Cầu nối lớp 5–6: phân số, trung bình và tỉ lệ có ý nghĩa
Củng cố số học cuối tiểu học bằng mô hình phân số, phép tính ngược, trung bình và đơn vị; tách rõ phần trăm lớp 5 và phần mở rộng phân số âm lớp 6.
Củng cố cuối tiểu học · Chuẩn bị vào THCS
Cầu nối lớp 5–6: phân số, trung bình và tỉ lệ có ý nghĩa
Củng cố số học cuối tiểu học bằng mô hình phân số, phép tính ngược, trung bình và đơn vị; tách rõ phần trăm lớp 5 và phần mở rộng phân số âm lớp 6.
1. Cầu nối từ số học tiểu học đến tư duy THCS
Trước khi học biểu thức và phương trình dài ở THCS, cần hiểu điều gì được giữ nguyên khi tính: giá trị của một phân số, tổng của một nhóm dữ liệu, đơn giá của một loại hàng, hay diện tích khi đổi cách chia hình. Bài này củng cố kiến thức cuối tiểu học và chỉ rõ phần mở rộng sang lớp 6.
Điều kiện học trước. Em nên biết bốn phép tính số tự nhiên, bảng nhân, phân số dương, đổi đơn vị thời gian, chu vi và diện tích hình chữ nhật. Phần tỉ số phần trăm phù hợp sau khi đã học kiến thức lớp 5. Riêng mục về phân số âm được đánh dấu là mở rộng lớp 6 ; không coi đó là kiến thức bắt buộc của lớp 4. Những lập luận dùng chữ ở đây đều được giải thích bằng phép tính hoặc mô hình quen thuộc.
Hãy dùng các câu dự đoán để tự nói ra lý do trước khi tính. Một đáp số đúng do nhớ mẫu chưa chắc giúp em xử lý khi dữ kiện thay đổi.
2. Phép nhân và phép chia giữ quan hệ nào?
Nhân một số với mười tám nghĩa là ghép mười nhóm và tám nhóm cùng kích thước. Vì vậy
248\,536\cdot18=248\,536\cdot(10+8).
=2\,485\,360+1\,988\,288=4\,473\,648.
Đây là tính chất phân phối. Nó cũng cho cách tính nhanh 673\cdot14+327\cdot14=(673+327)\cdot14=1000\cdot14=14\,000. Có thể hình dung hai nhóm cùng có mười bốn hàng, ghép số vật của mỗi hàng trước rồi nhân. Không được gộp nếu phần nhân khác nhau mà chưa biến đổi: 2\cdot3+4\cdot5=26, khác (2+4)(3+5)=48.
Trong phép chia có dư của số tự nhiên, với số chia b>0, ta cần a=bq+r, trong đó q,r là số tự nhiên và 0\le r<b. Số dư nhỏ hơn số chia vì nếu còn ít nhất một nhóm b, ta vẫn chia thêm được một nhóm.
394\,635=27\cdot14\,616+3.
Do 0\le3<27, thương là 14\,616, dư ba. Viết thương ít hơn một rồi dư ba mươi vẫn cho đúng tổng, nhưng không phải kết quả chia có dư chuẩn vì 30\ge27.
Dự đoán và thử ngược: chia giấy thành bó
Có 53 tờ, mỗi bó đủ 8 tờ. Được bao nhiêu bó đầy, còn mấy tờ? Nếu cần đựng hết giấy trong các túi chứa tối đa tám tờ, cần bao nhiêu túi?
Gợi ý: 53=8\cdot6+5. Có sáu bó đầy và dư năm tờ. Nhưng cần bảy túi để chứa hết, vì túi cuối chưa đầy vẫn phải dùng. Nếu em trả lời sáu cho cả hai câu, hãy đọc lại “đủ” và “tối đa”. Với số giấy bằng không thì không cần túi nào; không tự cộng một nếu số dư bằng không.
3. Phân số: cùng lượng, khác cách chia đơn vị
Với mẫu b>0, phân số a/b biểu thị a phần, mỗi phần bằng một phần b của đơn vị. Chia mỗi phần nhỏ thành k phần bằng nhau, k là số tự nhiên dương, số phần và mẫu cùng nhân k, lượng không đổi:
\frac ab=\frac{ak}{bk}.
Đó là cơ sở của quy đồng và rút gọn. Rút gọn phải chia cả tử và mẫu cho cùng một thừa số khác không . Không bỏ một số hạng trong phép cộng: \frac{8+4}{4+4}=\frac{12}{8}=\frac32, còn bỏ bốn ở cả hai tổng sẽ thành 8/4=2, làm đổi giá trị.
Muốn cộng, cần đếm cùng một cỡ phần. Chẳng hạn 3/16=6/32, nên
\frac3{16}+\frac{14}{32}=\frac6{32}+\frac{14}{32}=\frac{20}{32}=\frac58.
Cùng phần tô được gọi là 5/8 hoặc 10/16. Hai thanh phải biểu thị cùng một đơn vị; nếu đơn vị dài khác nhau, chỉ so tỉ lệ tô chưa đủ để kết luận hai độ dài bằng nhau.
Nhân là lấy một phần của một lượng
Chia một hình chữ nhật thành b cột và d hàng, ta có bd ô bằng nhau. Tô a cột theo một chiều và c hàng theo chiều kia, phần chung gồm ac ô: đó là hình ảnh của \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd} khi hai phân số nằm trong khoảng từ không đến một. Với phân số lớn hơn một, có thể ghép thêm các đơn vị rồi áp dụng cùng phép chia.
Ví dụ \frac{34}{15}\cdot\frac3{17}=\frac{2\cdot17\cdot3}{3\cdot5\cdot17}=\frac25. Rút gọn các thừa số trước giúp thấy cấu trúc, không chỉ giảm số phải nhân. Với tích dài:
\frac{11}{4}\cdot\frac8{14}\cdot\frac7{11}\cdot\frac53=\frac53.
Lý do: mười một ở tử và mẫu khử nhau; 8/(4\cdot14) nhân bảy bằng một. Chỉ khử các thừa số trong toàn bộ tích.
Vì sao chia một phân số là nhân với nghịch đảo?
Với b,d>0, c>0, đổi cả hai phân số về cùng cỡ 1/(bd): a/b=ad/(bd), c/d=bc/(bd). Số lần lượng thứ hai chứa trong lượng thứ nhất là ad/(bc). Vì vậy
\frac ab:\frac cd=\frac{ad}{bc}=\frac ab\cdot\frac dc.
Điều kiện số chia khác không rất quan trọng. Chẳng hạn \frac3{19}:\frac6{57}=\frac3{19}\cdot\frac{57}{6}=\frac32. Kết quả lớn hơn số bị chia, vì số chia nằm giữa không và một. Phản ví dụ cho suy nghĩ “chia luôn làm nhỏ”: 1:\frac12=2.
4. Tìm toàn bộ từ một phần và kiểm bằng thao tác ngược
Biết 3/4 của một số bằng 45. Có thể chia bốn phần bằng nhau: ba phần bằng bốn mươi lăm thì một phần bằng 45:3=15, bốn phần bằng 15\cdot4=60. Dạng phép tính gọn là 45:\frac34=60. Thử ngược 60\cdot\frac34=45.
Khác với tìm một phần của số đã biết, ở đây biết phần và cần tìm toàn bộ. Một phần bằng không không đủ xác định toàn bộ: biết 0 lần một số bằng không thì nhiều số đều thỏa; không chia cho không để tìm một đáp số.
Dự đoán. Một máy tính tưởng tượng nhân số đầu vào với 5/4, rồi cộng 1/2. Khi kết quả là 17/8, số đầu vào x thỏa \frac12+\frac54x=\frac{17}{8}. Ta nên đảo thao tác cộng hay thao tác nhân trước?
Giải bằng hai phép toán ngược
Trừ 1/2=4/8 khỏi hai vế trước, được \frac54x=\frac{13}{8}. Sau đó chia cho 5/4: x=\frac{13}{8}\cdot\frac45=\frac{13}{10}. Thử lại \frac12+\frac54\cdot\frac{13}{10}=\frac4{8}+\frac{13}{8}=\frac{17}{8}. Nếu em trừ một nửa khỏi x trước khi nhân, em đang giải một biểu thức khác. Chữ x ở đây chỉ số cần tìm; chưa cần dùng quy tắc chuyển vế như một câu thần chú.
5. Trung bình: chia đều tổng, không chia đều kết luận
Ba bạn cao 125,130,129\,\mathrm{cm}. Tổng chiều cao là 384\,\mathrm{cm}, chia đều cho ba bạn cho số trung bình 128\,\mathrm{cm}. Số trung bình có thể không trùng chiều cao của ai. Nó nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất: nếu tất cả số đều ít nhất bằng một mức, trung bình không thể nhỏ hơn mức đó; lập luận tương tự cho mức lớn nhất.
Giả sử số tiền chi trong sáu tháng, theo thứ tự, là 4,6,7,4,7,8 triệu đồng. Tổng là 36 triệu, trung bình 6 triệu mỗi tháng; tháng cuối chiếm 8/36=2/9 tổng chi sáu tháng.
Các cột dùng chung đơn vị, chiều rộng và gốc không; độ cao cột tương ứng đúng 4,6,7,4,7,8. Đây là dữ liệu minh họa về khoản chi, không bao gồm thu nhập.
Đọc đúng phạm vi dữ liệu. Tháng một và bốn có số tiền chi thấp nhất. Không đủ dữ kiện để gọi đó là hai tháng tiết kiệm nhiều nhất: tiền tiết kiệm phụ thuộc cả thu nhập. Một tháng thu bốn triệu, chi bốn triệu tiết kiệm không; một tháng thu mười triệu, chi sáu triệu tiết kiệm bốn triệu, dù chi nhiều hơn.
Trung bình của hai nhóm không luôn là trung bình cộng của hai số trung bình. Ví dụ hai bạn có số trung bình là mười, tám bạn khác có số trung bình là hai mươi. Tổng của mười bạn là 2\cdot10+8\cdot20=180, nên trung bình chung là mười tám, không phải (10+20)/2=15. Phải khôi phục tổng bằng số phần tử của mỗi nhóm.
Chuyển giao: thêm một số mới
Năm số có trung bình hai mươi bốn. Thêm số ba mươi sáu. Không cộng ba mươi sáu trực tiếp vào số trung bình; hãy dự đoán trung bình mới lớn hơn hay nhỏ hơn hai mươi bốn.
Gợi ý: tổng cũ 5\cdot24=120, tổng mới 120+36=156, số phần tử mới là sáu. Trung bình mới 156:6=26, tăng vì số thêm lớn hơn trung bình cũ. Nếu thêm đúng số hai mươi bốn thì trung bình giữ nguyên.
6. Đơn vị và tỉ lệ: điều kiện để rút về một đơn vị
Bốn món hàng cùng loại có tổng giá 104\,000 đồng, không có phí cố định hay giảm giá theo số lượng. Giá một món là 104\,000:4=26\,000 đồng; sáu món giá 26\,000\cdot6=156\,000 đồng. Rút về đơn vị hoạt động vì giá mỗi món giữ nguyên.
Nếu tổng cho bốn món gồm cả phí giao hàng 20\,000 đồng, không được chia toàn bộ cho bốn rồi nhân sáu. Khi đó giá hàng mỗi món là (104\,000-20\,000):4=21\,000 đồng; sáu món cùng một lần giao giá 6\cdot21\,000+20\,000=146\,000 đồng. Đây là phản ví dụ cho việc dùng tỉ lệ thuận khi có khoản phí cố định.
Với thời gian, 1/4 giờ là 60:4=15 phút. Một hoạt động chuẩn bị mười lăm phút rồi làm mười bốn lượt, mỗi lượt hai phút, kéo dài 15+14\cdot2=43 phút. Ta nhân phần lặp lại, không nhân thời gian chuẩn bị một lần. Nếu thời gian chuẩn bị lặp trước mỗi lượt, mô hình phải thay đổi.
Diện tích và sản lượng
Ruộng hình chữ nhật dài 160\,\mathrm m, rộng bằng 5/8 chiều dài. Chiều rộng 160\cdot5/8=100\,\mathrm m, diện tích 160\cdot100=16\,000\,\mathrm m^2. Nếu mỗi 100\,\mathrm m^2 đều thu 70\,\mathrm{kg}, sản lượng là
16\,000:100\cdot70=11\,200\,\mathrm{kg}.
Giả thiết năng suất đồng đều hoặc mức năng suất trung bình phù hợp cho toàn ruộng là cần thiết. Diện tích dùng mét vuông, sản lượng dùng kilôgam; chia diện tích cho một trăm mét vuông cho số nhóm, rồi nhân sản lượng mỗi nhóm.
Hình chữ nhật ABCD có các đỉnh theo thứ tự quanh biên thì AB\parallel CD, AD\parallel BC, bốn góc vuông. Chỉ một cặp cạnh song song chưa đủ kết luận là hình chữ nhật: một hình thang có hai cạnh đáy song song nhưng cạnh bên nghiêng là phản ví dụ. Chiều dài đường bao và diện tích cũng khác nhau: ruộng trên có chu vi 2(160+100)=520\,\mathrm m, không dùng con số ấy làm diện tích.
7. Phần trăm: luôn hỏi “phần trăm của lượng nào?”
Phần trăm là phân số có mẫu một trăm. Tăng 25\% nghĩa là thêm một phần tư lượng ban đầu, nên lượng mới bằng 125/100=5/4 lần lượng cũ. Giảm 20\% của lượng hiện tại nghĩa là giữ 80/100=4/5 lần lượng đó.
Dự đoán. Một lượng tăng hai mươi lăm phần trăm rồi giảm hai mươi phần trăm, có tăng năm phần trăm không?
Hai lần thay đổi dùng hai lượng gốc khác nhau
Lấy ban đầu một trăm đơn vị. Tăng hai mươi lăm được một trăm hai mươi lăm; giảm hai mươi phần trăm của số mới là giảm hai mươi lăm, về một trăm. Tổng quát, nhân 5/4 rồi nhân 4/5 cho hệ số một, nên không đổi. Nếu chỉ cộng trừ các phần trăm, em đã coi hai mức phần trăm cùng lấy một lượng gốc.
Ngược lại, tăng 20\% rồi giảm 20\% cho hệ số 6/5\cdot4/5=24/25, còn chín mươi sáu phần trăm ban đầu, giảm bốn phần trăm. Cùng con số phần trăm không làm hai thao tác tự triệt tiêu.
Quy đổi điểm cũng phải nói rõ chỉ là đổi thang: điểm s trên thang mười một tương ứng 10s/11 trên thang mười, nếu quy đổi theo tỉ lệ. Nó giữ tỉ lệ điểm đạt trên điểm tối đa, không biến thang chấm minh họa thành quy định chính thức của trường.
8. Mở rộng lớp 6: khi hiệu là một phân số âm
Trong phần phân số dương ở tiểu học, các phép trừ thường được chọn để không tạo số âm. Khi mở rộng sang lớp 6, trục số có cả phía bên trái số không, và phân số có thể mang dấu âm.
Xét \frac9{21}-\frac23. Quy đồng \frac23=\frac{14}{21}, nên
\frac9{21}-\frac{14}{21}=-\frac5{21}.
Hiệu âm vì lượng bị trừ nhỏ hơn lượng trừ. Số -5/21 là số đối của 5/21: cộng chúng được không. Kiểm bằng phép cộng ngược: -5/21+14/21=9/21. Không đổi hiệu thành dương để “đáp số dễ nhìn”; làm vậy phá quan hệ ban đầu.
Nhận biết dấu trước khi quy đồng
Không tính ngay: \frac38-\frac12 dương, âm hay bằng không?
Vì 1/2=4/8>3/8, hiệu âm; tính được -1/8. Ngược lại 1/2-3/8=1/8. Thứ tự hai số trong phép trừ quan trọng, khác phép cộng. Nếu em chưa học số âm, hãy ghi nhận rằng hiệu này ra ngoài miền phân số không âm đang dùng và học tiếp mục này sau khi làm quen trục số lớp 6.
9. Biểu thức lớn: so sánh cấu trúc trước khi nhân
Xét \frac{178\cdot270+156}{179\cdot270-114}. Tử và mẫu trông khác nhau, nhưng 179=178+1, nên
179\cdot270-114=178\cdot270+270-114=178\cdot270+156.
Vì tử và mẫu bằng nhau, và mẫu dương, phân số bằng một. Đây là một lời giải đầy đủ mà chưa phải nhân số lớn. Kiểm trực tiếp: cả hai bằng 48\,216, nên mẫu chắc chắn khác không.
Cơ chế là phần tăng 270 trong tích được bù bởi chênh lệch giữa cộng 156 và trừ 114, do 156+114=270. Nếu thay 114 bằng 113, mẫu lớn hơn tử một đơn vị, nên phân số nhỏ hơn một; không còn được kết luận bằng một chỉ vì hình thức gần giống.
Chuyển giao: tạo một ví dụ của chính em
Điền số còn thiếu để \frac{47\cdot60+18}{48\cdot60-\square}=1.
Gợi ý: tăng từ bốn mươi bảy lên bốn mươi tám làm tích tăng sáu mươi; cần bù để chỉ còn thêm mười tám. Số phải trừ là 60-18=42. Hai vế đều bằng 2838, khác không. Cách kiểm bằng cấu trúc và kiểm bằng tính trực tiếp hỗ trợ nhau.
10. Có thể xảy ra không có nghĩa chắc chắn
Một túi chứa hai viên đỏ và một viên xanh, không có viên vàng. Rút một viên: đỏ có thể xảy ra, xanh cũng có thể xảy ra, vàng không thể xảy ra. Nhận định “chắc chắn đỏ” sai vì vẫn có viên xanh. Muốn tính xác suất bằng tỉ lệ số viên, còn cần giả thiết các viên có cơ hội được rút như nhau; màu sắc không tự bảo đảm điều đó.