Đọc quy tắc tính tiền: mô hình và ranh giới áp dụng
Phân biệt tổng tiền, mức tăng thêm và tiền bình quân; xử lí phần lẻ, ngân sách, điểm hòa giá và khoản chia đều bằng mô hình có miền rõ ràng.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Đọc quy tắc tính tiền: mô hình và ranh giới áp dụng
Phân biệt tổng tiền, mức tăng thêm và tiền bình quân; xử lí phần lẻ, ngân sách, điểm hòa giá và khoản chia đều bằng mô hình có miền rõ ràng.
1. Cùng một bảng giá có thể dẫn đến những mô hình khác nhau
Trước khi lập phương trình tính tiền, cần xác định đại lượng nào được tính: tổng số tiền, tiền cho một đơn vị, hay phần tiền tăng thêm. Sau đó đọc cách tính phần lẻ và những mốc đổi quy tắc. Một công thức đúng ở các số nguyên chưa tự xác định được giá trị giữa hai số nguyên.
Bài học dùng những biểu giá giả định để học mô hình toán học, không mô tả giá của một dịch vụ đang hoạt động. Các số tiền trong công thức được tính bằng nghìn đồng ; quãng đường bằng ki-lô-mét. Vì vậy số 15 biểu thị 15000 đồng, không phải 15 đồng.
Có ba câu hỏi phải đọc trước khi tính: phần đầu đã bao gồm những gì; phần tăng thêm được nhân với số đơn vị nào; và biến có nhận giá trị lẻ hay chỉ là số nguyên? Đáp số chỉ có ý nghĩa trong quy tắc đã chọn.
Ta xét quãng đường x>0 của một chuyến đi đã phát sinh. Không tự gán một khoản tiền cho x=0, vì việc chưa bắt đầu chuyến đi cần quy định riêng.
2. Phần đầu cộng phần tăng thêm tạo công thức có mốc
Giả sử ki-lô-mét đầu giá a>0, mỗi ki-lô-mét tiếp theo giá b>0, và trước mắt x là số nguyên dương. Số ki-lô-mét tính theo mức sau là x-1, nên
C(x)=a+b(x-1)=bx+(a-b).
Đây là hai cách viết của cùng một quy tắc. Dạng thứ nhất giữ rõ ý nghĩa “đầu tiên và còn lại”; dạng thứ hai thuận tiện để tính chênh lệch hoặc giải theo x.
Khi tăng quãng đường từ x lên x+1,
C(x+1)-C(x)=b.
Mỗi đơn vị thêm làm tổng tiền tăng cùng một lượng. Tuy nhiên tổng tiền không nhất thiết tỉ lệ thuận với quãng đường. Với x>0,
\frac{C(x)}x=b+\frac{a-b}{x}.
Tỉ số này không cố định nếu a\ne b. Khi a=b, công thức rút thành C(x)=bx, đúng mô hình tỉ lệ thuận. Một phần tăng đều không đồng nghĩa toàn bộ đại lượng tăng theo cùng tỉ lệ.
Hằng số a-b là kết quả viết lại công thức, không nhất thiết là một “phí mở cửa” thu độc lập. Ý nghĩa thực tế phải đọc từ quy tắc gốc, không được suy ngược tùy tiện từ từng hạng của dạng thu gọn.
3. Một biểu giá chọn lọc và phép kiểm tra tại mốc đầu
Dữ kiện chọn lọc: ki-lô-mét đầu giá 15000 đồng; từ ki-lô-mét thứ hai giá 12000 đồng mỗi ki-lô-mét. Quãng đường được cho là số nguyên x>1. Đổi đơn vị theo quy ước của bài:
C(x)=15+12(x-1)=12x+3.
Với x=4, tiền là 15+3\cdot12=51, tức 51000 đồng. Quy tắc ki-lô-mét đầu cũng cho C(1)=15; thay x=1 vào công thức thu gọn được đúng 15.
Phép kiểm tra tại mốc này phát hiện lỗi thường gặp: 15+12x sẽ cho 27 khi x=1, tính ki-lô-mét đầu hai lần. Còn 12x sẽ cho 12, bỏ qua việc ki-lô-mét đầu có giá khác.
Đến đây chỉ có dữ kiện về số ki-lô-mét nguyên. Nếu hỏi chuyến dài 1{,}2\,\mathrm{km}, chưa thể tự chọn giá 17{,}4 hay 27 nghìn đồng. Phải bổ sung quy tắc tính phần lẻ. Hai quy tắc ở phần sau cùng khớp mọi mốc nguyên của dữ kiện nhưng khác nhau giữa các mốc.
