Nhìn cấu trúc: đa thức, tổng bình phương và các hình thoi ẩn
Thu gọn có mục đích, chứng minh biểu thức độc lập với biến, khai thác tổng bình phương và dùng đường trung bình để nhận ra hình chữ nhật, hình vuông.
TOÁN 8 · NHẬN DIỆN CẤU TRÚC
Nhìn cấu trúc: đa thức, tổng bình phương và các hình thoi ẩn
Thu gọn có mục đích, chứng minh biểu thức độc lập với biến, khai thác tổng bình phương và dùng đường trung bình để nhận ra hình chữ nhật, hình vuông.
1. Nhìn cấu trúc trước khi tính hoặc đo
Trong đại số, các hạng tử có thể triệt tiêu sau khi đặt nhân tử chung. Trong hình học, một tứ giác có thể được nhận ra nhờ đường chéo chứ không cần đo góc. Cùng một thói quen giúp cả hai: xác định tính chất đang có, rồi chọn phép biến đổi làm tính chất ấy hiện rõ.
Chuyên đề đi từ đơn thức, hằng đẳng thức và biểu thức không phụ thuộc biến đến tổng bình phương; sau đó dùng các dấu hiệu tứ giác trong một cấu hình trung điểm. Tất cả lập luận ở mức Toán 8, không cần vectơ hoặc tích vô hướng.
2. Thu gọn trước khi xét bậc
Đơn thức khác 0 có bậc bằng tổng số mũ của các biến. Chẳng hạn xy^3z có bậc 1+3+1=5, còn x^2y^7 có bậc 9. Hệ số khác 0 không làm thay đổi bậc. Đơn thức 0 không có bậc xác định theo quy ước đang dùng.
Hai đơn thức đồng dạng có cùng phần biến với cùng số mũ. Vì thế -20x^4y^2 và x^4y^2 cộng được thành -19x^4y^2, nhưng không được gộp x^4y với xy^4.
Biểu thức x^4y-2x^4y+x^2 có bậc bao nhiêu? Nếu thay hệ số -2 bằng -1, điều gì thay đổi?
Gợi ý và giải thích
Trường hợp đầu thu gọn thành -x^4y+x^2, bậc 5. Trường hợp sau hai hạng bậc 5 triệt tiêu, chỉ còn x^2, bậc 2. Vì vậy phải thu gọn rồi mới tìm bậc cao nhất của các hạng còn lại.
Tính phân phối cho phép nhân đơn thức với đa thức:
3xy(2x^2-3yz+x^3)=6x^3y-9xy^2z+3x^4y.
Khi nhân các lũy thừa cùng biến, cộng số mũ. Khi cộng các hạng tử, chỉ cộng hệ số của những hạng đồng dạng; không có quy tắc cộng số mũ qua dấu cộng. Đa thức vừa thu gọn có bậc 5, từ hạng 3x^4y.
3. Hằng đẳng thức là một cách viết có mục đích
Ba cấu trúc thường dùng:
(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b),a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
Có thể kiểm chứng mỗi công thức bằng phép nhân phân phối. Hướng sử dụng tùy mục tiêu: khai triển để triệt tiêu, hoặc gom lại để xét dấu, tìm nghiệm.
Ví dụ -4x^2+12x-9=-(2x-3)^2\le0, dấu bằng chỉ khi x=3/2. Cách viết thành bình phương cho cả dấu và điều kiện bằng 0, điều mà dạng khai triển khó nhìn hơn.
Trong x^3+9x^2+27x+19, phải thêm rồi bớt bao nhiêu để tạo một lập phương?
Gợi ý rồi giải phương trình
Ba hạng đầu gợi (x+3)^3=x^3+9x^2+27x+27. Vì 19=27-8, phương trình bằng 0 trở thành
(x+3)^3-2^3=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x+1)\bigl((x+4)^2+3\bigr)=0.
Thừa số thứ hai luôn dương với x thực, nên nghiệm duy nhất là x=-1. Kiểm tra biểu thức ban đầu: -1+9-27+19=0.
Ở một phương trình khác, hiệu hai bình phương giúp loại hạng bậc hai:
25(x+3)^2+(1-5x)(1+5x)=8.
Vế trái bằng 25x^2+150x+225+1-25x^2=150x+226. Do đó 150x=-218, hay x=-109/75. Phương trình nhìn có bình phương nhưng sau thu gọn là phương trình bậc nhất; đừng quyết định cách giải chỉ theo hình thức ban đầu.
4. Chứng minh một biểu thức không phụ thuộc biến
Muốn nói P không phụ thuộc y, cần biến đổi được P thành một biểu thức chỉ chứa các biến khác, đúng với mọi giá trị được phép của y. Thử hai giá trị y cho cùng kết quả chưa phải chứng minh.
Cho A=x^2-4xy-4, B=2x^2-3xy+y^2-4, và B=A+M. Trước hết
M=B-A=x^2+xy+y^2.
Xét P=(x-3)M-(x+y)(xy-3y). Nhận ra xy-3y=y(x-3), ta có
\begin{aligned}P&=(x-3)\bigl[M-y(x+y)\bigr]\\&=(x-3)\bigl[x^2+xy+y^2-xy-y^2\bigr]\\&=x^2(x-3).\end{aligned}
Kết quả không còn y. Đặt nhân tử chung làm lộ chỗ triệt tiêu, tránh một phép khai triển dài. Cách kiểm tra ngược là nhân ra rồi so với biểu thức ban đầu; các hệ số của những hạng chứa y phải triệt tiêu hoàn toàn.
Chuyển giao: thay hằng số 3 bằng một số thực c
Vẫn với M=x^2+xy+y^2, biểu thức (x-c)M-(x+y)(xy-cy) luôn bằng x^2(x-c). Lí do không thay đổi: xy-cy=y(x-c). Tính không phụ thuộc y đến từ cấu trúc nhân tử chung, không phải do số 3 đặc biệt.
5. Tổng các bình phương: điều kiện thực và không âm
Với các số thực U,V,W, mỗi bình phương đều không âm. Bởi vậy
U^2+V^2+W^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad U=V=W=0.
Nếu một bình phương dương, tổng đã dương; hai số không âm còn lại không thể bù nó xuống 0. Điều kiện tổng bằng 0 là thiết yếu: tổng bằng 1 không buộc từng số bằng 0.
Các hạng 4x^2-4xy-4xz+2yz gợi bình phương nào chứa cả ba biến?
Gợi ý rồi hoàn thiện bình phương
Thử (2x-y-z)^2. Nó tạo đúng các tích chéo, đồng thời tạo thêm y^2+z^2. Phần còn lại sẽ ghép thành hai bình phương một biến:
\begin{aligned}&4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34\\&=(2x-y-z)^2+(y-3)^2+(z-5)^2.\end{aligned}
Nếu biểu thức trên bằng 0, ta phải có y=3,z=5,2x-y-z=0, nên x=4. Ngược lại bộ (4,3,5) làm cả ba bình phương bằng 0, vì vậy đây là nghiệm duy nhất.
Khi cần tính (x-4)^{2023}+(y-4)^{2025}+(z-4)^{2027}, chỉ thay các độ lệch 0,-1,1. Ba số mũ đều dương và lẻ, nên giá trị bằng 0-1+1=0. Không cần tính những lũy thừa lớn theo cách nhân lặp.
Thử với tổng bình phương mới
Nếu (x+y-5)^2+(x-y-1)^2=0, hai biểu thức phải đồng thời bằng 0. Cộng hai phương trình được 2x=6, nên x=3,y=2. Thay lại xác nhận cả hai bình phương bằng 0.
6. Tứ giác: phân biệt tính chất với dấu hiệu
Tứ giác lồi có tổng góc bằng 360^\circ, do một đường chéo chia nó thành hai tam giác. Nếu bốn góc là 3x,110^\circ,x,90^\circ, ta có 4x+200^\circ=360^\circ, nên x=40^\circ. Phải cộng hai hạng 3x+x thành 4x; không được mất một ẩn trong quá trình chuyển vế.
Ba dấu hiệu cần dùng ở phần tiếp theo:
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Trong hình thoi, hai đường chéo chia đôi nhau và vuông góc. Trong hình bình hành, hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật. Không được bỏ điều kiện “hình bình hành”: hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau mà chưa chắc là hình chữ nhật.
7. Hai hình thoi ẩn trong một hình bình hành
Cho hình bình hành không suy biến ABCD, AB=2AD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,CD. Đặt P=AN\cap DM, Q=CM\cap BN.
Vì AM=AB/2=AD, em nhận ra loại tứ giác nào trong AMND? Hãy xét tương tự MBCN.
Ta có AM\parallel DN, AM=DN, nên AMND là hình bình hành. Lại có AM=AD, nên nó là hình thoi. Tương tự MBCN là hình thoi, vì MB=BC=AD.
Vì P là giao điểm hai đường chéo của hình thoi thứ nhất, P là trung điểm AN,DM, và AN\perp DM. Vì Q là giao điểm hai đường chéo của hình thoi thứ hai, Q là trung điểm CM,BN.
Hình dựng với AB=160, AD=\sqrt{48^2+64^2}=80 đơn vị hình. Tứ giác tô xanh là hình chữ nhật, nhưng chưa là hình vuông.
Trong tam giác DCM, N là trung điểm DC, Q là trung điểm CM. Đường trung bình cho NQ\parallel DM, NQ=DM/2. Mà P là trung điểm DM, nên PM=DM/2=NQ và PM\parallel NQ. Một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, vậy PMQN là hình bình hành.
Hai cạnh PM,PN nằm trên DM,AN, vốn vuông góc. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. Do đó PMQN luôn là hình chữ nhật trong cấu hình đã cho.
8. Khi nào hình chữ nhật ấy là hình vuông?
Hai cạnh kề tại P có độ dài
PM=\frac{DM}{2},\qquad PN=\frac{AN}{2}.
Vì PMQN đã là hình chữ nhật, nó là hình vuông khi và chỉ khi DM=AN. Đây chính là hai đường chéo của hình thoi AMND.
Vì sao hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật?
Trong hình bình hành AMND, xét hai tam giác DAM và ADN. Có DA chung, AM=DN, và DM=AN. Chúng bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh; suy ra \angle DAM=\angle ADN. Hai góc này kề một cạnh bên của hình bình hành nên bù nhau. Hai góc vừa bằng nhau vừa bù nhau phải cùng bằng 90^\circ.
Vậy DM=AN tương đương AMND là hình chữ nhật, tức AD\perp AM. Do tia AM trùng tia AB, điều kiện cuối là
\boxed{PMQN\text{ là hình vuông }\Longleftrightarrow\angle DAB=90^\circ}.
Chiều ngược cũng đầy đủ: nếu AB\perp AD, hình AMND vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật, nên hai đường chéo bằng nhau; từ đó PM=PN, và hình chữ nhật PMQN là hình vuông.
Chuyển giao: một kiểm chứng có số đo
Nếu AB=10,AD=5 và \angle DAB=90^\circ, hình AMND là hình vuông cạnh 5, đường chéo 5\sqrt2. Vì thế hình vuông PMQN có cạnh 5\sqrt2/2, diện tích 25/2. Nếu chỉ biết AB=2AD, không được kết luận hình vuông ngay: hình minh họa nghiêng ở trên là phản ví dụ.
Tự kiểm tra. Tôi có thu gọn trước khi xác định bậc không? Tôi có kiểm tra hằng đẳng thức bằng khai triển không? Tôi có chứng minh sự triệt tiêu cho mọi giá trị biến không? Tôi có dùng tính không âm với đúng tổng bằng 0 không? Trong hình học, tôi đã chứng minh hình bình hành trước khi áp dụng dấu hiệu hình chữ nhật hoặc hình vuông chưa?
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu