Góc trong tứ giác: từ đường song song đến hình thang cân
Chuyên đề Toán 8 về tổng góc, góc trong cùng phía, định nghĩa hình thang cân, đối xứng và giới hạn của dấu hiệu nhận dạng; kèm hình dựng đúng tỉ lệ và ví dụ…
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 8 · HÌNH HỌC CÓ ĐIỀU KIỆN
Góc trong tứ giác: từ đường song song đến hình thang cân
Đừng nhận dạng một hình bằng vẻ ngoài. Hãy đọc từng giả thiết, viết hệ thức mà giả thiết ấy cho phép, rồi mới kết luận. Chuyên đề này xây dựng các công cụ về góc, giải thích tính đối xứng của hình thang cân và chỉ ra lúc nào một dấu hiệu dễ bị dùng quá mức.
Mục tiêu: giải thích tổng góc bằng đường chéo; phân biệt góc cùng đáy với góc cùng cạnh bên; dùng tính chất đúng chiều; kiểm tra trường hợp hình bình hành. Mọi ví dụ dưới đây được tự biên soạn, đủ dữ kiện ngay trong bài, không phụ thuộc đề thi bên ngoài.
1. Tổng góc là hệ quả của việc chia hình
Xét tứ giác lồi ABCD, các đỉnh được gọi theo thứ tự quanh biên. Nối đường chéo AC. Vì hình lồi, đường chéo nằm trong hình và chia hình thành hai tam giác. Tại A và C, góc của tứ giác được chia thành hai phần; tại B,D, góc giữ nguyên.
\widehat A+\widehat B+\widehat C+\widehat D=180^\circ+180^\circ=360^\circ.
Đây là một lập luận về tổng, không phải lời khẳng định rằng bốn góc bằng nhau. Một tứ giác có thể có hai góc nhỏ và hai góc lớn mà tổng vẫn giữ nguyên.
Ví dụ để hiểu cách bổ sung dữ kiện: một tứ giác lồi có ba góc 72^\circ,104^\circ,86^\circ. Góc còn lại bằng 98^\circ. Trước khi tính, ta biết tổng ba góc là 262^\circ, nên góc cuối phải nhỏ hơn 180^\circ; kết quả phù hợp với giả thiết lồi. Phép trừ không thay thế việc đọc điều kiện.
Trong chuyên đề này mọi tứ giác đều lồi. Không lấy góc nhỏ tạo bởi hai cạnh làm “góc trong” tại đỉnh lõm rồi áp dụng máy móc. Với góc ngoài kề bù, hãy nói rõ đang chọn góc nào.
Nếu ở mỗi đỉnh lấy một góc ngoài kề bù với góc trong, tổng bốn góc ngoài ấy là 4\cdot180^\circ-360^\circ=360^\circ. “Kề bù” là điều kiện thiết yếu; không cộng tùy ý các góc ở ngoài hình.
2. Đường song song cho hai cặp góc bù nhau
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB\parallel CD. Cạnh AD cắt hai đường thẳng song song, nên hai góc trong cùng phía tại A,D bù nhau. Tương tự, cạnh BC cho cặp B,C.
\widehat A+\widehat D=180^\circ,\qquad\widehat B+\widehat C=180^\circ.
Hai góc trên cùng một cạnh bên là cặp được cộng. Đừng thay bằng hai góc ở cùng đáy A,B: chỉ biết hai đáy song song chưa đủ để hai góc ấy bằng nhau hay bù nhau.
Dữ kiện · Kết luận được phép · Điều chưa được phép
Hai đáy song song · Hai góc ở mỗi cạnh bên bù nhau · Hai góc cùng đáy bằng nhau
Tứ giác lồi · Tổng bốn góc bằng một vòng đầy · Hình là hình thang
Hình thang và hai góc cùng đáy bằng nhau · Hình thang cân · Tất cả bốn góc đều bằng nhau
Tình huống tự biên soạn: biết \widehat A=112^\circ,\widehat B=97^\circ và AB\parallel CD. Ta có \widehat D=68^\circ,\widehat C=83^\circ. Tổng vẫn là 360^\circ, nhưng A,B khác nhau, nên đây không phải hình thang cân. Kiểm tra tổng là kiểm tra tính nhất quán, không phải chứng minh tính cân.
3. “Cân” bắt đầu từ góc ở đáy, không từ hình vẽ
Trong cách dùng ở đây, hình thang là tứ giác có một cặp cạnh đối song song; định nghĩa này cho phép hình bình hành là trường hợp riêng. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Với AB\parallel CD, nếu \widehat A=\widehat B, hai hệ thức bù ở phần trước cũng cho \widehat D=\widehat C.
\widehat A=\widehat B=\alpha,\qquad\widehat C=\widehat D=180^\circ-\alpha.
Vì hình lồi, 0^\circ<\alpha<180^\circ. Khi \alpha=90^\circ, cả bốn góc vuông: hình chữ nhật là trường hợp phù hợp với định nghĩa này. Khi \alpha\ne90^\circ, hai góc ở hai đáy khác nhau.
Trình tự nhận dạng: trước hết kiểm tra một cặp cạnh đối song song; tiếp theo chỉ rõ hai góc bằng nhau thuộc cùng đáy. Hai góc bằng nhau ở vị trí bất kỳ không đủ.
Điều kiện góc tương ứng tạo nên tính đối xứng: trong hình thang cân không phải hình chữ nhật, hai đầu của đáy ngắn lùi vào hai bên đáy dài một khoảng bằng nhau. Hình ở phần tiếp theo giúp thấy vì sao hai cạnh bên bằng nhau là một hệ quả.
4. Đối xứng được nhìn thấy qua hai tam giác vuông
Xét hình thang cân có đáy dưới DC=8, đáy trên AB=4, chiều cao AE=BF=3, trong cùng một đơn vị độ dài. Hạ vuông góc từ A,B xuống đáy dài tại E,F. Hai phần thừa của đáy dài bằng nhau và mỗi phần dài 2. Hình minh họa được dựng đúng tỉ lệ cho các dữ kiện này.
DE=FC=\frac{DC-AB}{2}=\frac{8-4}{2}=2.
Hai tam giác vuông ADE và BCF có các cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau. Vì vậy chúng bằng nhau, suy ra AD=BC. Định lí Pythagore còn cho AD^2=BC^2=2^2+3^2=13. Khi học về căn bậc hai, ta viết độ dài là \sqrt{13}; ở đây đẳng thức bình phương đã đủ để thấy hai cạnh bằng nhau.
Hai tam giác ADC và BCD có AD=BC, cạnh DC chung và \widehat ADC=\widehat BCD. Chúng bằng nhau theo cạnh–góc–cạnh, nên AC=BD. Như vậy hai đường chéo bằng nhau có một lí do hình học, không chỉ do hình vẽ trông đối xứng.
Công thức “mỗi phần thừa bằng nửa hiệu hai đáy” dùng cho hình thang cân với đáy dài làm đáy dưới và hai chân đường cao nằm trên đoạn đáy dài. Trong hình thang bất kỳ, hai phần thừa không nhất thiết bằng nhau.
5. Tách rõ tính chất, dấu hiệu và phản ví dụ
Tính chất: nếu đã biết hình thang cân thì có thể suy ra hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau. Đảo chiều một mệnh đề phải được kiểm tra riêng.
Đặc biệt, với định nghĩa hình thang cho phép hình bình hành, mệnh đề “hai đáy song song và hai cạnh bên bằng nhau thì hình thang cân” là sai. Hình bình hành xiên luôn có hai cạnh bên bằng nhau, nhưng hai góc ở cùng đáy thường khác nhau.
Phản ví dụ đầy đủ: lấy hình bình hành ABCD có \widehat A=60^\circ. Khi đó AB\parallel CD và AD=BC, nhưng \widehat B=120^\circ. Hai góc A,B cùng đáy không bằng nhau, nên hình không cân.
Nếu một tài liệu định nghĩa hình thang là hình chỉ có đúng một cặp cạnh đối song song, hình bình hành đã bị loại khỏi phạm vi. Khi đọc dấu hiệu “hai cạnh bên bằng nhau”, hãy kiểm tra định nghĩa và điều kiện loại trường hợp hai cặp cạnh song song. Đừng âm thầm đổi định nghĩa giữa chừng.
Trong phạm vi định nghĩa của chuyên đề, một dấu hiệu khác là: hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì là hình thang cân. Để dùng dấu hiệu này, vẫn phải xác lập hai đáy song song trước. Tứ giác bất kỳ có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình thang.
Với bài học hiện tại, cách nhận dạng trực tiếp bằng hai góc cùng đáy thường ngắn và rõ hơn. Nếu dùng một dấu hiệu đã học khác, ghi đủ điều kiện của nó rồi mới áp dụng.