4. Tính đúng phần lẻ hay tính mỗi ki-lô-mét đã bắt đầu?
Mô hình liên tục theo phần lẻ
Giả sử quy định bổ sung là: chuyến dương không quá 1\,\mathrm{km} trả 15; vượt 1\,\mathrm{km} thì phần vượt được tính đúng theo độ dài, mức 12 mỗi ki-lô-mét. Khi ấy
C_1(x)=\begin{cases}15,&0<x\le1,\\12x+3,&x>1.\end{cases}
Với x=1{,}2, phần vượt là 0{,}2, nên C_1=15+12\cdot0{,}2=17{,}4. Hai công thức gặp nhau tại x=1, cùng cho 15; không có bước nhảy tiền tại mốc này trong mô hình.
Trục ngang đo ki-lô-mét, trục đứng đo nghìn đồng. Tỉ lệ vẽ lần lượt là 36 đơn vị vẽ cho một ki-lô-mét và 2{,}4 đơn vị vẽ cho một nghìn đồng. Vòng rỗng tại đầu đoạn ngang nhắc rằng miền đang xét là x>0. Hình chỉ hiển thị đến 5 ki-lô-mét; công thức vẫn áp dụng ở các quãng đường lớn hơn.
Mô hình tính mỗi ki-lô-mét đã bắt đầu
Quy định khác: phần lẻ của ki-lô-mét tiếp theo được tính như một ki-lô-mét trọn. Gọi n là số nguyên dương duy nhất thỏa n-1<x\le n; đó là số ki-lô-mét phải thanh toán. Khi ấy
C_2(x)=15+12(n-1)=12n+3.
Với x=1{,}2, có n=2, nên trả 27. Tại đúng x=4, n=4, trả 51; nếu x=4{,}01, n=5, trả 63. Đầu phải được nhận vì vừa đúng số ki-lô-mét đó chưa bắt đầu ki-lô-mét tiếp theo.
Hai hình dùng cùng hệ trục và cùng tỉ lệ. Các mốc nguyên có cùng giá như mô hình trước, nhưng giá giữa hai mốc không giống. Đường bậc thang không nối bằng một đoạn xiên; đầu trái rỗng, đầu phải đặc thể hiện đúng quy tắc.
5. Ngân sách tối đa biến quy tắc giá thành miền quãng đường
Giả sử có 52 nghìn đồng và muốn không vượt ngân sách. Với mô hình tính đúng phần lẻ, mọi chuyến 0<x\le1 đều đủ tiền. Với x>1, ta cần
12x+3\le52\quad\Longleftrightarrow\quad x\le\frac{49}{12}.
Do 49/12>1, ghép hai miền cho 0<x\le49/12. Quãng đường lớn nhất là 49/12\,\mathrm{km}, đạt khi dùng đúng 52 nghìn đồng.
Với mô hình tính mỗi ki-lô-mét đã bắt đầu, cần số nguyên n\ge1 thỏa 12n+3\le52, nên n\le4. Kiểm tra hai phía:
C(4)=51\le52<63=C(5).
Vì mỗi n ứng với n-1<x\le n, miền quãng đường là 0<x\le4. Giá trị 4 đạt được; vừa vượt 4 là không đủ tiền. Không làm tròn 49/12 đến số nguyên gần nhất để quyết định, mà phải giữ đúng bất đẳng thức và tính nguyên.
Nếu chỉ có 15 nghìn đồng, cả hai quy tắc bổ sung cho phép 0<x\le1. Nếu ít hơn 15, không có chuyến dương nào trong mô hình. Giải riêng công thức 12x+3\le B khi B<15 rồi nhận một x<1 là sai miền: đoạn đầu dùng giá 15, không dùng phần kéo dài của đường thẳng.
6. So sánh hai phương án phải thống nhất cách tính phần lẻ
Mô hình mới: phương án A có giá đầu 15, mức sau 12; phương án B có giá đầu 21, mức sau 10, đều tính bằng nghìn đồng. Giả sử cả hai đều tính đúng phần lẻ theo quy tắc ở phần 4.
Với 0<x\le1, A rẻ hơn vì 15<21. Với x>1,
C_A=12x+3,\qquad C_B=10x+11,C_A-C_B=2x-8=2(x-4).
Do đó A rẻ hơn khi 1<x<4, bằng nhau tại x=4, còn B rẻ hơn khi x>4. Ghép với đoạn đầu: A rẻ hơn trên (0,4); điểm hòa giá là 4\,\mathrm{km}. Giá đầu thấp hơn không bảo đảm rẻ hơn ở mọi quãng đường.
Nếu cả hai chuyển sang tính mỗi ki-lô-mét đã bắt đầu, cùng lập luận dùng n thay x. Hòa giá khi n=4, tức mọi quãng đường 3<x\le4. A rẻ hơn khi 0<x\le3; B rẻ hơn khi x>4. Một điểm hòa giá trong mô hình liên tục đã trở thành cả một khoảng trong mô hình bậc thang.
Hai phương án phải được so trên cùng đơn vị và cùng quy tắc phần lẻ. Nếu một bên tính phần lẻ thực, bên kia làm tròn lên, chỉ giải hai đường thẳng cắt nhau chưa đủ; phải xét từng khoảng tính tiền của bên bậc thang.
7. Giá trung bình khác giá của một đơn vị tăng thêm
Với công thức nguồn ở các quãng đường nguyên n\ge1, giá trung bình mỗi ki-lô-mét là
A(n)=\frac{12n+3}{n}=12+\frac3n.
Nếu n_2>n_1>0, thì 3/n_2<3/n_1, nên giá trung bình giảm. Nhưng giá của mỗi ki-lô-mét thêm vẫn là 12, và tổng tiền vẫn tăng. “Trung bình giảm” không có nghĩa “đi xa hơn trả ít tiền hơn”.
Tại n=4, giá trung bình là 51/4=12{,}75, khác mức tăng thêm 12. Với mọi n hữu hạn, trung bình lớn hơn 12; phần chênh 3/n nhỏ dần. Không có quãng đường nguyên dương nào đạt đúng mức trung bình 12 trong mô hình này.
Không suy rộng kết luận giảm liên tục sang mọi quãng đường của quy tắc bậc thang. Tại x=1, trung bình là 15. Tại x=1{,}1, giá bậc thang là 27, nên trung bình 27/1{,}1=270/11>15. Vừa bước sang một bậc mới, giá trung bình có thể tăng đột ngột.
8. Khi tổng chi phí cố định, phép chia đều tạo một quy luật khác
Trong một chuyến đi tính cước, tổng tiền thường tăng theo quãng đường. Với một khoản thuê đã chốt tổng tiền, thêm người chia không làm tổng tăng; tiền mỗi người giảm theo phép chia. Nếu tổng là T>0, có n người, thì mức mỗi người là T/n, với n nguyên dương.
Nếu thêm k người, với k nguyên dương, độ giảm mỗi người là
\frac Tn-\frac T{n+k}=\frac{Tk}{n(n+k)}.
Mẫu số dương nên độ giảm dương. Với n lớn hơn, cả hai thừa số của mẫu cùng tăng, nên mức giảm nhỏ hơn. “Thêm cùng một số người” không làm mức đóng giảm một lượng cố định trong mọi nhóm.
Tình huống chọn lọc: tổng chi phí là 3000000 đồng, thêm 5 người thì mỗi người giảm 20000 đồng. Theo đơn vị nghìn đồng, tìm n\in\mathbb Z, n>0, sao cho
\frac{3000}{n}-\frac{3000}{n+5}=20\Longleftrightarrow\quad n(n+5)=750\Longleftrightarrow\quad n^2+5n-750=(n-25)(n+30)=0.
Chỉ n=25 phù hợp số người dương; -30 bị loại. Mức đóng trước là 3000/25=120, sau là 3000/30=100, chênh 20, đúng dữ kiện. Điều này cũng kiểm tra việc tăng số người đi cùng giảm mức đóng, không phải cộng thêm 20 vào mức sau.
Đây là công thức nghịch đảo T/n, khác công thức tổng cước 12n+3. Cùng dùng một biến đếm nhưng đại lượng đầu ra và điều được giữ cố định đã thay đổi, nên mô hình cũng phải đổi.
9. Tự kiểm tra trước khi giải một bảng giá
Biết giá tại mọi số ki-lô-mét nguyên có đủ biết giá tại 2,5 km không?
Không. Hai quy tắc của bài cùng cho giá 39 tại 3\,\mathrm{km}, nhưng tại 2{,}5, mô hình phần lẻ cho 33, còn mô hình tính mỗi ki-lô-mét bắt đầu cho 39. Cần quy tắc phần lẻ, không chỉ một bảng giá ở các mốc.
Khoản viết gọn là 3 trong công thức 12x cộng 3 có phải phí cho một chuyến dài bằng không không?
Không có kết luận ấy từ dữ kiện. Công thức được suy ra trên miền có ki-lô-mét đầu và các ki-lô-mét sau; x=0 nằm ngoài miền chuyến dương. Phần đầu của mô hình bổ sung cũng dùng giá 15, không dùng 12x+3.
Nhóm có 10 người chia khoản 3000 nghìn, thêm 5 người có giảm 20 nghìn mỗi người như nhóm nguồn không?
Không. Mức trước là 300, sau là 200, giảm 100 nghìn. Cùng tổng và cùng số người thêm nhưng nhóm ban đầu khác làm độ giảm khác, đúng công thức Tk/[n(n+k)].
Mô hình đúng bắt đầu từ quy tắc: phần nào cố định, phần nào thay đổi, đại lượng được hỏi là tổng hay trung bình, phần lẻ xử lí ra sao và mốc nào được nhận. Sau đó mới dùng phương trình hoặc bất phương trình, rồi quay lại kiểm tra miền và đơn vị.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện