Hệ có tham số: từ giá trị đặc biệt đến quỹ tích và cực tiểu
Chuyên đề đại số và hình học gồm tám bí quyết, ba phòng thí nghiệm, mười hai ví dụ giải sâu và mười tám câu dự đoán. Phân loại hệ suy biến, chứng minh quỹ…
LUKATO BÍ QUYẾT TƯ DUY TOÁN
Hệ có tham số: từ giá trị đặc biệt đến quỹ tích và cực tiểu
Giữ đủ nghiệm, giữ đúng miền, tìm điểm gần nhất mà không dùng đạo hàm
8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 18 câu tự kiểm tra
Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.
01
Tham số điều khiển cả một tập nghiệm
Tham số không phải một con số bí mật cần đoán. Nó là một nút điều khiển làm thay đổi cả một họ hệ phương trình. Một giá trị có thể cho đúng một giao điểm, một giá trị khác làm hai đường trùng nhau, và cũng có giá trị khiến hai đường song song. Muốn giải chắc chắn, ta cần biết khi nào phép chia hợp lệ, điểm nghiệm chuyển động trên đâu và bài toán cực tiểu đang chọn trong tập nào.
Bài học này nối ba chủ đề thường bị học rời: hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có tham số; quỹ tích của cặp nghiệm; cực tiểu của tổng hai bình phương không dùng đạo hàm. Trọng tâm là điều kiện và tập nghiệm. Một công thức đẹp nhưng thiếu giá trị đặc biệt có thể mô tả sai cả quỹ tích, rồi làm sai luôn kết luận tối ưu.
Giải và phân loại
Nhận giá trị làm hệ suy biến trước khi chia. Phân biệt một nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm bằng phép khử và bằng vị trí hai đường thẳng.
Loại tham số có kiểm soát
Từ tọa độ phụ thuộc tham số, tìm đường chứa nghiệm. Sau đó chứng minh điều kiện ngược và ghi rõ điểm bị loại, đoạn bị giới hạn hoặc nhánh đặc biệt.
Tối ưu không cần giải tích
Hoàn thành bình phương hoặc dùng một đồng nhất thức khoảng cách. Kiểm tra điểm cho dấu bằng có thật sự thuộc miền được phép hay không.
Một họ hệ làm lộ toàn bộ vấn đề
Xét các ẩn thực x,y và tham số thực m:
\begin{cases}(m-1)x-my=3m-1,\\2x-y=m+5.\end{cases}
Phép thế sẽ dẫn đến (m+1)(x-m-1)=0. Chỉ một nhân tử ngắn này đã chia bài toán thành hai thế giới. Khi m\ne-1, hệ có đúng một nghiệm (m+1,m-3). Khi m=-1, hai phương trình trở thành cùng một điều kiện 2x-y=4, nên có cả một đường nghiệm.
Đừng vội chia cho m+1. Dòng phép chia ấy chỉ đúng sau khi ghi m\ne-1. Nếu bỏ giá trị -1, bạn không chỉ thiếu một trường hợp tính toán; bạn bỏ mất vô số cặp nghiệm và có thể thay đổi giá trị nhỏ nhất của x^2+y^2.
Hai câu hỏi gần giống nhưng có hai đáp án khác nhau
Câu hỏi A. Trong những giá trị m làm hệ có nghiệm duy nhất, chọn nghiệm có x^2+y^2 nhỏ nhất. Đáp án là 8, đạt tại m=1, (x,y)=(2,-2).
Câu hỏi B. Trong mọi bộ (m,x,y) thỏa hệ, kể cả tham số làm hệ có vô số nghiệm, chọn giá trị nhỏ nhất của x^2+y^2. Đáp án là 16/5, đạt tại m=-1, (x,y)=(8/5,-4/5).
Không có mâu thuẫn: câu hỏi B cho phép một tập cặp nghiệm lớn hơn câu hỏi A. Điểm tối ưu của câu hỏi B nằm trên đường nghiệm đặc biệt và không thuộc nhánh nghiệm duy nhất. Đây là bài học về lượng từ: “mọi giá trị tham số”, “hệ có nghiệm duy nhất”, “mọi nghiệm của hệ” là những phạm vi khác nhau.
Quy ước giúp tránh lẫn biến và tham số
Trong mỗi lần giải hệ, m được xem là đã cố định. Ta tìm các cặp (x,y) tương ứng với giá trị đó. Khi xét quỹ tích, ta cho m thay đổi và lấy những cặp được phép. Khi tối ưu, ta phải nói rõ đang chọn m, đang chọn một nghiệm của hệ tại một m cố định, hay đang chọn đồng thời cả ba số.
Ký hiệu P_m chỉ dùng khi có một cặp nghiệm duy nhất ứng với m. Với tham số suy biến có vô số nghiệm, viết “điểm P_m” là chưa đủ: phải dùng tập nghiệm hoặc tham số phụ để mô tả cả đường. Trong bài, mọi khoảng và mọi điều kiện đều được hiểu trên số thực.
Hãy giữ bốn câu tự hỏi bên cạnh trang học: tôi đang chia cho biểu thức nào; biểu thức đó có thể bằng không không; điểm tối ưu có thuộc tập được phép không; và tôi đã chứng minh chiều ngược của quỹ tích chưa? Bốn câu này sẽ xuất hiện trở lại ở mọi phần, dưới những hình thức khác nhau.
02
Giải, dựng quỹ tích và chứng minh cực tiểu
1. Phép thế bảo toàn toàn bộ trường hợp
Trong họ hệ đã nêu, phương trình thứ hai có hệ số của y bằng -1, không phụ thuộc tham số và không bao giờ bằng không. Vì vậy ta luôn có quyền viết y=2x-m-5. Đây là phép thế an toàn cho mọi m.
\begin{aligned}(m-1)x-m(2x-m-5)&=3m-1,\-m-1)x+m^2+5m&=3m-1,\m+1)x&=m^2+2m+1,\m+1)x&=(m+1)^2,\m+1)(x-m-1)&=0.\end{aligned}</div>
<p>Ở đây, ta chưa chia cho biểu thức chứa tham số. Dòng cuối là một tích bằng không. Nó nói chính xác: hoặc m=-1, hoặc x=m+1. Vì m được cố định trong mỗi hệ, hai khả năng này dùng để phân loại tham số, không phải để tùy ý chọn một giá trị của x trong cùng hệ.
2. Nhánh thông thường: nghiệm duy nhất
Khi m\ne-1, chia cho m+1 hợp lệ. Ta thu được x=m+1. Thế vào y=2x-m-5, nhận y=m-3. Không còn ẩn tự do, nên hệ có đúng một cặp nghiệm:
P_m=(m+1,m-3),\qquad m\in\mathbb R\setminus\{-1\}.
Kiểm tra trực tiếp làm rõ tính đúng của công thức:
\begin{aligned}(m-1)(m+1)-m(m-3)&=m^2-1-m^2+3m=3m-1,\\2(m+1)-(m-3)&=m+5.\end{aligned}
Hai đẳng thức đều đúng với mọi m. Tuy nhiên, điều đó không cho phép nói công thức là toàn bộ nghiệm ở m=-1. Tại giá trị ấy, công thức vẫn cho một cặp hợp lệ (0,-4), nhưng hệ còn vô số cặp khác. “Một công thức cho ra nghiệm” và “công thức liệt kê đủ mọi nghiệm” là hai khẳng định khác nhau.
3. Nhánh suy biến: mô tả một đường bằng tham số phụ
Với m=-1, thế vào hệ ban đầu, không thế vào công thức đã được suy ra sau phép chia:
\begin{cases}-2x+y=-4,\\2x-y=4.\end{cases}
Hai phương trình tương đương vì một phương trình là đối của phương trình còn lại. Hệ có vô số nghiệm trên đường 2x-y=4. Có thể viết toàn bộ tập bằng một tham số tự do t:
(x,y)=(t,2t-4),\qquad t\in\mathbb R.
Tham số t mới không phải m. Ở nhánh này m đã cố định bằng -1, còn t dùng để liệt kê các điểm trên đường. Ví dụ (0,-4),(2,0),(1,-2) đều là nghiệm tại cùng một m=-1. Việc có nhiều cặp không làm tham số m thay đổi.
4. Cơ chế tổng quát của một hệ hai phương trình
Với các hệ số thực đã cho, xét:
\begin{cases}ax+by=e,\\cx+dy=f.\end{cases}
Nhân phương trình đầu với d, nhân phương trình sau với b, rồi trừ. Tương tự, nhân phương trình đầu với c, nhân phương trình sau với a, rồi lấy hiệu phù hợp. Ta có:
\begin{aligned}(ad-bc)x&=ed-bf,\ad-bc)y&=af-ce.\end{aligned}</div>
<p>Đặt D=ad-bc. Khi D\ne0, hai phép chia đều hợp lệ và cặp duy nhất là:
x=\frac{ed-bf}{D},\qquad y=\frac{af-ce}{D}.
Đây là một cách tóm tắt phép khử, không phải một công thức miễn điều kiện. Nếu hệ số phụ thuộc tham số, trước hết tìm các giá trị làm D=0. Ở họ hệ đầu bài, a=m-1,b=-m,c=2,d=-1, nên D=m+1. Giá trị đặc biệt đúng là m=-1, cùng kết luận với phép thế.
5. Khi hệ số khử bằng không, hãy đọc phương trình còn lại
Nếu D=0, hai đẳng thức khử có vế trái bằng không. Nếu ít nhất một trong ed-bf hoặc af-ce khác không, hệ vô nghiệm: nó buộc số không bằng một số khác không. Nếu cả hai cùng bằng không và ít nhất một phương trình có hệ số ẩn khác không, các điều kiện còn lại nhất quán và hệ có vô số nghiệm trên một đường.
Cần giữ ngoại lệ khi toàn bộ a,b,c,d đều bằng không. Lúc này hệ trở thành 0=e, 0=f. Nếu e=f=0, mọi cặp thực đều là nghiệm. Nếu ít nhất một hằng số khác không, hệ vô nghiệm. Trong trường hợp này các biểu thức ed-bf, af-ce đều bằng không bất kể e,f, nên chỉ nhìn ba biểu thức đó chưa đủ.
Nếu chỉ một hàng có hệ số ẩn đều bằng không, đọc ngay phương trình của hàng ấy. Ví dụ 0x+0y=0 không thêm ràng buộc, còn 0x+0y=1 làm hệ vô nghiệm. Phương trình còn lại có thể mô tả một đường, nhưng không thể cứu một mâu thuẫn đã có.
Sau khi khử và kiểm tra hàng đặc biệt · Kết luận · Cách trình bày
D\ne0 · Đúng một cặp · Chia có điều kiện và ghi cả hai tọa độ
D=0, xuất hiện 0=r với r\ne0 · Vô nghiệm · Chỉ ra mâu thuẫn cụ thể
Hai phương trình cùng một điều kiện đường thẳng · Vô số nghiệm trên một đường · Dùng tham số phụ liệt kê toàn bộ đường
Hai phương trình đều là 0=0 · Mọi cặp thực · Ghi tập \mathbb R^2
6. Từ công thức nghiệm đến quỹ tích: phải có hai chiều
Ở nhánh nghiệm duy nhất, x=m+1 và y=m-3. Trừ hai tọa độ, ta được x-y=4, hay y=x-4. Ngoài ra m\ne-1 tương đương x\ne0. Vì vậy mọi nghiệm duy nhất đều nằm trên đường y=x-4, trừ điểm (0,-4).
Đó mới là chiều thuận. Chiều ngược phải được kiểm tra: lấy một điểm bất kỳ trên y=x-4 có x\ne0, đặt m=x-1. Khi đó m\ne-1, m+1=x, m-3=x-4=y, nên điểm ấy thực sự là nghiệm duy nhất của một hệ trong họ. Kết luận quỹ tích chính xác là:
\mathcal L_{\mathrm{duy\ nhat}}=\{(x,x-4):x\in\mathbb R,\ x\ne0\}.
Nếu xét tất cả nghiệm ở tất cả tham số, ta phải thêm đường đặc biệt y=2x-4. Đường này chứa điểm bị thiếu (0,-4). Hai đường y=x-4 và y=2x-4 gặp nhau đúng tại điểm ấy. Vì điểm giao được phục hồi, quỹ tích toàn bộ là hợp của hai đường đầy đủ:
\mathcal L_{\mathrm{toan\ bo}}=\{(x,x-4):x\in\mathbb R\}\cup\{(x,2x-4):x\in\mathbb R\}.
Cẩn thận với thứ tự kết luận: công thức nghiệm duy nhất cho một đường có điểm bị loại; thêm nhánh suy biến mới làm hợp trở thành hai đường đầy đủ. Không được gọi riêng nhánh thông thường là cả đường ngay từ đầu.
7. Cực tiểu trên nhánh duy nhất bằng hoàn thành bình phương
Với m\ne-1, đặt Q=x^2+y^2. Dùng công thức nghiệm:
\begin{aligned}Q&=(m+1)^2+(m-3)^2\\&=2m^2-4m+10\\&=2(m-1)^2+8.\end{aligned}
Vì bình phương không âm, Q\ge8. Dấu bằng đòi hỏi m=1. Giá trị này thuộc miền m\ne-1, nên cận dưới thật sự đạt được. Kết luận: giá trị nhỏ nhất là 8, tại (m,x,y)=(1,2,-2).
Nếu miền tham số đổi thành m>2, thì điểm m=1 không còn được phép. Khi ấy không thể tiếp tục kết luận giá trị nhỏ nhất bằng 8. Trên miền m>2, ta có (m-1)^2>1, nên Q>10. Các giá trị m=2+1/n với n nguyên dương cho Q tiến đến 10, nhưng không bằng 10. Đây là cận dưới đúng nhưng không có giá trị nhỏ nhất.
8. Cực tiểu trên một đường bằng một đồng nhất thức
Với đường ax+by=d, trong đó (a,b)\ne(0,0), dùng:
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(bx-ay)^2.
Chứng minh rất trực tiếp: hai số hạng chéo 2abxy và -2abxy triệt tiêu sau khi khai triển. Trên đường đã cho, ax+by=d, nên:
x^2+y^2=\frac{d^2}{a^2+b^2}+\frac{(bx-ay)^2}{a^2+b^2}\ge\frac{d^2}{a^2+b^2}.
Dấu bằng xảy ra khi bx-ay=0. Giải đồng thời với điều kiện đường thẳng, ta được điểm:
H=\left(\frac{ad}{a^2+b^2},\frac{bd}{a^2+b^2}\right).
Điểm này là hình chiếu vuông góc của gốc lên đường. Không cần dùng công thức khoảng cách như một kết quả đã học thuộc: đồng nhất thức vừa chứng minh giá trị nhỏ nhất vừa chỉ ra đúng điểm đạt nó.
Trên đường đặc biệt 2x-y=4, chọn a=2,b=-1,d=4. Ta được Q\ge16/5, đạt tại (8/5,-4/5). So với 8 trên nhánh duy nhất, 16/5 nhỏ hơn. Vì quỹ tích toàn bộ là hợp hai đường, tối ưu toàn bộ chọn giá trị nhỏ hơn trong hai cực tiểu có thể đạt.
9. Đổi điểm xuất phát, không đổi nguyên lý
Nếu cần tối thiểu hóa khoảng cách bình phương đến điểm A=(u,v), đặt X=x-u, Y=y-v. Điều kiện ax+by=d trở thành aX+bY=e, với e=d-au-bv. Áp dụng cùng đồng nhất thức:
(x-u)^2+(y-v)^2\ge\frac{(d-au-bv)^2}{a^2+b^2}.
Điểm đạt dấu bằng là:
H_A=\left(u+\frac{a(d-au-bv)}{a^2+b^2},\ v+\frac{b(d-au-bv)}{a^2+b^2}\right).
Nếu chỉ cho phép một đoạn hoặc một đường bị khoét điểm, còn phải kiểm tra H_A thuộc phần được phép. Công thức hình chiếu giải bài toán trên cả đường; nó chưa tự giải bài toán có miền bị giới hạn.
03
Tám bí quyết giữ đúng điều kiện
Tám bí quyết sau là một hệ thống kiểm soát điều kiện. Hãy đọc cột “khi nào không dùng được” như một phần của phương pháp, vì những trường hợp ngoại lệ thường là nơi bài toán tham số trở nên có giá trị.
01
Chọn phép thế không chia cho tham số
Quy tắc. Tìm phương trình có một hệ số ẩn luôn khác không. Dùng phương trình ấy để biểu diễn một ẩn trước; ở họ hệ chính, viết y=2x-m-5.
Vì sao đúng? Phép thế này hợp lệ cho mọi giá trị tham số. Nó giữ lại giá trị suy biến để ta nhìn thấy nhân tử m+1 trong bước khử, thay vì đánh mất trường hợp ấy ngay từ đầu.
Điều kiện. Hệ số được dùng làm mẫu phải không bằng không trên toàn miền đang xét. Nếu dùng một hệ số chứa tham số, phải tách các giá trị làm hệ số đó bằng không trước.
Khi nào không dùng được? Không phải mọi hệ đều có hệ số cố định khác không. Khi cả hai phương trình đều có các hệ số có thể bằng không, hãy dùng phép khử không chia hoặc phân trường hợp đầy đủ. Một hàng có hệ số bằng không vẫn phải đọc cả hằng số.
02
Coi mẫu bằng không là một câu hỏi, chưa phải đáp án
Quy tắc. Khi hệ số khử hoặc mẫu công thức nghiệm bằng không, quay lại phương trình trước phép chia để kiểm tra nhất quán.
Vì sao đúng? Cùng một hiện tượng mất hệ số có thể tạo 0=0, tạo 0=2, hoặc khiến một phương trình không thêm ràng buộc. Ba tình huống không thể được gộp bằng một lời kết luận “không chia được”.
Điều kiện. Ghi rõ giá trị tham số đặc biệt và thay vào hệ gốc. Ít nhất một phương trình có hệ số ẩn khác không thì trường hợp nhất quán thường là cả một đường nghiệm.