6. Chuyển dữ kiện thành một quan hệ, thay vì đoán góc
Quy trình có thể dùng cho nhiều tình huống: gọi tên hai đáy; ghi hai cặp góc bù theo cạnh bên; thêm điều kiện cân nếu có; cuối cùng kiểm tra tổng và miền góc. Mỗi dòng tính cần gắn với một căn cứ.
Ví dụ mô hình quan hệ, tự biên soạn: trong hình thang cân ABCD, AB\parallel CD, góc A lớn hơn góc D 34^\circ. Trước khi tính, hãy dự đoán A là góc tù và D là góc nhọn.
Gợi ý: dữ kiện nào cho tổng, dữ kiện nào cho hiệu?
Song song cho \widehat A+\widehat D=180^\circ. Câu “lớn hơn 34^\circ” cho \widehat A-\widehat D=34^\circ. Tính cân chưa cần cho bước này, nhưng sẽ chuyển kết quả sang B,C.
Giải thích phương pháp và bước kiểm tra
2\widehat A=214^\circ,\quad \widehat A=107^\circ,\quad\widehat D=73^\circ.
Do hình cân, \widehat B=107^\circ,\widehat C=73^\circ. Tổng bốn góc là 360^\circ; tổng theo từng cạnh bên là 180^\circ; hiệu đúng 34^\circ. Ba kiểm tra phục vụ ba điều kiện khác nhau. Ý chính là ghép quan hệ tổng và hiệu, không phải nhớ một bộ số.
Thay đổi điều kiện: nếu bỏ chữ “cân”, vẫn suy ra được A,D, nhưng không xác định riêng B,C; ta chỉ biết tổng của chúng. Đây là cách tự kiểm tra xem mình đã dùng điều kiện nào.
7. Tự kiểm tra bằng dự đoán, rồi sửa lập luận
Với mỗi tình huống dưới đây, viết trước một câu dự đoán và căn cứ. Mở phần giải thích sau khi đã thử. Mục đích là kiểm tra công cụ, không luyện chọn chữ cái đáp án.
Tình huống A. Một tứ giác lồi có bốn góc đều bằng nhau. Có cần giả thiết song song để xác định mỗi góc không?
Kiểm tra ý tưởng A
Không cần thêm song song để tính góc: tổng 360^\circ và bốn góc bằng nhau cho mỗi góc 90^\circ. Tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật. Nếu muốn kết luận về các cạnh song song, đó là bước hình học sau phép tính.
Tình huống B. Hình thang ABCD có AB\parallel CD, \widehat A=118^\circ,\widehat C=62^\circ. Có đủ để nhận dạng hình cân không?
Kiểm tra ý tưởng B
Có. Từ B+C=180^\circ, suy ra B=118^\circ=A. Hai góc ở cùng đáy AB bằng nhau. Đồng thời D=62^\circ=C. Dữ kiện ban đầu cho hai góc ở hai đỉnh đối nhau; phải đi qua quan hệ song song, không gọi chúng là “cùng đáy”.
Tình huống C. Chỉ biết tứ giác có hai cạnh bằng nhau. Một bạn nói hình đó là hình thang cân.
Kiểm tra ý tưởng C
Chưa đủ: chưa có dữ kiện song song và chưa xác định các cạnh bằng nhau là cạnh nào. Ngay cả khi có một cặp cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau, hình bình hành xiên ở phần 5 vẫn buộc ta kiểm tra phạm vi định nghĩa.
Tình huống D. Với đáy dài 10, đáy ngắn 6 và chiều cao 4 của hình thang cân, một bạn lấy độ dài mỗi phần thừa là 10-6=4.
Kiểm tra ý tưởng D
Hiệu hai đáy là tổng của hai phần thừa, nên mỗi phần bằng 2. Bình phương cạnh bên bằng 2^2+4^2=20. Sai lầm là gán cả phần chênh lệch cho một phía, làm mất đối xứng.
Phiếu tự rà soát: tên đỉnh có theo thứ tự quanh biên không? Hai đáy nào song song? Hai góc đang xét ở cùng đáy hay cùng cạnh bên? Mệnh đề đang dùng là tính chất hay dấu hiệu? Có xét hình chữ nhật và hình bình hành xiên không? Nếu xóa một giả thiết, kết luận nào còn đúng?
Đích đến của chuyên đề: mỗi kết luận đều có một điều kiện đi cùng. Khi gặp một hình mới, hãy dựng lại chuỗi “giả thiết → quan hệ góc → dấu hiệu → kiểm tra”, thay vì tìm một bài thi giống nó.