), và góc tại P giữa đường đi và bờ là 90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}.
Vì sao giống hệt hình gốc: phép đối xứng qua bờ và qua đường Bắc - Nam không làm đổi độ dài hay độ lớn góc.
Tính. BH là cạnh kề của \hat{B}, PH là cạnh đối, PB là huyền:
BH=6{,}5\cdot\cos 35^{\circ}\approx 5{,}3245
PH=6{,}5\cdot\sin 35^{\circ}\approx 3{,}7282
Vậy thuyền cách bờ khoảng 5,3 km và bến P cách chân H khoảng 3,7 km.
Vì sao dùng cos cho BH: BH là cạnh kề với góc đã biết, và ta biết huyền.
LK
Cô Lukato
Sau mỗi hình vẽ, em hãy tự hỏi một câu: "Góc \alpha của đề đang nằm ở đỉnh nào của tam giác vuông?" Câu trả lời đúng quyết định mọi thứ phía sau.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Máy bay không người lái cất cánh từ bãi đáp P trên bờ biển thẳng (hướng đông - tây), bay 9,5 km theo hướng lệch 24 độ so với hướng Bắc về phía Tây rồi dừng ở B. Tính khoảng cách từ B tới bờ, làm tròn đến 0,1 km.
Gợi ý 1. Vẽ bờ nằm ngang, đường Bắc - Nam thẳng đứng, hạ BH vuông góc với bờ. Tam giác nào vuông, vuông ở đâu?
Gợi ý 2. Góc tại B bằng góc lệch 24^{\circ} (so le trong). Với góc đó PB là cạnh huyền, BH là cạnh kề.
Gợi ý 3. Cạnh kề và huyền gắn với nhau bởi cos: BH=PB\cdot\cos 24^{\circ}.
Chính xác! Đây là bước Đọc hướng chuẩn: góc lệch nằm ở B nên BH = PB cos góc lệch.
Em vừa tính PB\cdot\sin 24^{\circ}\approx 3{,}9, đó là khoảng cách dọc bờ PH chứ không phải BH. Góc 24^{\circ} nằm ở B, cạnh kề của nó là BH nên phải dùng cos.
9,5 km là đường tàu đã đi (cạnh huyền), không phải khoảng cách tới bờ. Khoảng cách tới bờ là đoạn vuông góc BH.
Em hãy thử một lần hoặc mở hết gợi ý để mở lời giải.
Lời giải
Tam giác PHB vuông tại H, \hat{B}=24^{\circ} (so le trong với góc lệch), góc tại P là 66^{\circ}.
BH=PB\cdot\cos 24^{\circ}=9{,}5\cdot 0{,}913545\approx 8{,}6787, làm tròn 8{,}7 km.
Cách khác: BH là cạnh đối của góc tại P, nên BH=PB\cdot\sin 66^{\circ}, cùng kết quả vì \sin 66^{\circ}=\cos 24^{\circ}.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Bờ biển thẳng chạy theo hướng đông - tây, biển ở phía Nam. Thuyền đánh cá rời bến P, chạy 12 km theo hướng lệch 38 độ so với hướng Nam về phía Đông rồi dừng ở B. Chân H của đường vuông góc hạ từ B xuống bờ cách bến P bao nhiêu km? Làm tròn đến 0,1 km.
Gợi ý 1. Vẽ tam giác PHB vuông tại H nằm dưới bờ. Đường chuẩn là hướng Nam, nên góc lệch nằm ở đâu?
Gợi ý 2. \hat{B}=38^{\circ}. Cạnh PH là cạnh đối của góc này, PB là huyền.
Gợi ý 3. Đối và huyền gắn với nhau bởi sin: PH=PB\cdot\sin 38^{\circ}.
Chính xác! Nhớ rằng hướng Nam chỉ đổi phía vẽ, không đổi cách làm.
Em vừa tính PB\cdot\cos 38^{\circ}, đó là khoảng cách từ thuyền tới bờ (cạnh kề BH). Câu hỏi lần này là khoảng cách dọc bờ PH, cạnh đối của góc 38^{\circ}, nên dùng sin.
12 km là độ dài đường đi PB (cạnh huyền). PH ngắn hơn huyền.
Em hãy thử một lần hoặc mở hết gợi ý để mở lời giải.
Lời giải
\hat{B}=38^{\circ}, PH đối, PB huyền. PH=12\cdot\sin 38^{\circ}\approx 7{,}3879, làm tròn 7{,}4 km.
Kiểm tra: PH ngắn hơn huyền PB = 12 km, hợp lí.
Bài 3 Mức 3 · Nâng cao
Một máy bay không người lái ở điểm A, cách bờ biển thẳng (hướng đông - tây) 6 km, đo theo đường vuông góc với bờ. Nó bay thẳng về phía ngọn hải đăng T đứng trên bờ, theo hướng Tây Nam. Tính quãng đường bay AT, làm tròn đến 0,1 km (có thể để dạng căn).
Gợi ý 1. Hướng Tây Nam lệch bao nhiêu độ so với hướng Nam? Vẽ chân H của đường vuông góc hạ từ A xuống bờ.
Gợi ý 2. \hat{A}=45^{\circ} tại A, AH = 6 km là cạnh kề, AT là huyền.
Gợi ý 3. AT=\dfrac{AH}{\cos 45^{\circ}}. Nhớ rằng đã cho cạnh kề và cần tìm huyền thì phải chia, không nhân.
Chính xác! Với hướng chéo, tam giác vuông cân nên AT = AH nhân căn 2.
Em đã nhân 6 với cos 45 độ. Khi cho cạnh kề và cần tìm huyền thì ngược lại: huyền = kề chia cos. Kết quả của em (4,2 km) nhỏ hơn cạnh góc vuông 6 km nên vô lí.
6 km chỉ là khoảng cách tới bờ AH. Quãng đường bay AT xiên nên dài hơn.
Em hãy thử một lần hoặc mở hết gợi ý để mở lời giải.
Lời giải
Tây Nam lệch 45^{\circ} so với hướng Nam, nên \hat{A}=45^{\circ} và tam giác AHT vuông cân tại H.
AT=\dfrac{AH}{\cos 45^{\circ}}=\dfrac{ 6 }{\sqrt{2}/2}=6\sqrt{2}\approx 8{,}4853, làm tròn 8{,}5 km.
3 Công cụ 2: Chọn tỉ số
Có bốn tỉ số và ba loại cạnh, nên có nhiều cách chọn sai. Quy trình bốn bước dưới đây biến việc chọn thành một quyết định có lí do.
Công cụ 2
Quy tắc (i) Đánh dấu góc nhọn em thật sự biết. (ii) Gọi tên ba cạnh theo chính góc đó: đối là cạnh đối diện góc, kề là cạnh góc vuông nằm cạnh góc, huyền là cạnh đối diện góc vuông. (iii) Ghi cạnh đã cho và cạnh cần tìm. (iv) Chọn tỉ số chứa đúng hai cạnh ấy.
Vì sao đúng Mọi tam giác vuông có cùng một góc nhọn đều đồng dạng (g.g), nên các tỉ số giữa hai cạnh chỉ phụ thuộc góc, không phụ thuộc kích thước. Mỗi tỉ số là một "sợi dây" nối hai loại cạnh với một số mà máy tính cho.
Khi nào gãy Tam giác chưa vuông (phải kẻ thêm đường cao trước); cạnh đã cho và cạnh cần tìm là cùng một cạnh; cần cạnh thứ ba mà chưa có hai cạnh (khi đó dùng thêm Pythagore); hoặc góc em biết không phải góc nhọn của tam giác vuông đang xét.
Tỉ số · Định nghĩa với góc \alpha · Chứa các cạnh
\sin\alpha · \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}} · đối, huyền
\cos\alpha · \dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}} · kề, huyền
\tan\alpha · \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}} · đối, kề