Tính đa thức theo từng tầng: giá trị cũng là số dư
Từ tính phân phối, dựng phép chia cho biểu thức bậc nhất, chứng minh thương và dư duy nhất, rồi dùng số dư để tìm nhân tử và sửa một hệ số.
TOÁN 8 · HỆ SỐ, GIÁ TRỊ VÀ PHÉP CHIA
Tính đa thức theo từng tầng: giá trị cũng là số dư
Từ tính phân phối, dựng phép chia cho biểu thức bậc nhất, chứng minh thương và dư duy nhất, rồi dùng số dư để tìm nhân tử và sửa một hệ số.
1. Cùng một giá trị, hai cách tổ chức phép tính
Khi cần tính một đa thức, ta có thể tính từng lũy thừa rồi cộng. Nhưng tính phân phối cho một cách khác: đọc các hệ số theo thứ tự và lặp lại hai việc nhân với đầu vào, rồi cộng hệ số tiếp theo . Cách tính theo từng tầng này còn tạo ra thương và số dư khi chia cho một biểu thức bậc nhất.
Ví dụ độc lập:
P(x)=2x^3-3x+4=((2x+0)x-3)x+4.
Hệ số 0 của x^2 vẫn phải được giữ. Tại x=2, bắt đầu từ 2: nhân 2, cộng 0 được 4; nhân 2, cộng -3 được 5; nhân 2, cộng 4 được 14. Kiểm tra trực tiếp: 2\cdot8-3\cdot2+4=14.
Dự đoán. Các số trung gian 2,4,5 chỉ là kết quả nháp, hay còn là hệ số của một đa thức khác? Hãy nhân thử (x-2)(2x^2+4x+5)+14.
Nếu bỏ hệ số không rồi đọc dãy 2,-3,4, quy trình sẽ tính 2x^2-3x+4, một đa thức khác. Bậc và vị trí của mỗi hệ số là một phần của dữ kiện.
2. Vì sao cách tính theo tầng đúng?
Với đa thức bậc n\ge1, viết đầy đủ
P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\qquad a_n\ne0.
Liên tiếp đặt nhân tử x ra ngoài cho dạng lồng nhau:
P(x)=(\cdots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots+a_1)x+a_0.
Mỗi lần nhân với x, số mũ của mọi hạng đã có tăng thêm một; hệ số mới được cộng vào ở bậc không. Vì thế, sau khi đi qua đủ các hệ số, a_j được nhân với x đúng j lần, tạo a_jx^j. Đây là chứng minh bằng tính phân phối, không phải suy đoán từ vài lần thử.
Để tính tại một số thực a, đặt r_n=a_n, rồi tính lần lượt theo chỉ số giảm:
\boxed{r_k=a_k+a r_{k+1}\qquad(k=n-1,n-2,\ldots,0).}
Cách viết theo tầng cho ngay r_0=P(a). Quy trình có n bước nhân và n bước cộng theo khuôn mẫu; không cần tính riêng a^2,a^3,\ldots. Nếu a=0, kết quả cuối là hệ số tự do a_0, vẫn hoàn toàn hợp lệ.
Nếu đa thức là hằng số hoặc bằng không?
Với P(x)=c, không cần bước nhân nào: giá trị tại mọi đầu vào là c. Khi nói đến phép chia cho x-a, thương là đa thức không và số dư là c. Đặc biệt, đa thức không cho cả thương và dư bằng không; không cần gán bậc cho đa thức không.
3. Các số trung gian chính là hệ số của thương
Giữ các số r_n,r_{n-1},\ldots,r_1,r_0 vừa tính và dựng
Q(x)=r_nx^{n-1}+r_{n-1}x^{n-2}+\cdots+r_2x+r_1.
Khi n=1, công thức này chỉ có hằng số Q=r_1. Ta sẽ chứng minh
\boxed{P(x)=(x-a)Q(x)+r_0.}
Trong tích (x-a)Q, hệ số bậc cao nhất là r_n=a_n. Với mỗi k từ 1 đến n-1, hệ số của x^k là r_k-a r_{k+1}=a_k, đúng theo quy tắc tính. Hệ số tự do sau khi cộng r_0 là r_0-a r_1=a_0. Mọi hệ số đều khớp, nên đẳng thức đúng với mọi x.
Cách dựng đã chứng minh sự tồn tại của một thương đa thức và một số dư hằng. Nó cũng giải thích vì sao giá trị cuối bằng số dư: thay x=a làm nhân tử x-a bằng không, do đó P(a)=r_0.
Tại sao thương và dư là duy nhất?
