Bí quyết hình chiếu: đọc tỉ số đoạn thẳng và tỉ số diện tích
Chuyên đề hình học THCS nâng cao với hai chứng minh độc lập, tám bí quyết, ba thí nghiệm tọa độ, mười hai ví dụ và bài luyện tập có giải thích.
LUKATO BÍ QUYẾT TƯ DUY TOÁN
Bí quyết hình chiếu: đọc tỉ số đoạn thẳng và tỉ số diện tích
Một chân đường cao chia đáy; hai phép chiếu biến diện tích bằng bình phương của một hệ số.
8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 14 câu tự kiểm tra
Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.
01
Nhìn đường cao như một phép chiếu
Một đường cao không chỉ giúp tính diện tích. Chân đường cao còn ghi lại phần của một cạnh nằm theo hướng cạnh khác. Khi đọc được thông tin ấy, bạn có thể biến ba cạnh thành một tỉ số đoạn thẳng, hoặc biến hai phép chiếu thành một tỉ số diện tích. Bài học này nối hai ý tưởng đó bằng những lập luận ngắn, có điều kiện rõ ràng và có hình để tự kiểm tra.
Hình học THCS nâng cao Mức độ: vận dụng Thời gian: 45 đến 60 phút Pythagore, tỉ số lượng giác, diện tích
Mục tiêu sau bài học
Bạn sẽ giải thích được tại sao hiệu hai bình phương cạnh xác định vị trí chân đường cao; nhận biết thứ tự tử số và mẫu số khi viết tỉ số; chứng minh hai phép chiếu ở cùng một góc tạo ra bình phương của một hệ số; phân biệt dữ kiện xác định góc với dữ kiện xác định toàn bộ tam giác.
Thống nhất tên điểm trước khi tính
Trong phần chính, tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi K,D,E lần lượt là chân các đường cao kẻ từ A,B,C. Như vậy K\in BC, D\in AC, E\in AB, AK\perp BC, BD\perp AC, CE\perp AB. Các điểm nằm trên các đoạn cạnh, không nằm trên phần kéo dài. Một bản vẽ đẹp không thay thế được các điều kiện này.
a=BC,\quad b=CA,\quad c=AB,\qquad a,b,c\gt 0.
Kí hiệu S_{XYZ} là diện tích không âm của tam giác XYZ. Trong mọi tỉ số diện tích bên dưới, tam giác gốc không suy biến nên mẫu số khác không. Không được lẫn AD với AE: chân từ B nằm trên AC, còn chân từ C nằm trên AB.
Lưu ý về hình minh họa: vị trí chân đường cao phải là hình chiếu vuông góc. Trong các phòng thí nghiệm, mọi chân được tính từ tọa độ thật; hình đổi theo dữ kiện. Phần chứng minh chỉ dùng quan hệ hình học, không đo trực tiếp độ dài trên màn hình.
Thử dự đoán
Nếu AB=AC, bạn dự đoán chân K nằm ở đâu? Nếu góc A tăng còn hai cạnh kề góc giữ nguyên, diện tích ADE có luôn tăng cùng diện tích ABC không? Hãy ghi hai dự đoán. Cuối bài, bạn sẽ kiểm tra bằng công thức và bằng thực nghiệm.
Hai đích đến, một tư duy
Đích thứ nhất là KC/KB: ta đọc vị trí của một hình chiếu trên đáy. Đích thứ hai là S_{ADE}/S_{ABC}: ta đọc tác động đồng thời của hai hình chiếu. Đừng học thuộc hai công thức tách rời; hãy tìm xem đại lượng nào được giữ nguyên khi chia.
02
Hiệu bình phương: đọc vị trí chân đường cao
Bước 1. Đặt một ẩn đoạn thẳng
Đặt BK=x. Vì K nằm trong đoạn BC, ta có KC=a-x và 0\lt x\lt a. Đặt AK=h\gt 0. Hai tam giác ABK và ACK vuông tại K, vì thế định lí Pythagore cho:
c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2.
Chưa cần tính h. Trong hai biểu thức, h^2 giống hệt nhau. Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất để loại đại lượng đó:
b^2-c^2=(a-x)^2-x^2=a^2-2ax.
Vì a\gt 0, chia cho 2a là hợp lệ. Ta được vị trí chính xác của chân đường cao:
BK=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a},\qquad KC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}.
Bước 2. Chia hai biểu thức theo đúng thứ tự
Bài toán hỏi KC/KB nên đoạn phía C phải xuất hiện ở tử. Hai mẫu 2a triệt tiêu. Kết quả là:
\boxed{\frac{KC}{KB}=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{BC^2+AB^2-AC^2}}.
