Toán 9 · Min-Max Thực Tế — Đỉnh Parabol Và Bất Đẳng Thức Cô-si
2 kỹ thuật cốt lõi giải bài toán tối ưu thực tế: đưa về đỉnh tam thức bậc hai, và bất đẳng thức AM-GM khi tích/tổng cố định. 4 ví dụ luyện trực tiếp.
Toán 9 · Min-Max Thực Tế — Đỉnh Parabol Và Bất Đẳng Thức Cô-si
2 kỹ thuật cốt lõi giải bài toán tối ưu thực tế: đưa về đỉnh tam thức bậc hai, và bất đẳng thức AM-GM khi tích/tổng cố định · 4 ví dụ luyện trực tiếp
Mục tiêu bài học
- Nhận diện đúng dạng bài toán thực tế yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc nhỏ nhất (GTNN) của một đại lượng.
- Thành thạo kỹ thuật đưa biểu thức về tam thức bậc hai một biến và dùng công thức đỉnh parabol để tìm GTLN/GTNN.
- Thành thạo bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương để xử lý các bài toán có tích hoặc tổng cố định.
- Luôn kiểm tra điều kiện xác định của biến và điều kiện đạt dấu "=" trước khi kết luận.
1. Hai kỹ thuật cốt lõi
Phần lớn bài toán Min-Max thực tế chỉ dùng một trong hai công cụ sau. Việc đầu tiên cần làm không phải là tính toán, mà là nhận diện đúng công cụ : nếu lập được biểu thức một biến bậc hai thì dùng đỉnh parabol; nếu có hai đại lượng dương với tích hoặc tổng cố định thì dùng Cô-si.
So sánh dấu hiệu nhận biết, công thức và quy trình 3 bước của hai kỹ thuật: đỉnh parabol và bất đẳng thức Cô-si.
Dấu hiệu nhận biết nhanh
Chỉ có một biến độc lập và biểu thức là bậc hai (có x^2) ⇒ đỉnh parabol. Có hai đại lượng dương ràng buộc bởi một tích hoặc một tổng cố định (đề thường cho diện tích, thể tích, hoặc chu vi cố định) ⇒ Cô-si.
2. Kỹ thuật 1 — Đỉnh Parabol
Với hàm bậc hai S(x)=ax^2+bx+c, hoành độ đỉnh là x_0=-\dfrac{b}{2a}. Nếu a<0, đồ thị là parabol quay bề lõm xuống, đỉnh cho giá trị lớn nhất S(x_0); nếu a>0, đỉnh cho giá trị nhỏ nhất . Quy trình 3 bước: ① đặt ẩn và lập biểu thức theo 1 biến; ② rút gọn về dạng ax^2+bx+c, xác định dấu a và miền xác định của x; ③ tính đỉnh, đối chiếu đỉnh có nằm trong miền xác định không rồi kết luận.
Ví dụ
Một hộ gia đình có 40m lưới thép để rào một mảnh vườn hình chữ nhật, một cạnh của vườn dựa sát vào bức tường thẳng có sẵn (cạnh này không cần rào). Gọi x (m) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường. Tính x để diện tích vườn lớn nhất, và tìm diện tích lớn nhất đó.
Lập biểu thức: rào gồm 2 cạnh vuông góc với tường (mỗi cạnh dài x) và 1 cạnh song song với tường (dài 40-2x). Diện tích: S(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x, điều kiện 0<x<20.
Xác định dấu a: a=-2<0 nên đồ thị quay bề lõm xuống, có GTLN tại đỉnh.
Tính đỉnh: x_0=-\dfrac{40}{2\cdot(-2)}=10 (thoả 0<10<20). S(10)=10\cdot(40-20)=200.
Kết luận: x=10m (cạnh song song tường dài 20m), diện tích lớn nhất là 200 m^{2}.
Đồ thị S(x)=−2x^{2}+40x: đỉnh parabol tại x=10 cho giá trị lớn nhất S=200, hai điểm x=5 và x=15 đều cho giá trị thấp hơn (150).
Quên kiểm tra miền xác định của x
Đỉnh toán học x_0=-b/2a chỉ có ý nghĩa thực tế nếu nó nằm trong miền hợp lệ của bài toán (ở đây 0<x<20, vì cạnh song song tường 40-2x phải dương). Nếu đỉnh nằm ngoài miền, GTLN/GTNN thực tế phải xét lại tại đầu mút miền, không phải tại đỉnh.
Ví dụ
Một cửa hàng bán áo với giá 200 nghìn đồng/áo thì mỗi tháng bán được 300 áo. Khảo sát cho thấy cứ giảm giá 10 nghìn đồng thì số áo bán thêm được 50 áo mỗi tháng. Gọi x là số lần giảm giá 10 nghìn đồng (x\geq 0). Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu để doanh thu hàng tháng lớn nhất?
Lập biểu thức: giá bán mới là 200-10x (nghìn đồng), số lượng bán được là 300+50x (áo). Doanh thu: R(x)=(200-10x)(300+50x)=-500x^2+7000x+60000, điều kiện 0\leq x<20 (giá phải dương).
Xác định dấu a: a=-500<0 nên có GTLN tại đỉnh.
Tính đỉnh: x_0=-\dfrac{7000}{2\cdot(-500)}=7 (thoả điều kiện). R(7)=-500\cdot 49+7000\cdot 7+60000=84500.
Diễn giải: giá mới =200-70=130 nghìn đồng, số lượng =300+350=650 áo. Kiểm tra: 130\times 650=84500 — khớp.
Kết luận: giảm giá 7 lần (tức giảm 70 nghìn đồng, bán với giá 130 nghìn đồng/áo) thì doanh thu lớn nhất là 84500 nghìn đồng (84,5 triệu đồng).
Nhầm biến x với đại lượng cần tìm
Ở bài này x là số lần giảm giá , không phải giá bán hay doanh thu. Sau khi tìm được x_0, phải quay lại tính giá bán thực tế và số lượng thực tế — đề bài thường hỏi "giá bán là bao nhiêu" chứ không hỏi giá trị của x.
3. Kỹ thuật 2 — Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM)
Với hai số dương a,b: a+b\geq 2\sqrt{ab}, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b. Hệ quả trực tiếp: nếu tích ab không đổi thì tổng a+b nhỏ nhất khi a=b ; nếu tổng a+b không đổi thì tích ab lớn nhất khi a=b . Kỹ thuật dùng khi biểu thức không quy gọn được về 1 biến bậc hai, nhưng có thể tách thành tổng của hai hạng tử dương có tích là hằng số.
Ví dụ
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100 m^{2}. Tìm chiều dài và chiều rộng để tổng chiều dài và chiều rộng nhỏ nhất (tức tổng lượng rào cần dùng cho 2 cạnh liền kề nhỏ nhất).
Gọi ẩn: chiều dài a, chiều rộng b (a,b>0), có ab=100 (diện tích cố định).
Áp dụng Cô-si: a+b\geq 2\sqrt{ab}=2\sqrt{100}=20.
Dấu "=" xảy ra khi a=b, kết hợp ab=100 suy ra a=b=10.
Kết luận: khi mảnh đất là hình vuông cạnh 10m, tổng chiều dài và chiều rộng nhỏ nhất bằng 20m.
Ví dụ
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 24 m^{2} được chia đôi bởi một hàng rào song song với một cặp cạnh. Gọi x (m) là cạnh vuông góc với hàng rào chia, y (m) là cạnh còn lại (xy=24). Tổng độ dài rào cần dùng là chu vi cộng thêm 1 hàng rào chia =2x+3y. Tìm x,y để tổng độ dài rào nhỏ nhất.
Biểu thức cần tối ưu: L=2x+3y, với y=\dfrac{24}{x} nên L(x)=2x+\dfrac{72}{x} (x>0).
Tách thành 2 hạng tử dương có tích cố định: 2x\cdot \dfrac{72}{x}=144 (không đổi, không phụ thuộc x).
Áp dụng Cô-si: 2x+\dfrac{72}{x}\geq 2\sqrt{2x\cdot\dfrac{72}{x}}=2\sqrt{144}=24.
Dấu "=" xảy ra khi 2x=\dfrac{72}{x} \Leftrightarrow x^2=36 \Leftrightarrow x=6 (nhận vì x>0), khi đó y=\dfrac{24}{6}=4.
Kết luận: x=6m, y=4m, tổng độ dài rào nhỏ nhất là 24m.
Tách sai cặp hạng tử khiến tích không còn là hằng số
Bí quyết của Cô-si là tách biểu thức thành đúng hai hạng tử có tích là hằng số (không còn chứa biến). Nếu tách 2x+\dfrac{72}{x} thành ví dụ x+x+\dfrac{72}{x} rồi áp Cô-si sai cặp, tích sẽ vẫn chứa biến và bất đẳng thức không cho ra hằng số — kết quả vô nghĩa. Luôn thử nhân hai hạng tử định tách để kiểm tra biến có triệt tiêu hết không.
Quên kiểm tra dấu "=" có đạt được trong miền cho phép
Sau khi áp Cô-si ra một cận (ví dụ L\geq 24), bắt buộc phải chỉ ra giá trị cụ thể của biến làm dấu "=" xảy ra và kiểm tra giá trị đó có thoả điều kiện bài toán (dương, nằm trong miền hợp lệ) hay không. Nếu không chỉ ra được, bất đẳng thức chỉ là một cận, chưa chắc là GTLN/GTNN thực sự đạt được.
4. Bẫy thường gặp
Nhầm dấu hệ số a khi kết luận GTLN hay GTNN
Khi a<0, đỉnh cho GTLN (không phải GTNN); khi a>0, đỉnh cho GTNN. Nhầm chiều là lỗi phổ biến nhất — nên nhớ bằng hình ảnh: bề lõm quay xuống (như mái nhà) thì có đỉnh cao nhất, bề lõm quay lên (như lòng chảo) thì có đáy thấp nhất.
Áp dụng Cô-si cho số không dương
Bất đẳng thức Cô-si a+b\geq 2\sqrt{ab} chỉ đúng khi a,b>0. Nếu một trong hai đại lượng có thể âm hoặc bằng 0 (cần kiểm tra từ ngữ cảnh bài toán, ví dụ độ dài luôn dương nhưng một biểu thức đại số suy ra chưa chắc dương), phải chứng minh tính dương trước khi áp dụng.
Nhầm lẫn giữa hai kỹ thuật
Một số học sinh cố ép mọi bài toán Min-Max về đỉnh parabol kể cả khi biểu thức không phải bậc hai một biến (ví dụ có 1/x), hoặc cố ép dùng Cô-si cho bài chỉ có một biến bậc hai đơn giản khiến lời giải dài dòng không cần thiết. Luôn kiểm tra dạng biểu thức trước khi chọn công cụ.
Checklist trước khi nộp bài
- Đã xác định đúng công cụ (đỉnh parabol hay Cô-si) dựa trên dạng biểu thức chưa?
- Với đỉnh parabol: đã xác định đúng dấu hệ số a và kiểm tra đỉnh nằm trong miền xác định chưa?
- Với Cô-si: đã kiểm tra các số đều dương và tách đúng cặp hạng tử có tích là hằng số chưa?
- Đã chỉ rõ điều kiện đạt dấu "=" (hoặc toạ độ đỉnh) và đối chiếu với đề bài chưa?
- Đã diễn giải kết quả về đúng đại lượng đề bài hỏi (không dừng lại ở giá trị của biến trung gian) chưa?
LUKATO THCS AI · Chuyên đề Toán 9
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.