Giả sử P=(x-a)Q_1+r_1'=(x-a)Q_2+r_2', trong đó hai số dư là hằng số. Thay x=a cho r_1'=r_2'. Lấy hiệu hai đẳng thức được (x-a)(Q_1-Q_2)=0 với mọi x.
Nếu Q_1-Q_2 là đa thức khác không, có hạng cao nhất ux^m, u\ne0, thì tích với x-a có hạng cao nhất ux^{m+1}, không thể là đa thức không. Vậy Q_1=Q_2. Khi thương có thể bằng không, lập luận vẫn đúng vì ta chỉ xét bậc trong trường hợp hiệu khác không.
Chia đa thức P cho x-a cho số dư duy nhất P(a). Đây là phép chia trong đa thức có hệ số thực; số dư là hằng số, không phải “phần còn lại nhỏ hơn số chia” theo thứ tự số tự nhiên.
4. Một giá trị bậc năm, đồng thời là một phép chia
Chọn biểu thức nguồn
P(x)=x^5-5x^4+5x^3-5x^2+5x-1,\qquad x=4.
Đọc đủ hệ số 1,-5,5,-5,5,-1. Quy trình tạo ra
r_5=1,\quad r_4=4\cdot1-5=-1,
r_3=4(-1)+5=1,\quad r_2=4\cdot1-5=-1,
r_1=4(-1)+5=1,\quad r_0=4\cdot1-1=3.
Vì thế P(4)=3. Các số trung gian còn cho
\boxed{P(x)=(x-4)(x^4-x^3+x^2-x+1)+3.}
Có thể nhân ngược để kiểm tra toàn bộ đẳng thức. Giá trị 3 không phải một đáp án rời rạc: nó là số dư khi chia đa thức này cho x-4.
Mỗi mũi nối chỉ một bước nhân với 4 rồi cộng hệ số tiếp theo. Năm số trước kết quả cuối là hệ số của thương; số cuối là giá trị và số dư.
Đọc phần chia hết và phần dư bằng một mô hình nhỏ
Ví dụ độc lập 2x^2+5x+4=(x+1)(2x+3)+1 cho thương 2x+3, dư 1 khi chia cho x+1. Thay x=-1 cũng cho 2-5+4=1. Hình dưới minh họa diện tích tại x=2; mô hình độ dài dùng x>0, còn đẳng thức đại số đúng với mọi x thực.
Hình chữ nhật có kích thước 7 và 3, các phần chia có cùng tỉ lệ độ dài; ô rời có cạnh 1 theo cùng tỉ lệ. Diện tích hình chữ nhật là phần chia hết, ô rời biểu diễn số dư 1.
5. Từ số dư bằng không đến nhân tử
Đa thức P chia hết cho x-a nghĩa là tồn tại đa thức Q sao cho P=(x-a)Q. Theo kết quả trên,
\boxed{P\text{ chia hết cho }x-a\quad\Longleftrightarrow\quad P(a)=0.}
Chiều cần: thay x=a vào tích cho không. Chiều đủ: phép chia đã dựng cho P=(x-a)Q+P(a); nếu P(a)=0, phần dư mất đi. Vì đã chứng minh tồn tại thương, chiều đủ không chỉ là một phép thử số.
Ví dụ độc lập, tìm k để x^3-kx+6 chia hết cho x-2. Điều kiện tương đương là 8-2k+6=0, nên duy nhất k=7. Khi đó
x^3-7x+6=(x-2)(x^2+2x-3)=(x-2)(x-1)(x+3).
Nhân ngược xác nhận kết quả. Ngược lại, không được gọi a là nghiệm chỉ vì P(a) “gần bằng không”. Tiêu chuẩn đang dùng đẳng thức chính xác.
Có thể rút gọn phân thức rồi nhận lại điểm bị loại không?
Với x\ne a, đẳng thức chia cho
\frac{P(x)}{x-a}=Q(x)+\frac{P(a)}{x-a}.
Nếu P(a)=0, biểu thức bằng Q(x) trên miền x\ne a. Phân thức ban đầu vẫn không xác định tại a, dù đa thức Q có giá trị ở đó. Phép chia đa thức là một đẳng thức không có mẫu; phép chia giá trị của phân thức có điều kiện riêng.
6. Sửa một hệ số để đạt điều kiện chia hết
Giả sử các hệ số của P đã cố định, chỉ được cộng một hằng số \delta. Đa thức mới \widetilde P=P+\delta chia hết cho x-a khi và chỉ khi
P(a)+\delta=0.
Do đó có đúng một cách sửa:
\boxed{\delta=-P(a).}
Với biểu thức bậc năm ở phần trước, P(4)=3. Trừ 3, tức đổi hệ số tự do từ -1 thành -4, sẽ cho đa thức chia hết cho x-4. Thương vẫn là x^4-x^3+x^2-x+1.
Nếu chỉ được sửa hệ số của một lũy thừa dương?
Cho số nguyên j\ge1, xét \widetilde P=P+\delta x^j. Điều kiện trở thành
P(a)+\delta a^j=0.
- Nếu a\ne0, có đúng một nghiệm \delta=-P(a)/a^j.
- Nếu a=0 và P(0)\ne0, không có cách sửa hệ số bậc dương nào làm đa thức chia hết cho x.
- Nếu a=0 và P(0)=0, mọi \delta đều được: thay hệ số bậc dương không làm đổi hệ số tự do.
Ví dụ x^2+1+\delta x không bao giờ chia hết cho x, vì giá trị tại 0 luôn là 1. Còn x^2+\delta x chia hết cho x với mọi \delta. Chia hai vế cho a^j mà chưa kiểm tra a\ne0 sẽ bỏ mất hai trường hợp này.
Sửa hệ số của x bình phương trong biểu thức nguồn thay vì sửa hằng số
Tại a=4, chọn j=2. Ta cần \delta=-3/16, nên hệ số x^2 đổi từ -5 thành -83/16. Nếu bắt buộc hệ số mới là số nguyên thì không có cách sửa riêng hệ số ấy để đạt yêu cầu; với hệ số thực, cách sửa là duy nhất.
7. Số chia không có hệ số đầu bằng một
Xét số chia ux+v, với u\ne0. Đặt a=-v/u, khi đó ux+v=u(x-a). Nếu đã có P=(x-a)Q+P(a), ta viết lại
P(x)=(ux+v)\frac{Q(x)}u+P(-v/u).
Vì chia các hệ số của Q cho hằng số khác không vẫn được một đa thức, số dư là P(-v/u), còn thương là Q/u. Không chỉ đổi nghiệm của số chia rồi giữ nguyên thương cũ.
Ví dụ độc lập:
3x^2-2x+4=(2x-1)\left(\frac32x-\frac14\right)+\frac{15}{4}.
Số dư bằng giá trị tại x=1/2: 3/4-1+4=15/4. Nhân ngược cho hệ số x là -1/2-3/2=-2, xác nhận thương đã được chia đúng.
Nếu u=0, số chia không còn bậc nhất, nên công thức -v/u không dùng được. Một hằng số v\ne0 chia mọi đa thức hệ số thực với thương P/v và dư bằng không. Số chia bằng không không được phép.
8. Tự kiểm tra bằng phép nhân ngược
Thử độc lập. Trước khi tính, hãy ghi đủ hệ số, kể cả hệ số bằng không. Sau khi có thương và dư, nhân ngược để kiểm tra toàn bộ đa thức.
Chia đa thức bậc ba ở đầu bài cho x trừ 2
Dãy hệ số là 2,0,-3,4. Tại a=2, dãy tích lũy là 2,4,5,14. Do đó
2x^3-3x+4=(x-2)(2x^2+4x+5)+14.
Hệ số x^2 triệt tiêu khi nhân ngược: 4-2\cdot2=0, nên khoảng trống ban đầu được giữ đúng.
Vì sao chia cho x cộng 2 phải tính tại âm 2?
Vì x+2=x-(-2). Với P=x^3-4x, biểu thức nguồn chọn lọc, P(-2)=-8+8=0. Quy trình từ các hệ số 1,0,-4,0 cho dãy 1,-2,0,0, nên
x^3-4x=(x+2)(x^2-2x).
Thay a=2 sẽ kiểm tra nhân tử khác là x-2; trong ví dụ này cả hai cùng là nhân tử, nhưng đó không phải lí do để bỏ dấu của số chia. Với P=x+2, giá trị tại -2 bằng không còn tại 2 bằng 4.
Tìm hệ số tự do để có nhân tử x cộng 1
Xét đa thức x^2+3x+c, trong đó c là hằng số cần tìm. Cần giá trị tại -1 bằng không: 1-3+c=0, nên c=2. Khi ấy x^2+3x+2=(x+1)(x+2). Điều kiện vừa cần vừa đủ; không có hằng số khác đáp ứng.
Một chuỗi tính ngắn có thể mang hai ý nghĩa: giá trị của đa thức tại một điểm và số dư của phép chia cho nhân tử bậc nhất tương ứng. Hiểu đẳng thức đứng sau quy trình giúp dùng đúng dấu, giữ hệ số không, sửa dữ kiện có điều kiện và kiểm chứng bằng phép nhân ngược.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu