Mẫu viết và mẫu tối giản: phân loại phân số bằng ước chung
Xác định mẫu số sau rút gọn, đếm đủ các nhóm phân số trong một khoảng và phân biệt giá trị mới với cách viết mới khi thay mẫu chung.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Mẫu viết và mẫu tối giản: phân loại phân số bằng ước chung
Xác định mẫu số sau rút gọn, đếm đủ các nhóm phân số trong một khoảng và phân biệt giá trị mới với cách viết mới khi thay mẫu chung.
01 · Mẫu số đang viết và mẫu số tối giản
Hai phân số 35/56 và 5/8 biểu diễn cùng một số, nhưng có mẫu đang viết khác nhau. Khi yêu cầu “phân số mẫu 56”, cần biết đó là mẫu được ghi trong biểu thức hay mẫu còn lại sau khi rút gọn. Hai cách hiểu tạo ra hai bài đếm khác nhau.
Ta luôn lấy mẫu số là số nguyên dương. Tử số có thể là số nguyên dương, âm hoặc 0. Một phân số k/q, q>0, là tối giản khi \gcd(|k|,q)=1, tức tử và mẫu không còn ước chung lớn hơn 1.
Với n/D, D>0, đặt g=\gcd(|n|,D). Chia cả tử và mẫu cho g cho
\frac nD=\frac{n/g}{D/g}.
Nếu hai số mới còn chung ước e>1, thì eg là ước chung của |n|,D lớn hơn g, mâu thuẫn. Vì vậy mẫu tối giản chính xác là D/g. Khi n=0, g=D, ta được 0/1.
02 · Những mẫu tối giản nào có thể xuất hiện?
Nếu một số viết được dưới dạng n/D, mẫu tối giản của nó phải là một ước dương của D. Chiều đảo cũng đúng theo nghĩa biểu diễn: nếu k/q tối giản và q là ước của D, thì
\frac kq=\frac{(D/q)k}{D},
với tử bên phải là số nguyên. Như vậy các số có thể viết với mẫu D chính là các phân số tối giản có mẫu là ước của D.
Vì sao mọi mẫu tối giản phải là một ước của D? Từ k/q=n/D suy ra kD=nq, nên q là ước của kD. Tử k nguyên tố cùng nhau với q; mọi thừa số nguyên tố, với đủ số mũ, của q phải nằm trong D. Do đó q là ước của D.
Muốn mẫu tối giản đúng bằng một ước q của D, tử cần và đủ có dạng n=\frac Dq\,k,\qquad\gcd(|k|,q)=1.
Chiều cần đến từ chính phân số sau rút gọn. Chiều đủ: tử và mẫu của k/q đã nguyên tố cùng nhau, nên biểu thức ((D/q)k)/D rút về đúng mẫu q, không thể nhỏ hơn nữa.
03 · Vì sao cách viết tối giản là duy nhất?
Giả sử k/q=m/r, cả hai tối giản và q,r>0. Nhân chéo cho kr=mq. Vì k,q nguyên tố cùng nhau, suy ra q là ước của r. Tương tự, r là ước của q. Hai số dương chia hết lẫn nhau phải bằng nhau, nên q=r, rồi k=m.
Do đó mỗi giá trị có một mẫu tối giản duy nhất. Còn với một mẫu đang viết cố định D, hai tử khác nhau cũng cho hai giá trị khác nhau: n_1/D=n_2/D kéo theo n_1=n_2. Đếm các tử hợp lệ là đếm các giá trị phân số khác nhau khi mẫu viết đã cố định.
Khi gộp các danh sách có mẫu viết khác nhau, điều này không còn tự động: 1/2 và 2/4 là hai cách viết nhưng chỉ một giá trị. Rút gọn giúp nhận ra phần trùng giữa các danh sách.
04 · Mẫu nguồn: từ khoảng giá trị đến các tử hợp lệ
Mẫu được chọn yêu cầu tìm số phân số có tử nguyên, mẫu viết bằng 56, nằm nghiêm ngặt giữa 33/77 và 99/84. Rút hai đầu:
\frac{33}{77}=\frac37=\frac{24}{56},\qquad\frac{99}{84}=\frac{33}{28}=\frac{66}{56}.
Vì mẫu 56 dương,
\frac{33}{77}<\frac n{56}<\frac{99}{84}\iff24<n<66.
Các tử là 25,26,\ldots,65, tổng cộng 65-25+1=41. Hai đầu bị loại vì dấu bất đẳng thức nghiêm. Số 1=56/56 vẫn thuộc khoảng, nên không được ngầm yêu cầu mọi phân số bé hơn 1.
Con số 41 đếm tất cả giá trị viết với mẫu 56; nó chưa nói có bao nhiêu phân số đã tối giản. Vì 56=2^3\cdot7, một tử nguyên tố cùng nhau với 56 khi và chỉ khi không chia hết cho 2 và không chia hết cho 7.
Trong 25 đến 65, có 20 số chẵn, 6 bội của 7, và 3 bội của 14. Khi trừ hai nhóm đầu, các bội của 14 bị trừ hai lần nên cần cộng lại một lần:
41-20-6+3=18.
Vậy chỉ 18 giá trị trong khoảng có mẫu tối giản đúng bằng 56. Hai đáp số 41 và 18 trả lời hai điều kiện khác nhau.
05 · Phân loại toàn bộ theo mẫu sau rút gọn
Các ước dương của 56 là 1,2,4,7,8,14,28,56. Dùng tiêu chuẩn n=(56/q)k và \gcd(|k|,q)=1, ta tìm đủ các nhóm:
- q=56: k=25 đến 65, loại số chia hết cho 2 hoặc 7, có 18 giá trị.
- q=28: n=2k, nên k=13 đến 32. Có 10 số lẻ, loại 21, còn 9.
- q=14: n=4k, nên k=7 đến 16. Có 5 số lẻ, loại 7, còn 4.
- q=7: n=8k, nên k=4 đến 8. Loại 7, còn 4.
- q=8: n=7k, nên k=4 đến 9. Chọn số lẻ 5,7,9, có 3.
- q=4: n=14k, nên k=2 đến 4. Chỉ k=3 nguyên tố cùng nhau với 4, có 1.
- q=2: n=28k, nên k=1 hoặc 2. Chỉ k=1 được giữ, có 1.
- q=1: n=56k, chỉ k=1 nằm trong khoảng tử, có 1.
Tổng 18+9+4+4+3+1+1+1=41. Các nhóm không trùng nhau do mẫu tối giản duy nhất; chúng phủ hết vì mọi mẫu tối giản là một ước của 56. Phép cộng cuối kiểm tra cả sự đầy đủ lẫn không đếm trùng.
Ở mỗi hàng, cột giữa là \gcd(n,56); cột cuối bằng 56 chia cho ước chung lớn nhất ấy. Ví dụ 35/56=5/8, còn 28/56=1/2. Tử gần nhau không quyết định mẫu sau rút gọn; cấu trúc ước chung mới quyết định.
06 · Gấp đôi mẫu viết: giá trị nào thật sự mới?
Giữ nguyên hai đầu khoảng, thay mẫu viết bằng 112. Khi đó 48<n<132, tức n=49 đến 131, có 83 giá trị. Không lấy ngay 2\cdot41=82: số điểm trong khoảng còn phụ thuộc hai đầu mút.
Mỗi phân số cũ m/56 xuất hiện lại dưới dạng 2m/112. Các tử chẵn 50,52,\ldots,130 cho đúng 41 giá trị cũ. Các tử lẻ 49,51,\ldots,131 cho 42 giá trị mới: nếu một tử lẻ n vẫn thỏa n/112=m/56, nhân chéo buộc n=2m, mâu thuẫn.
Vì 112=2^4\cdot7, với tử lẻ, ước chung chỉ có thể là 1 hoặc 7. Trong 42 tử lẻ mới, các bội của 7 là 49,63,77,91,105,119, có 6 số. Chúng cho mẫu tối giản 16. Còn 36 số cho mẫu tối giản 112.
Số 56 không chia hết cho 16, nên các giá trị ấy thật sự chưa viết được với mẫu 56, đúng với tiêu chuẩn phần02. Nếu gộp hai danh sách mẫu 56 và mẫu 112, tổng số giá trị khác nhau là 83, không phải 41+83: danh sách đầu đã nằm trọn trong danh sách sau.
07 · Chuyển điều kiện sang ước chung
Một ví dụ nguồn khác hỏi các phân số có tử lớn hơn mẫu, tổng tử và mẫu bằng 10, cả hai là số nguyên dương. Đặt mẫu là m, tử là 10-m. Điều kiện 10-m>m cho m=1,2,3,4, nên có 4 cách viết và 4 giá trị khác nhau, vì (10-m)/m=10/m-1 giảm khi m tăng.
Nếu thêm yêu cầu phân số đã tối giản, dùng
\gcd(10-m,m)=\gcd(10,m).
Hai cặp có cùng tập ước chung: một số chia hết cả 10-m,m thì chia hết tổng 10; ngược lại một số chia hết 10,m thì chia hết hiệu 10-m. Trong 1,2,3,4, chỉ 1,3 nguyên tố cùng nhau với 10. Vậy chỉ còn 9/1 và 7/3. Điều kiện tối giản đã đổi bài đếm, dù điều kiện tổng giữ nguyên.
08 · Tự kiểm để đếm đúng đối tượng
Nếu trong mẫu56 còn yêu cầu phân số nhỏ hơn1?
Thêm n<56, nên các tử từ 25 đến 55, có 31 giá trị. Nếu đồng thời yêu cầu mẫu tối giản56, chọn các tử lẻ trong đoạn này rồi loại 35,49: 16-2=14 giá trị. Nêu đủ điều kiện trước khi chọn đáp số.
Phân số5/6 có thể viết với mẫu56 không?
Không. Nó đã tối giản và 6 không là ước của 56. Nếu cố viết n/56=5/6, ta được n=140/3, không nguyên. Với mẫu 84, nó viết được thành 70/84, vì 6 là ước của 84.
Tử âm hoặc tử0 có làm tiêu chuẩn hỏng không?
Không nếu mẫu dương và dùng ước chung với giá trị tuyệt đối của tử. -35/56=-5/8 có mẫu tối giản8; 0/56=0/1 có mẫu tối giản1. Tuy nhiên chúng không thuộc khoảng dương của mẫu đang đếm, nên bị loại bởi điều kiện khoảng trước đó.
Chỉ cộng số lượng của hai nhóm bội rồi trừ có thể sai ở đâu?
Một số có thể thuộc cả hai nhóm. Trong ví dụ, 28,42,56 vừa chẵn vừa là bội của7. Trừ hai nhóm mà không cộng lại phần giao sẽ loại chúng hai lần và làm đáp số thiếu3. Phải xác định rõ phần trùng.
Đếm phân số đáng tin cậy đi qua ba tầng: miền giá trị cho các tử hợp lệ; ước chung cho mẫu sau rút gọn; tính duy nhất của dạng tối giản giúp gộp hoặc chia nhóm mà không đếm trùng.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện