Toán 9 · Tứ Giác Nội Tiếp (Nâng Cao) — 4 Dấu Hiệu Và 2 Cấu Hình Kinh Điển
4 dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp + 2 cấu hình kinh điển của bài hình học chứng minh: đường cao-trực tâm và tiếp tuyến-cát tuyến. Trình bày theo hướng…
Toán 9 · Tứ Giác Nội Tiếp (Nâng Cao) — 4 Dấu Hiệu Và 2 Cấu Hình Kinh Điển
4 dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp + 2 cấu hình kinh điển của câu hình học cuối đề: đường cao-trực tâm và tiếp tuyến-cát tuyến
Mục tiêu bài học
- Thuộc và vận dụng thành thạo 4 dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, biết chọn đúng dấu hiệu phù hợp với dữ kiện đề bài.
- Thành thạo cấu hình kinh điển "đường cao — trực tâm" xuất hiện thường xuyên trong các bài hình học chứng minh.
- Thành thạo cấu hình "tiếp tuyến — cát tuyến" và các hệ thức lượng trong đường tròn suy ra từ tứ giác nội tiếp.
- Trình bày chứng minh chặt chẽ: luôn chỉ rõ đang dùng dấu hiệu nào ở mỗi bước.
1. Bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Một tứ giác nội tiếp được một đường tròn khi và chỉ khi nó thoả một trong bốn dấu hiệu dưới đây. Việc đầu tiên khi làm bài không phải là chứng minh, mà là đọc dữ kiện đề bài để chọn đúng dấu hiệu — dùng sai dấu hiệu (hoặc chọn dấu hiệu không khớp với dữ kiện đã có) khiến lời giải dài dòng hoặc bế tắc.
Bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: tổng hai góc đối 180°, góc ngoài bằng góc trong đối diện, hai đỉnh kề nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau, và bốn điểm cách đều một điểm.
Chọn dấu hiệu theo dữ kiện đề bài
Đề cho hai góc vuông cùng nhìn một cạnh ⇒ dấu hiệu ③. Đề cho hai góc vuông kề nhau tại hai đỉnh đối diện (như trực tâm) ⇒ dấu hiệu ①. Đề có tiếp tuyến (góc giữa tiếp tuyến và bán kính = 90°) ⇒ thường phối hợp dấu hiệu ① hoặc ③. Đề yêu cầu chỉ rõ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ⇒ dấu hiệu ④.
2. Cấu hình kinh điển 1 — Đường cao và trực tâm
Đây là cấu hình xuất hiện nhiều nhất trong các bài hình học chứng minh: một tam giác nhọn với hai (hoặc ba) đường cao cắt nhau tại trực tâm H. Hai góc vuông tại chân đường cao luôn tạo ra ít nhất một tứ giác nội tiếp.
Ví dụ
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB).
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp.
c) Chứng minh AF·AB = AE·AC.
a) Vì BE\perp AC tại E nên \widehat{BEC}=90°. Vì CF\perp AB tại F nên \widehat{BFC}=90°. Suy ra F và E cùng nhìn đoạn BC dưới một góc 90° và cùng nằm về một phía của BC (vì tam giác nhọn nên E, F nằm trong tam giác). Theo dấu hiệu ③ , tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
b) H nằm trên đoạn CF nên \widehat{AFH}=90°; H nằm trên đoạn BE nên \widehat{AEH}=90°. Suy ra \widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90°+90°=180°, mà F và E là hai đỉnh đối diện trong tứ giác AFHE. Theo dấu hiệu ① , tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH.
c) Vì tứ giác BFEC nội tiếp, theo dấu hiệu ② : góc ngoài tại F bằng góc trong đối diện, tức \widehat{AFE}=\widehat{BCE}=\widehat{ACB}. Xét \triangle AFE và \triangle ACB có: \widehat{A} chung; \widehat{AFE}=\widehat{ACB} (vừa chứng minh). Suy ra \triangle AFE \sim \triangle ACB (g.g), do đó \dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}, hay AF\cdot AB = AE\cdot AC (đpcm).
Hai góc vuông tại E và F tạo ra hai tứ giác nội tiếp: BFEC (dấu hiệu ③) và AFHE (dấu hiệu ①), từ đó suy ra hệ thức AF·AB = AE·AC.
Nhầm "cùng nhìn một cạnh" khi hai điểm khác phía
Dấu hiệu ③ chỉ đúng khi hai đỉnh nhìn cạnh đó cùng một phía . Nếu F và E nằm khác phía của BC, góc bằng nhau không suy ra được tứ giác nội tiếp mà phải xét tổng hai góc đối (dấu hiệu ①) với tứ giác đặt tên theo đúng thứ tự các đỉnh quanh đường tròn.
3. Cấu hình kinh điển 2 — Tiếp tuyến và cát tuyến
Khi đề bài có tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn, góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm luôn bằng 90°. Đây là nguồn góc vuông thứ hai, thường kết hợp với dấu hiệu ① để tạo tứ giác nội tiếp có đường kính là đoạn nối điểm ngoài với tâm O.