Trong tam giác nhọn, BK\gt 0 và KC\gt 0. Vì vậy cả tử số và mẫu số cuối cùng đều dương. Điều này vừa bảo đảm phép chia vừa là một cách phát hiện lỗi chép cạnh. Nếu bạn nhận được tỉ số âm trong một bài đã cho tam giác nhọn, hãy kiểm tra ngay điều kiện hoặc thứ tự dữ kiện.
Vì sao cạnh đối diện bị trừ?
Đoạn BK nằm phía B, gắn với cạnh AB=c; biểu thức của nó chứa a^2+c^2-b^2. Cạnh AC=b ở phía còn lại bị trừ. Với KC, hai cạnh b,c đổi vai. Cách ghi nhớ dựa trên vị trí điểm đáng tin hơn việc thuộc một dãy chữ cái.
Ba phép thử không cần tính chi tiết
Phép thử đối xứng. Nếu b=c, hai biểu thức đoạn bằng a/2 và tỉ số bằng 1. Phép thử lớn nhỏ. Nếu b\gt c, thì KC\gt BK: cạnh từ A tới C dài hơn, chân đường cao gần B hơn. Phép thử tổng. Cộng hai đoạn phải được a, bởi hai tử cộng thành 2a^2.
KC-BK=\frac{b^2-c^2}{a},\qquad BK+KC=a.
Đây là hai kiểm tra khác nhau. Tổng xác nhận phép phân chia đáy; hiệu xác nhận hướng nghiêng của đỉnh. Có thể một kết quả sai vẫn có tổng đúng, nên kiểm tra cả hai hữu ích hơn kiểm tra duy nhất một phương trình.
Tỉ số diện tích cùng một đường cao
Hai tam giác ABK và ACK có cùng đường cao AK xuống đường thẳng BC. Khi K nằm trong đoạn BC, ta có:
\frac{S_{ACK}}{S_{ABK}}=\frac{KC}{BK},\qquad \frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}.
Công thức trên không nói hai tam giác đồng dạng. Chúng có một đường cao chung, đủ để chia diện tích theo đáy. Nhận biết cơ chế này giúp tránh một chứng minh đồng dạng thừa, hoặc một kết luận đồng dạng sai.
Điều kiện nhọn có thể kiểm tra bằng cạnh
Với ba cạnh tạo thành tam giác, tam giác nhọn khi cả ba điều kiện a^2\lt b^2+c^2, b^2\lt a^2+c^2, c^2\lt a^2+b^2 đúng. Chỉ kiểm tra bất đẳng thức tam giác chưa đủ: một tam giác hợp lệ vẫn có thể có góc tù.
03
Hai phép chiếu: vì sao diện tích xuất hiện bình phương?
Đừng bắt đầu bằng công thức diện tích tổng quát
Xét hai tam giác vuông ABD và ACE. Cả hai có góc tại A bằng góc BAC. Trong tam giác nhọn, cosin của góc đó dương. Theo định nghĩa tỉ số lượng giác:
\frac{AD}{AB}=\cos A,\qquad \frac{AE}{AC}=\cos A.
Chú ý hai tỉ số có cạnh khác nhau ở mẫu. Ta có AD=c\cos A và AE=b\cos A, chứ không phải AD=b\cos A. Hai điểm chân đường cao nằm trên hai cạnh chéo vai với nguồn kẻ đường cao.
Cách chứng minh bằng hai lần đổi đáy
Trước hết, hai tam giác ADE và ABE có đáy AD,AB không nằm trên cùng đường thẳng, nên không thể chia ngay theo hai đáy ấy bằng lí do cùng đường cao. Chọn một đường chuyển hợp lệ: dùng tam giác ACB, ADB, rồi ADE.
Hai tam giác ADB và ACB có đáy AD,AC cùng nằm trên đường thẳng AC, chung chiều cao từ B. Vì thế S_{ADB}/S_{ACB}=AD/AC. Hai tam giác ADE và ADB có đáy AE,AB cùng nằm trên đường thẳng AB, chung chiều cao từ D. Do đó S_{ADE}/S_{ADB}=AE/AB.
\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{AD}{AC}\cdot\frac{AE}{AB}=\frac{c\cos A}{b}\cdot\frac{b\cos A}{c}=\boxed{\cos^2 A}.
Hai tỉ lệ cạnh b/c và c/b triệt tiêu. Điều còn lại chỉ phụ thuộc góc A. Bởi thế, rất nhiều tam giác khác nhau có cùng tỉ số diện tích này. Độ dài cạnh không biến mất một cách huyền bí; chúng đã được triệt tiêu ở bước chia có kiểm soát.
Cách chứng minh bằng diện tích hai cạnh và góc xen giữa
Vì D\in AC và E\in AB, góc DAE bằng góc CAB. Dùng S=\tfrac12 uv\sin\theta cho hai tam giác có chung góc xen giữa, ta cũng được:
\frac{\tfrac12 AD\cdot AE\sin A}{\tfrac12 AB\cdot AC\sin A}=\frac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}=\cos^2 A.
Trong tam giác không suy biến, 0\lt A\lt 180^\circ nên \sin A\gt 0. Trong phần chính ta còn có 0\lt A\lt 90^\circ. Việc triệt tiêu \sin A chỉ hợp lệ sau khi kiểm tra nó khác không.
Góc thay đổi, tỉ số thay đổi thế nào?
Trong khoảng góc nhọn, \cos A giảm khi A tăng; vì giá trị này dương, bình phương của nó cũng giảm. Góc hẹp tạo hai đoạn chiếu dài tương đối; góc gần vuông làm hai đoạn chiếu ngắn. Khi A tiến gần 90^\circ, hai chân D,E tiến gần A và diện tích ADE tiến gần không.
A=30^\circ:\ r=\frac34;\qquad A=45^\circ:\ r=\frac12;\qquad A=60^\circ:\ r=\frac14,\quad r=\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}.
Những mốc này là kiểm tra trí nhớ, không phải điều kiện bắt buộc của bài. Nếu một kết quả viết r=\cos A, góc 60^\circ sẽ làm lộ lỗi: một phép chiếu cho hệ số 1/2, nhưng hai phép chiếu kết hợp cho 1/4.
Không cần lượng giác nếu ba cạnh đã biết
Từ hiệu bình phương theo một đường cao, hoặc từ định lí cosin, ta có \cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc). Vì vậy:
\boxed{\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}}.
Công thức cạnh phù hợp khi đề chỉ cho ba độ dài. Tuy nhiên, hãy giữ bản diễn giải bằng hai phép chiếu: nó cho biết vì sao tử được bình phương, và vì sao đổi toàn bộ đơn vị đo không đổi tỉ số.
04
Tám bí quyết có điều kiện và giới hạn
01
Đặt một đoạn, đừng đặt cả hai
Quy tắc. BK=x kéo theo KC=a-x.
Vì sao đúng? Hai đoạn cộng thành đáy, nên hai ẩn đoạn không độc lập. Một ẩn giữ cấu trúc rõ và giúp loại chiều cao.
Điều kiện. Chân K nằm trong BC; các đoạn được đọc là độ dài dương.
Khi nào không dùng được? Nếu K nằm ngoài đoạn, cần tọa độ có hướng hoặc tách vị trí; không viết hai độ dài dương cộng thành a.
02
Trừ để loại phần giống nhau
Quy tắc. Trừ hai đẳng thức Pythagore trước khi căn bậc hai.
Vì sao đúng? Cùng chiều cao h tạo cùng h^2. Phép trừ loại h mà không sinh căn và không cần đo chiều cao.
Điều kiện. Hai tam giác vuông phải thực sự dùng chung AK.
Khi nào không dùng được? Hai đường cao khác nhau không có bình phương giống nhau; không thể tự triệt tiêu.
03
Kiểm tra tử số bằng vị trí
Quy tắc. BK=(a^2+c^2-b^2)/(2a); đoạn phía B giữ cạnh AB trong phần cộng.
Vì sao đúng? Công thức xuất phát từ khoảng cách ngang của B tới K. Đổi B và C thì b và c đổi vai, tỉ số đảo lại.
Điều kiện. Quy ước a=BC, b=CA, c=AB được giữ xuyên suốt.
Khi nào không dùng được? Một tài liệu dùng kí hiệu khác cần đổi tên trước; không chép máy móc chữ cái.
04
Một chiều cao chung, một tỉ số đáy
Quy tắc. Chia diện tích theo đáy khi hai đáy nằm trên cùng một đường thẳng và đỉnh còn lại có cùng khoảng cách tới đường ấy.
Vì sao đúng? Hệ số h/2 triệt tiêu trong công thức diện tích.
Điều kiện. Diện tích mẫu dương; dùng độ dài không âm cho diện tích thông thường.
Khi nào không dùng được? Chung một góc không đủ để chia diện tích theo một cạnh; chiều cao cũng có thể thay đổi.
05
Hai phép chiếu cho hai hệ số
Quy tắc. AD/AB=AE/AC=\cos A nên tỉ số diện tích là \cos^2 A.
Vì sao đúng? Diện tích chịu tác động của cả hai cạnh kề góc. Trong tích, hai hệ số cosin cùng xuất hiện.
Điều kiện. Tam giác nhọn, D trên AC và E trên AB; không suy biến.
Khi nào không dùng được? Không lấy căn hay bỏ một hệ số chỉ vì hai phép chiếu trông đối xứng.
06
Góc cố định giữ tỉ số, không giữ diện tích
Quy tắc. Giữ góc A thì S_{ADE}/S_{ABC} cố định.
Vì sao đúng? Hai cạnh kề có thể dài ngắn khác nhau, nhưng chúng triệt tiêu trong tỉ số.
Điều kiện. Đều là cấu hình chân đường cao thật và tam giác nhọn.
Khi nào không dùng được? Diện tích tuyệt đối vẫn đổi. Phóng to cạnh k lần làm diện tích tăng k bình phương lần.
07
Đọc ngược phải kiểm tra góc và cạnh
Quy tắc. Nếu 0<r<1 và A nhọn, thì A=\arccos\sqrt r.
Vì sao đúng? Cosin dương trên góc nhọn nên căn dương chọn đúng dấu. Cosin giảm nghiêm ngặt, góc là duy nhất.
Điều kiện. Muốn cả tam giác nhọn, cần kiểm tra hai góc còn lại sau khi chọn b,c.
Khi nào không dùng được? Biết r không xác định b,c hoặc hình dạng. Bỏ điều kiện góc nhọn còn cho một góc tù bù với góc nhọn.
08
Đổi đơn vị là bài kiểm tra bậc
Quy tắc. Mọi tỉ số đoạn và tỉ số diện tích đều không có đơn vị.
Vì sao đúng? Tử và mẫu có cùng bậc độ dài. Tỉ số đoạn biểu diễn bằng bình phương cạnh vẫn không có đơn vị.
Điều kiện. Cùng một đơn vị đo cho mọi cạnh trong mỗi công thức.
Khi nào không dùng được? Nếu trộn mét và centimet trực tiếp, kết quả sai; đổi về một đơn vị trước khi bình phương.
Để dùng các bí quyết hiệu quả, đừng chọn theo độ dài của công thức. Chọn theo đại lượng được hỏi. Một tỉ số chia đáy nên gợi hiệu hai bình phương. Một tỉ số diện tích của hai chân trên hai cạnh nên gợi tích hai phép chiếu. Một bài đọc ngược từ diện tích nên gợi khả năng có nhiều tam giác cùng đáp án.
Quy trình 20 giây trước khi giải
Đọc tên chân; xác nhận chân nằm trên đoạn hay đường thẳng; ghi tỉ số cần tìm đúng thứ tự; đánh dấu các mẫu phải khác không. Sau đó mới chọn công thức. Bốn thao tác này phòng những lỗi phổ biến hơn việc tính thêm nhiều dòng.
05
Ba phòng thí nghiệm: dự đoán, thao tác, giải thích
PHÒNG THÍ NGHIỆM
Đổi vị trí đỉnh, đọc tỉ số trên đáy
Đặt B=(0,0),C=(L,0),A=(u,h). Chân K=(u,0). Thay dữ kiện, rồi so sánh phép chia trực tiếp với công thức ba cạnh.
Độ dài đáy L Tọa độ ngang u Chiều cao h
Đang tính hình chiếu.
Thử trước khi đọc lời giải:
- Giữ L và u, đổi h. Vì sao tỉ số KC/BK giữ nguyên dù hai cạnh bên thay đổi?
- Đặt u bằng L/2. Quan sát hai cạnh bên và hai tam giác có chung đường cao.
- Hạ h cho tới khi h^2\le u(L-u). Đọc chẩn đoán góc A trước khi dùng điều kiện tam giác nhọn.
PHÒNG THÍ NGHIỆM
Hai chân đường cao cùng co một hệ số
Nhập b=AC,c=AB và góc A. Phòng thí nghiệm tính chân D,E bằng phép chiếu vuông góc rồi tính diện tích bằng tọa độ, độc lập với công thức cosin bình phương.
Cạnh AC Cạnh AB Góc A, đơn vị độ
Đang tính hai diện tích.