Nhận biết tứ giác đặc biệt: giữ giả thiết, chọn đúng dấu hiệu
Hiểu giả thiết nền của dấu hiệu hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông; chứng minh bằng tam giác bằng nhau, kiểm tra phản ví dụ và điều kiện cần đủ.
Toán 8 • Chuyên đề lập luận hình học
Nhận biết tứ giác đặc biệt: giữ giả thiết, chọn đúng dấu hiệu
Hai đường chéo bằng nhau có đủ kết luận hình chữ nhật không? Câu trả lời phụ thuộc vào điều đã biết về tứ giác. Học dấu hiệu nhận biết là học cả điều kiện được phép dùng dấu hiệu ấy.
Mục tiêu: phân biệt định nghĩa, tính chất và dấu hiệu; xây đường chứng minh qua hình bình hành; tìm điều kiện còn thiếu; kiểm tra suy luận bằng phản ví dụ.
Hai hình được vẽ đúng các quan hệ nêu trong chú thích. Mỗi hình cho thấy một tính chất riêng chưa đủ để kết luận hình vuông.
01 • Ngôn ngữ của chứng minh
Định nghĩa, tính chất và dấu hiệu có vai trò khác nhau
Định nghĩa nêu điều làm nên loại hình: hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông; hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau; hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau. Tính chất cho biết điều suy ra khi đã biết loại hình. Dấu hiệu nhận biết cho phép kết luận loại hình từ một bộ điều kiện đủ.
Ví dụ, hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau. Không được đảo thành “tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật”. Muốn dùng dấu hiệu qua đường chéo, cần thêm nền hình bình hành.
Trong chuyên đề, các tứ giác được hiểu là tứ giác lồi, không suy biến; các đỉnh được gọi theo thứ tự quanh hình. Khi điểm trùng nhau hoặc các cạnh nằm chồng trên một đường thẳng, phải xét lại điều kiện trước khi dùng dấu hiệu.
Kiến thức cần có: góc tạo bởi đường thẳng song song, tam giác bằng nhau, trung điểm và tính chất hình bình hành. Các lập luận dưới đây dùng hình học cơ bản, không cần vectơ hay tích vô hướng.
02 • Xác lập hình nền
Vì sao thường nên chứng minh hình bình hành trước?
Hình bình hành cung cấp các quan hệ cạnh đối và đường chéo để biến một điều kiện bổ sung thành kết luận mạnh hơn. Với tứ giác ABCD, có thể chọn một trong các dấu hiệu sau khi đã chứng minh đủ cả bộ điều kiện của dấu hiệu:
- Hai cặp cạnh đối song song: AB\parallel CD và AD\parallel BC.
- Hai cặp cạnh đối bằng nhau: AB=CD và AD=BC.
- Một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, chẳng hạn AB\parallel CD và AB=CD.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: OA=OC và OB=OD, với O là giao điểm hai đường chéo.
Điều kiện trong dấu hiệu thứ ba phải nói về cùng một cặp cạnh đối . Không ghép sự song song của một cặp với sự bằng nhau của cặp khác rồi kết luận.
Nếu dữ kiện cho trung điểm, hãy tìm tam giác có thể áp dụng đường trung bình. Nếu dữ kiện cho giao điểm đường chéo, hãy kiểm tra hai cặp đoạn qua giao điểm. Chọn công cụ theo cấu trúc đã có, không theo dáng hình nhìn bằng mắt.
03 • Từ hình bình hành đến hình chữ nhật
Thêm góc vuông hoặc đường chéo bằng nhau
Cách thứ nhất: hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. Hai góc kề trong hình bình hành bù nhau, các góc đối bằng nhau; do đó một góc vuông kéo theo ba góc còn lại đều vuông.
Cách thứ hai: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Để hiểu vì sao, xét hình bình hành ABCD có AC=BD.
AB=BA,\qquad BC=AD,\qquad AC=BD.
Hai tam giác ABC và BAD bằng nhau theo ba cạnh tương ứng. Vì vậy \angle ABC=\angle BAD. Hai góc này là hai góc kề của hình bình hành nên tổng bằng 180^\circ; mỗi góc bằng 90^\circ.
Điều kiện không thể bỏ: một hình thang cân không phải hình chữ nhật vẫn có hai đường chéo bằng nhau. Vì thế, riêng sự bằng nhau của đường chéo không đủ cho một tứ giác bất kì.
Khi viết chứng minh, hãy nêu hình bình hành trước khi viện dẫn dấu hiệu đường chéo. Nếu đã có ba góc vuông của tứ giác, có thể đi thẳng bằng tổng bốn góc, không bắt buộc vòng qua hình bình hành.
04 • Từ hình bình hành đến hình thoi
Thêm hai cạnh kề bằng nhau hoặc đường chéo vuông góc
Hai cạnh kề bằng nhau: trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau. Nếu thêm AB=AD, cả bốn cạnh đều bằng nhau, nên hình là hình thoi.
Hai đường chéo vuông góc: gọi O là giao điểm đường chéo của hình bình hành ABCD, giả sử AC\perp BD. Hai tam giác vuông AOB và AOD có cạnh AO chung và OB=OD. Chúng bằng nhau theo hai cạnh và góc xen giữa; suy ra AB=AD. Kết hợp cách thứ nhất, ta được hình thoi.
Trong lập luận này, OB=OD đến từ hình bình hành , không đến từ vuông góc. Vuông góc chỉ tạo góc vuông; nó không tự chia đôi đoạn thẳng.
Phản ví dụ bằng cách dựng: vẽ đoạn BD, lấy trung điểm O, rồi dựng đường thẳng vuông góc với BD tại O. Chọn A,C ở hai phía của BD sao cho OA\ne OC. Tứ giác ABCD có đường chéo vuông góc nhưng không là hình thoi: nếu là hình thoi, nó là hình bình hành và hai đường chéo phải chia đôi nhau, trái với OA\ne OC.
05 • Hai con đường đến hình vuông
Cần đồng thời tính chất góc và tính chất cạnh
Đã là hình chữ nhật
Chứng minh thêm hai cạnh kề bằng nhau. Các góc đã vuông; cạnh đối đã bằng nhau, nên có đủ bốn cạnh bằng nhau.
Cũng có thể chứng minh hai đường chéo vuông góc: nền hình bình hành cùng điều kiện này cho hình thoi; kết hợp hình chữ nhật thành hình vuông.
Đã là hình thoi
Chứng minh thêm một góc vuông. Bốn cạnh đã bằng nhau; nền hình bình hành và góc vuông cho hình chữ nhật.
Cũng có thể chứng minh hai đường chéo bằng nhau: dấu hiệu ấy nâng hình bình hành thành hình chữ nhật, rồi kết hợp tính chất hình thoi.
Đừng chọn điều kiện mà hình đang có sẵn. “Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau” không giúp nâng lên hình vuông, vì mọi hình chữ nhật đều đã có điều đó. Tương tự, “hình thoi có đường chéo vuông góc” không phải điều kiện bổ sung để thành hình vuông.
Quan hệ cốt lõi: Một tứ giác là hình vuông khi và chỉ khi nó đồng thời là hình chữ nhật và hình thoi.
Đây là quan hệ phân loại: hình vuông vẫn là hình chữ nhật và hình thoi. Không loại hình vuông ra khỏi hai nhóm ấy chỉ vì nó có tên riêng.
06 • Điều kiện cần và đủ
Tìm một điều kiện đủ chưa phải chứng minh tương đương
Giả sử một cách dựng luôn cho hình bình hành, và em muốn biết lúc nào nó là hình chữ nhật. Nếu tìm được điều kiện làm hai đường chéo bằng nhau, em đã có một hướng để bảo đảm kết luận. Nhưng nếu đề yêu cầu “khi và chỉ khi”, phải kiểm cả hai chiều.
- Chiều đủ: từ điều kiện đề xuất, chứng minh hình tạo thành là hình chữ nhật.
- Chiều cần: giả sử hình tạo thành là hình chữ nhật, dùng tính chất của nó để suy ngược về điều kiện đề xuất.
- Kiểm điều kiện dựng: điểm có nằm đúng đoạn, giao điểm có tồn tại, tứ giác có còn không suy biến không?
Một hình vẽ hoặc một bộ độ dài cụ thể có thể bác bỏ một khẳng định sai, nhưng không chứng minh được mọi cấu hình đều đúng. Chứng minh tổng quát phải chỉ ra quan hệ hình học có hiệu lực với mọi cấu hình thỏa giả thiết.
07 • Tự kiểm đường chứng minh
Ghi điều đã có và điều còn thiếu
Trước khi viết, lập hai dòng nháp: hình nền đã chứng minh và điều kiện bổ sung định dùng . Sau đó đọc mỗi kết luận cùng căn cứ của nó. Nếu căn cứ cần hình bình hành nhưng trước đó chưa có, hãy sửa ngay khoảng trống ấy.
Tự xét: Hai đường chéo vừa bằng nhau vừa vuông góc đã đủ cho tứ giác là hình vuông chưa?
Chưa đủ nếu chưa biết chúng chia đôi nhau. Có thể dựng hai đoạn bằng nhau vuông góc, với giao điểm là trung điểm của một đoạn nhưng không phải trung điểm của đoạn còn lại; nối bốn đầu mút theo thứ tự quanh hình. Tứ giác đó không phải hình bình hành, nên không phải hình vuông. Hãy tự vẽ để thấy điều kiện còn thiếu.
Tự xét: Vì sao một dấu hiệu có thể dùng ở hình này nhưng không ở hình khác?
Đường chéo bằng nhau giúp nhận biết hình chữ nhật khi đã có hình bình hành. Cùng thông tin ấy không đủ cho tứ giác bất kì. Viết dấu hiệu thành câu đầy đủ gồm giả thiết nền, điều kiện bổ sung và kết luận giúp tránh dùng thiếu điều kiện.
Tự xét: Làm sao nhận ra đang dùng kết luận để chứng minh chính nó?
Nếu mục tiêu là chứng minh hình bình hành, không được lấy “đường chéo chia đôi nhau vì đây là hình bình hành” làm bước đầu. Phải lấy quan hệ chia đôi từ dữ kiện trung điểm hoặc từ một lập luận độc lập. Mỗi căn cứ phải có trước kết luận đang cần chứng minh.
Tiêu chuẩn hoàn thành: em giải thích được vì sao dấu hiệu áp dụng được, nêu được một phản ví dụ khi bỏ giả thiết quan trọng và phân biệt được chứng minh một chiều với chứng minh hai chiều.
Chuyên đề khái niệm và phương pháp • Các hình minh họa phục vụ kiểm tra giả thiết • Không dùng lời giải theo số câu của đề thi.