Ví dụ
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R=5\text{cm}) với OM=13\text{cm}, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm) và một cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D). Gọi H là giao điểm của AB và MO.
a) Tính độ dài MA.
b) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MA^2=MC\cdot MD.
c) Chứng minh MH\cdot MO = MC\cdot MD.
a) Vì MA là tiếp tuyến tại A nên OA\perp MA, tam giác OAM vuông tại A. Theo Pythagore: MA=\sqrt{OM^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\text{cm}.
b) \widehat{OAM}=90° (tiếp tuyến MA) và \widehat{OBM}=90° (tiếp tuyến MB), mà đây là hai góc đối của tứ giác MAOB, nên \widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180°. Theo dấu hiệu ① , tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Xét \triangle MAC và \triangle MDA có: \widehat{M} chung; \widehat{MAC}=\widehat{MDA} (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AC bằng góc nội tiếp chắn cung AC ở phía đối diện, tức góc ADC). Suy ra \triangle MAC \sim \triangle MDA (g.g), do đó \dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}, hay MA^2=MC\cdot MD.
c) Vì MA=MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA=OB=R, nên OM là đường trung trực của AB, suy ra OM\perp AB tại H. Trong tam giác vuông OAM (vuông tại A) có đường cao AH ứng với cạnh huyền OM, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: MA^2=MH\cdot MO. Kết hợp với phần b) MA^2=MC\cdot MD, suy ra MH\cdot MO=MC\cdot MD (đpcm).
Nhầm hệ thức phương tích tính từ M với tính từ O
Hệ thức MA^2=MC\cdot MD là phương tích của điểm M (điểm ngoài, gốc của tiếp tuyến và cát tuyến), không liên quan trực tiếp đến O. Học sinh hay viết nhầm thành OA^2=MC\cdot MD hoặc gán sai đoạn thẳng vào công thức — luôn kiểm tra lại đúng đỉnh mà hai đường (tiếp tuyến, cát tuyến) cùng xuất phát.
4. Áp dụng nhanh — tính góc trong tứ giác nội tiếp
Ví dụ
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có \widehat{BAD}=110°, \widehat{ABC}=75°.
a) Tính \widehat{BCD} và \widehat{ADC}.
b) Gọi E là một điểm trên tia đối của tia DC. Tính \widehat{BCE} và so sánh với \widehat{BAD}.
a) Theo dấu hiệu ①: \widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180° \Rightarrow \widehat{BCD}=180°-110°=70°. Tương tự: \widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180° \Rightarrow \widehat{ADC}=180°-75°=105°.
b) \widehat{BCE} kề bù với \widehat{BCD} (vì E, D, C thẳng hàng và E, D khác phía qua C): \widehat{BCE}=180°-\widehat{BCD}=180°-70°=110°. Ta thấy \widehat{BCE}=110°=\widehat{BAD} — đúng như dấu hiệu ② đã nêu: góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.
5. Bẫy thường gặp
Chọn sai cặp góc "đối" khi tứ giác không viết đúng thứ tự đỉnh
Dấu hiệu ① chỉ đúng khi các đỉnh được liệt kê theo đúng thứ tự quanh đường tròn (ví dụ ABCD, không phải ABDC). Nếu nhầm thứ tự, cặp góc "đối diện" bị xác định sai và kết luận tổng bằng 180° trở thành vô nghĩa.
Quên nêu rõ đang dùng dấu hiệu nào khi trình bày
Một chứng minh chỉ viết "suy ra tứ giác nội tiếp" mà không chỉ rõ đã dùng dấu hiệu nào (và các góc bằng nhau/tổng 180° cụ thể là gì) sẽ bị coi là thiếu chặt chẽ. Luôn viết tường minh: "vì ... nên theo dấu hiệu ①/②/③/④, tứ giác ... nội tiếp".
Dùng tứ giác nội tiếp nhưng không kiểm tra tính cùng phía
Với dấu hiệu ③, nếu không kiểm tra hai đỉnh nhìn cạnh có thực sự cùng phía hay không, có thể nhầm lẫn giữa "nhìn dưới góc bằng nhau" (cùng phía, cho tứ giác nội tiếp) với "nhìn dưới góc bù nhau" (khác phía, không áp dụng được dấu hiệu này trực tiếp).
Checklist trước khi nộp bài
- Đã xác định đúng 4 điểm cần chứng minh cùng thuộc một đường tròn, đúng thứ tự quanh đường tròn chưa?
- Đã chỉ rõ đang dùng dấu hiệu nào (①②③④) ở mỗi bước chứng minh chưa?
- Với dấu hiệu ③: đã kiểm tra hai đỉnh nhìn cạnh có cùng phía chưa?
- Với hệ thức phương tích (MA^{2}=MC·MD dạng): đã xác định đúng đỉnh gốc của tiếp tuyến/cát tuyến chưa?
- Đã tận dụng tứ giác nội tiếp vừa chứng minh để suy ra góc bằng nhau phục vụ các câu sau chưa?
LUKATO THCS AI · Chuyên đề Toán 9
Visual Learning Map · 4 sơ đồ bắt buộc
Nhìn cấu trúc bằng hình trước khi đọc công thức và lời giải chi tiết.