Ẩn phụ: chọn cấu trúc và giữ đúng miền giá trị
Tìm lõi chung, dùng tổng và tích, chứng minh miền của biến mới rồi dựng ngược nghiệm; chuyển từ đại số thực sang ràng buộc số nguyên mà không bỏ sót điều…
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Ẩn phụ: chọn cấu trúc và giữ đúng miền giá trị
Tìm lõi chung, dùng tổng và tích, chứng minh miền của biến mới rồi dựng ngược nghiệm; chuyển từ đại số thực sang ràng buộc số nguyên mà không bỏ sót điều kiện.
1. Đặt ẩn phụ là đổi cách nhìn, không đổi bài toán
Một biểu thức dài thường lặp lại một cấu trúc ngắn: tổng hai biến, tích hai biến, hoặc một cụm như x^2+8x. Đặt tên cho cấu trúc ấy giúp giảm số phép khai triển. Nhưng một kí hiệu mới chưa đủ: ta cần biết nó nhận được những giá trị nào và làm thế nào quay về biến ban đầu.
Nếu đặt t=f(x) với x thuộc miền D, miền của t là tập các giá trị mà f(x) thật sự nhận được. Không tự cho t chạy qua mọi số thực. Ví dụ t=x^2 chỉ nhận t\ge0, còn t=x+y với x,y nguyên luôn là số nguyên.
Một phép đặt ẩn phụ đầy đủ có ba phần: biểu thức cần giải chỉ còn phụ thuộc vào ẩn mới; miền của ẩn mới được chứng minh cả hai chiều; mỗi nghiệm mới được đưa ngược về biến cũ và kiểm tra. Phép đổi biến không nhất thiết một-một: một giá trị mới có thể tương ứng hai, một hoặc nhiều bộ giá trị ban đầu.
Bài học tập trung vào việc tìm cấu trúc chung và miền giá trị thực sự . Các hằng đẳng thức được dùng như công cụ; mục tiêu không phải nhận dạng một danh sách công thức.
2. Tổng và tích gói gọn một biểu thức đối xứng
Một biểu thức không đổi khi hoán đổi x,y thường có thể viết theo tổng s=x+y và tích p=xy. Từ khai triển:
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=s^2-2p.
Với tổng lập phương, nhân trực tiếp rồi thu gọn:
(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3.
Do x^2-xy+y^2=s^2-3p, suy ra
\boxed{x^3+y^3=s^3-3sp}.
Hai công thức đúng với mọi số thực x,y, không cần điều kiện khác không vì chưa có phép chia cho biến. Chúng đặc biệt hữu ích khi đề cho tổng nhưng biểu thức lại chứa cả bình phương lẫn lập phương.
Xét tình huống chọn lọc: x,y thực thỏa x+y=2, tính
A=x^3+y^3-(x^2+y^2)+4xy.
Thay bằng s,p trước khi dùng s=2:
A=(s^3-3sp)-(s^2-2p)+4p=s^3-s^2+(6-3s)p.
Tại s=2, hệ số của p bằng không, nên A=8-4=4. Không cần tìm từng x,y, bởi thông tin về tích đã triệt tiêu. Hai bộ (0,2) và (1,1) cùng cho kết quả này, nhưng phép biến đổi mới là chứng minh cho mọi bộ thỏa tổng.
Điều khiến đáp số cố định không phải chỉ là “biểu thức đối xứng”. Nếu tổng đổi thành 3, hệ số của p trở thành -3, và giá trị còn phụ thuộc vào tích. Muốn hiểu tình huống mới, ta cần biết miền của tích.
3. Biết tổng thì tích nhận được những giá trị nào?
Với x+y=s, ta có
(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=s^2-4p\ge0,
nên p\le s^2/4. Đây mới là chiều cần. Để chứng minh mọi p\le s^2/4 đều có thể xảy ra với x,y thực, đặt
x=\frac{s+\sqrt{s^2-4p}}2,\qquad y=\frac{s-\sqrt{s^2-4p}}2.
Căn thức xác định do s^2-4p\ge0. Cộng hai giá trị cho s, còn nhân cho (s^2-(s^2-4p))/4=p. Như vậy
\boxed{p\in(-\infty,s^2/4]}\quad\text{khi }x,y\in\mathbb R,\ x+y=s.
Dấu bằng ở đầu phải xảy ra khi và chỉ khi x=y=s/2. Nếu yêu cầu x,y\ge0 và s>0, miền đổi thành [0,s^2/4]: tích không âm, và công thức dựng ngược cho hai số không âm vì \sqrt{s^2-4p}\le s. Nếu yêu cầu cả hai dương, miền là (0,s^2/4]. Đầu 0 bị loại vì một tích hai số dương không bằng không.
Khi s=0, hai số không âm chỉ có thể cùng bằng không; nếu yêu cầu cả hai dương thì không có bộ nào. Khi s<0, không có hai số không âm có tổng ấy. Vì vậy phải nói rõ cả miền của biến lẫn dấu của tổng.
Chuyển giao: cùng biểu thức, tổng mới bằng ba
Với x+y=3, biểu thức ở phần trước trở thành A=18-3p. Vì p\le9/4, ta có
A\ge18-3\cdot\frac94=\frac{45}{4},
đạt khi x=y=3/2. Trên toàn bộ số thực, không có cận trên: đặt x=n,y=3-n với n tăng, ta có A=3n^2-9n+18, lớn tùy ý. Nếu chỉ xét x,y>0, miền giá trị lại là [45/4,18). Giá trị 18 không đạt vì cần p=0, nhưng mọi giá trị nhỏ hơn 18 trong khoảng ấy đều dựng được bằng công thức ngược. Nếu cho phép x,y\ge0, 18 trở thành giá trị lớn nhất, đạt tại (0,3) hoặc (3,0).
4. Ghép lại các thừa số để làm lộ cùng một lõi
Ẩn phụ không chỉ xuất hiện trong dữ kiện. Ta còn có thể tổ chức lại một tích để tạo ra nó. Xét đa thức chọn lọc
B=(x^2+4x+3)(x^2+12x+35)+12.
Hai tam thức phân tích thành (x+1)(x+3) và (x+5)(x+7). Nhờ tính giao hoán và kết hợp, ghép ngoài với ngoài, trong với trong:
B=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+12=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+12.
Bây giờ đặt u=x^2+8x. Bài toán chỉ còn một tam thức theo u:
B=(u+7)(u+15)+12=u^2+22u+117=(u+9)(u+13).
Thay lại, thu được hằng đẳng thức
\boxed{B=(x^2+8x+9)(x^2+8x+13)}.
Việc ghép không phải mẹo đoán vô căn cứ: 1+7=3+5=8, nên hai tích được ghép có cùng hệ số của x. Nếu ghép (x+1)(x+5) và (x+3)(x+7), các hệ số sẽ là 6 và 10, chưa lộ cùng lõi.
Đẳng thức phân tích đúng với mọi x thực. Chỉ ở bước giải phương trình hoặc tìm miền giá trị, ta mới cần xét u có thể nhận những giá trị nào. Không nhầm việc biến đổi một hằng đẳng thức với việc coi ẩn phụ là số thực tùy ý.
5. Miền của một ẩn phụ bậc hai phải có chiều đảo
Với u=x^2+8x, hoàn thành bình phương cho
u=(x+4)^2-16\ge-16.
Ngược lại, nếu u\ge-16, thì x=-4\pm\sqrt{u+16} là các giá trị thực và thỏa x^2+8x=u. Vì vậy miền chính xác là [-16,+\infty), đầu -16 đạt tại x=-4.
Tại u=-16, hai dấu cho cùng một giá trị x. Với u>-16, có hai giá trị phân biệt đối xứng qua -4. Đây là cách đếm số nghiệm sau đổi biến mà không bỏ sót hoặc đếm trùng.
Ứng dụng tiếp nối: khi nào đa thức vừa phân tích bằng không?
Phương trình B=0 tương đương (u+9)(u+13)=0, với u\ge-16. Hai ứng viên u=-9,-13 đều thuộc miền. Dựng ngược:
u=-9\Longleftrightarrow(x+4)^2=7\Longleftrightarrow x=-4\pm\sqrt7,u=-13\Longleftrightarrow(x+4)^2=3\Longleftrightarrow x=-4\pm\sqrt3.
Bốn nghiệm phân biệt vì 7\ne3 và hai số đều dương. Mỗi nghiệm làm một nhân tử của dạng phân tích bằng không; phép phân tích đã chứng minh cho mọi x, nên nó cũng thỏa đa thức ban đầu. Như vậy có cả chiều tìm đủ ứng viên và chiều xác nhận.
Phản ví dụ: với cùng u=x^2+8x, phương trình u+17=0 có nghiệm hình thức u=-17, nhưng không có x thực tương ứng. Quả thật x^2+8x+17=(x+4)^2+1>0. Nếu bỏ miền u\ge-16, bài toán mới đã bị nới rộng.
6. Ẩn phụ trong bài số nguyên còn phải giữ tính nguyên
Xét một tình huống chọn lọc khác: tìm tất cả cặp số nguyên (x,y) thỏa
x^2+2y^2+2xy+3y-4=0.
Nhóm x^2+2xy+y^2=(x+y)^2, rồi đặt t=x+y. Vì x,y nguyên, t nguyên, và phương trình trở thành
t^2+y^2+3y-4=0.
Nhân với 4 và hoàn thành bình phương để vẫn làm việc với số nguyên:
4t^2+(2y+3)^2=25.
Đặt U=2t, V=2y+3. Ta cần tìm điểm nguyên trên đường tròn
U^2+V^2=25,\qquad U\text{ chẵn},\ V\text{ lẻ}.
Các điều kiện chẵn lẻ là một phần của bài toán mới. Ngược lại, mọi cặp nguyên (U,V) thỏa chúng cho t=U/2, y=(V-3)/2 nguyên, rồi x=t-y nguyên. Thế các đẳng thức ngược lại cho đúng phương trình ban đầu. Vì vậy phép đổi biến này có chiều đảo hoàn chỉnh.
Cùng tỉ lệ 18 đơn vị vẽ cho một đơn vị trên cả hai trục. A, B ứng với (U,V)=(0,5),(0,-5); C, D ứng với (4,3),(-4,3); E, F ứng với (4,-3),(-4,-3). Những điểm nguyên khác trên đường tròn bị loại vì sai chẵn lẻ.
7. Từ một cận hữu hạn đến danh sách nghiệm có chứng minh
Vì U^2\le25 và U chẵn, chỉ cần xét U=-4,-2,0,2,4. Ta không thử vô hạn giá trị của x,y.
- Nếu U=0, thì V^2=25, nên V=\pm5. Dựng ngược cho (x,y)=(-1,1),(4,-4)
- Nếu U=\pm2, thì V^2=21. Không có V nguyên vì 4^2<21<5^2
- Nếu U=\pm4, thì V^2=9, nên V=\pm3. Bốn cách chọn dấu cho (x,y)=(2,0),(-2,0),(5,-3),(1,-3)
Có đúng sáu cặp nguyên. Đã xét hết vì cận |U|\le5 và tính chẵn cho đúng năm khả năng ở trên. Đã xác nhận đủ vì mỗi cặp dựng ngược từ một điểm thỏa đường tròn và điều kiện chẵn lẻ, qua chuỗi biến đổi tương đương. Có thể thay trực tiếp sáu cặp vào phương trình gốc để kiểm tra tính toán.
Nếu bỏ yêu cầu nguyên, phương trình mới là một đường tròn với vô số điểm. Nếu chỉ giữ yêu cầu nguyên mà bỏ chẵn lẻ, các điểm như (U,V)=(5,0) sẽ cho t=5/2, y=-3/2, không phù hợp. Một hình đẹp không thay được những ràng buộc của phép đổi biến.
8. Tự chọn và kiểm tra ẩn phụ
Với x,y thực có tổng bằng 2, có phải tích luôn không âm?
Không. Chọn x=3,y=-1, tích là -3. Miền đúng khi không có điều kiện dấu là p\le1, không có cận dưới. Chỉ khi thêm x,y\ge0, mới có 0\le p\le1.
Đặt t bằng x bình phương trừ 6x. Phương trình theo t có nghiệm t bằng âm 9 và âm 10. Quay về x ra sao?
Vì t=(x-3)^2-9, miền là t\ge-9. Giá trị -9 cho đúng một nghiệm x=3; giá trị -10 bị loại. Chiều đảo của miền: với mọi t\ge-9, chọn x=3\pm\sqrt{t+9}.
Đặt t bằng x cộng y trong một bài số nguyên thì chỉ cần t nguyên là đủ chưa?
Chưa. Nếu vẫn còn y, ta cần t,y đều nguyên để x=t-y nguyên. Nếu dùng tiếp V=2y+3, phải giữ V lẻ. Mỗi tầng đặt ẩn có điều kiện riêng, và phải khôi phục lần lượt theo thứ tự ngược.
Ẩn phụ hữu ích nhất khi nó làm lộ một quan hệ đã có: tính đối xứng, các thừa số cùng tổng, hoặc một bình phương ẩn. Tên mới làm bài ngắn hơn; miền giá trị và phép dựng ngược làm bài đúng hơn.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện