Nền tảng Toán 6: từ phép tính đến lí lẽ
Củng cố số tự nhiên và phân số để học sâu phép chia có dư, dấu hiệu chia hết, tổng triệt tiêu, tỉ số, trung bình, dữ liệu và bảo toàn diện tích.
NỀN TẢNG TOÁN 6 · HIỂU ĐỂ CHUYỂN GIAO
Nền tảng Toán 6: từ phép tính đến lí lẽ
Củng cố số tự nhiên và phân số để học sâu phép chia có dư, dấu hiệu chia hết, tổng triệt tiêu, tỉ số, trung bình, dữ liệu và bảo toàn diện tích.
1. Từ tính đúng đến giải thích được
Đây là bài củng cố nền tảng để học Toán 6. Các phép tính số tự nhiên, phân số và phần trăm quen thuộc sẽ được dùng để hiểu sâu hơn về tính chất phép toán, phép chia có dư, dấu hiệu chia hết, tỉ số và cách đọc dữ liệu.
Mục tiêu không phải ghi nhớ đáp án của một bài kiểm tra cũ. Sau bài học, em cần giải thích được vì sao một cách tính hợp lệ, khi nào một mô hình áp dụng được, và kiểm tra kết quả bằng một cách khác.
Hãy dùng nhịp học ba bước: dự đoán độ lớn; làm phép tính có căn cứ; kiểm tra bằng phép toán ngược, ước lượng hoặc dữ liệu gốc. Nếu ba bước không khớp nhau, quay lại tìm chỗ sai thay vì chỉ sửa đáp số.
2. Cấu trúc thập phân, phép tính và ước lượng
Phân phối để nhân với số có hai chữ số
Do 27=20+7,
\begin{aligned}248729\cdot27&=248729\cdot20+248729\cdot7\\&=4974580+1741103\\&=6715683.\end{aligned}
Hai tích riêng biểu thị số chục và số đơn vị của thừa số 27. Trong đặt tính, dòng nhân với 2 phải lùi một hàng vì thực chất là nhân với 20, không phải nhân với 2.
Có thể kiểm tra bằng 248729\cdot(30-3)=7461870-746187=6715683. Một cách tính khác cho cùng kết quả mạnh hơn việc đọc lại những con số vừa viết.
Cộng và trừ là hai phép toán ngược
Ta có 639528+238728=878256. Kiểm lại bằng 878256-238728=639528. Tương tự, 278639-173179=105460; phép thử là 173179+105460=278639. Khi đặt tính, phải thẳng hàng đơn vị, chục, trăm; không thẳng theo độ dài cách viết.
Làm tròn chỉ sau khi biết độ chính xác cần dùng
Tính 178791\cdot21=178791\cdot20+178791=3754611. Muốn làm tròn đến hàng chục nghìn, so sánh với hai bội chục nghìn gần nhất:
3750000<3754611<3760000.
Khoảng cách đến số dưới là 4611, đến số trên là 5389. Vì gần 3750000 hơn, kết quả làm tròn là 3750000. Tương đương, chữ số hàng nghìn là 4<5, nên giữ hàng chục nghìn.
Ước lượng không phải giá trị chính xác. Nếu làm tròn 178791 thành 180000 trước rồi nhân 21, sẽ được 3780000; đây là phép ước lượng để kiểm độ lớn, không phải phép tính chính xác hay cách làm tròn tích vừa nêu.
Chuyển giao: sai số làm tròn
Khi làm tròn đến bội gần nhất của 10000, sai số không vượt quá 5000. Ví dụ trên có sai số 4611. Nếu số đúng nằm chính giữa hai bội, ta dùng quy ước làm tròn đang học: chữ số tiếp theo bằng 5 thì tăng chữ số làm tròn lên một đơn vị.
3. Phép chia có dư và dấu hiệu chia hết
Thương và dư phải cùng vượt qua phép thử
Với số tự nhiên a và số tự nhiên b>0, phép chia có dư được viết
a=bq+r,\qquad0\le r<b.
Không chỉ cần khớp tổng bq+r; số dư còn phải nhỏ hơn số chia. Với 132784:19, ta có
132784=19\cdot6988+12,\qquad0\le12<19.
Vậy thương là 6988, dư 12. Cặp q=6987,r=31 cũng làm 19q+r=132784, nhưng không phải kết quả chia có dư đúng vì 31\ge19. Có thể chuyển thêm 19 từ phần dư sang một đơn vị thương.
Vì sao tổng chữ số quyết định chia hết cho 9?
Trong hệ thập phân, 10=9+1, 100=99+1, 1000=999+1. Mỗi hiệu 10^k-1, với k nguyên dương, là số gồm k chữ số 9, nên chia hết cho 9. Vì vậy một số và tổng các chữ số của nó có hiệu chia hết cho 9; chúng chia hết cho 9 đồng thời.
Ví dụ, số có bốn chữ số \overline{3a58}, trong đó a là một chữ số, có tổng chữ số 3+a+5+8=16+a. Muốn số đó chia hết cho 9, cần 16+a chia hết cho 9. Vì 0\le a\le9, tổng nằm từ 16 đến 25, chỉ có bội 18. Do đó a=2. Kiểm lại 3258=9\cdot362.
Nếu đổi yêu cầu thành chia hết cho 3 thì còn bao nhiêu chữ số a? Có thể dùng kết luận “a bằng 2” ngay không?
Gợi ý rồi lời giải
Số và tổng chữ số cũng có cùng tính chia hết cho 3. Trong đoạn từ 16 đến 25, các bội của 3 là 18,21,24. Vì vậy a=2,5,8. Điều kiện chia hết cho 3 yếu hơn chia hết cho 9; không được coi hai dấu hiệu tương đương.
Chuyển giao vào Toán 6. Các bài tìm chữ số là bài tìm số tự nhiên có điều kiện. Viết rõ miền a\in\{0,1,\ldots,9\} giúp chứng minh đã xét hết khả năng, thay vì đoán một chữ số rồi dừng lại.
4. Phân số: cùng đơn vị trước khi so sánh
Để so sánh 23/16,11/8,5/4,1/2, quy đồng về mẫu dương 16:
\frac{23}{16},\qquad\frac{22}{16},\qquad\frac{20}{16},\qquad\frac8{16}.
Mỗi phân số lúc này đếm số phần cùng kích thước 1/16, nên thứ tự là 23/16>11/8>5/4>1/2. Không cần đổi thành số thập phân.
Nếu b,d>0, hai phân số a/b,c/d có mẫu chung dương bd, nên so sánh chúng tương đương so sánh ad và bc. Điều kiện mẫu dương giúp hướng so sánh được giữ nguyên. Nếu gặp phân số có mẫu âm, hãy chuyển dấu âm lên tử trước khi dùng cách này.
Thứ tự phép tính giữ nguyên ý nghĩa biểu thức
\frac{13}{15}-\frac43:2=\frac{13}{15}-\frac43\cdot\frac12=\frac{13}{15}-\frac23=\frac15.
Phép chia được làm trước phép trừ. Tính (13/15-4/3):2 là một biểu thức khác; không được tự thêm dấu ngoặc.
\left(\frac{10}{30}+\frac83\right)\cdot\frac56=\left(\frac13+\frac83\right)\cdot\frac56=3\cdot\frac56=\frac52.
Phép chia cho một phân số khác 0 là nhân với nghịch đảo của nó. Vì (c/d)(d/c)=1 khi c,d\ne0, nhân với d/c là phép toán ngược của nhân với c/d.
Phản ví dụ: cộng cả tử lẫn mẫu
Không có quy tắc 1/2+1/3=2/5. Tổng đúng là 3/6+2/6=5/6. Cũng có thể phát hiện sai nhanh: 1/2+1/3 lớn hơn 1/2, còn 2/5 nhỏ hơn 1/2.
Rút gọn tích dựa trên nhân tử
\frac12\cdot\frac67\cdot\frac23\cdot\frac78=\frac{1\cdot6\cdot2\cdot7}{2\cdot7\cdot3\cdot8}=\frac14.
Ta được nhóm lại nhờ tính giao hoán, kết hợp của phép nhân. Việc rút gọn là chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử khác 0. Không được gạch bỏ một hạng ở trong tổng: chẳng hạn (2+3)/2=5/2, không phải 1+3=4.
5. Tính thuận tiện là tìm một cấu trúc
Xét 35\cdot18-9\cdot70+100. Vì 18=2\cdot9, 70=2\cdot35, nên hai tích đầu bằng nhau:
35\cdot18=35\cdot2\cdot9=70\cdot9.
Chúng triệt tiêu, biểu thức bằng 100. Cách này tiết kiệm tính toán vì dùng quan hệ giữa các thừa số, không phải vì bỏ qua các bước.
Một tổng có thể triệt tiêu theo từng cặp
Tính
T=\frac12-\frac16-\frac1{12}-\frac1{20}-\frac1{30}-\frac1{42}-\frac1{56}-\frac1{72}-\frac1{90}.
Các mẫu từ 6 đến 90 là 2\cdot3,3\cdot4,\ldots,9\cdot10. Với số nguyên k\ge1,
\frac1k-\frac1{k+1}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac1{k(k+1)}.
Nếu thay từng phân số từ 1/6 đến 1/90 bằng hiệu trên, những hạng nào sẽ xuất hiện một lần với dấu cộng và một lần với dấu trừ?
Viết rõ phần bị trừ trước khi rút gọn
\begin{aligned}&\frac16+\frac1{12}+\cdots+\frac1{90}\\&=\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac19-\frac1{10}\right)\\&=\frac12-\frac1{10}.\end{aligned}
Vì vậy T=1/2-(1/2-1/10)=1/10. Dấu ngoặc ở phép trừ cuối quan trọng: trừ một hiệu làm đổi dấu cả hạng thứ hai.
Chuyển giao: mẫu cuối thay đổi
Với số nguyên n\ge2, lập luận tương tự cho
\frac12-\left(\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\cdots+\frac1{n(n+1)}\right)=\frac1{n+1}.
Đây là một mẫu hình có chứng minh: mỗi hạng ở giữa đều bị triệt tiêu đúng một lần; chỉ hai đầu còn lại. Nếu các mẫu bị thiếu, chẳng hạn bỏ 1/20, chuỗi triệt tiêu không còn nguyên vẹn và kết quả sẽ tăng thêm 1/20. Không được dùng công thức mà không kiểm tra toàn bộ dãy.
6. Tỉ số và đơn vị: chọn đúng lượng làm gốc
Giá một đơn vị giúp chuyển từ tiền sang số lượng
Thu mua 9 chiếc bút cùng loại hết 72000 đồng. Giả sử mỗi bút cùng một đơn giá, không có phí hay giảm giá theo số lượng. Mỗi bút giá 72000:9=8000 đồng. Hạnh trả bằng 2/3 số tiền của Thu, tức 48000 đồng, nên mua 48000:8000=6 chiếc bút.
Cũng có thể dùng tỉ số: cùng đơn giá thì số bút và số tiền có cùng tỉ lệ, nên Hạnh mua 9\cdot2/3=6 chiếc. Nếu cửa hàng có chương trình “mua nhiều giảm giá”, kết luận này cần kiểm tra lại.
Trong một công thức pha trộn, 4 kg nguyên liệu cần 80 g phụ gia. Nếu lượng phụ gia tỉ lệ thuận với khối lượng nguyên liệu, mỗi kg cần 20 g, nên 6 kg cần 120 g. Điều kiện “cùng công thức, cùng tỉ lệ” là căn cứ của phép nhân, không phải mọi bài có hai đại lượng đều tỉ lệ thuận.
Trung bình tốc độ phải tính trên tổng thời gian
Một xe đi 2 giờ với tốc độ 60 km/h, rồi 3 giờ với tốc độ 50 km/h, không có thời gian dừng. Tổng quãng đường là 2\cdot60+3\cdot50=270 km; tổng thời gian 5 giờ. Tốc độ trung bình là
v_{\mathrm{tb}}=\frac{270}{5}=54\ \text{km/h}.
Không lấy (60+50)/2=55 vì hai khoảng thời gian khác nhau. Tốc độ 50 kéo dài hơn, nên trung bình gần 50 hơn 60. Khi thời gian hai chặng bằng nhau, trung bình cộng hai tốc độ mới đúng.
Chuyển giao: cùng quãng đường cũng chưa đủ
Xe đi 60 km với tốc độ 60 km/h rồi 60 km với tốc độ 30 km/h. Hai chặng mất 1 giờ và 2 giờ, tổng quãng đường 120 km, tổng thời gian 3 giờ. Tốc độ trung bình là 40 km/h, không phải 45 km/h. Hãy luôn trở về định nghĩa quãng đường chia thời gian.
Phần trăm liên tiếp có lượng gốc thay đổi
Một giá trị ban đầu A>0 tăng 25\%, rồi giảm 20\% trên giá trị mới. Giá trị cuối là
A\cdot1{,}25\cdot0{,}8=A.
Vậy trở lại ban đầu. Với A=100, bước tăng thêm 25; bước giảm là 20\% của 125, cũng bằng 25. Không lấy 25\%-20\%=5\%, vì hai phần trăm không cùng lượng gốc.
Phản ví dụ: cùng phần trăm chưa chắc trở lại ban đầu
Tăng 20\% rồi giảm 20\% cho hệ số 1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96: giá trị cuối giảm 4\%. Ví dụ 100 thành 120, rồi thành 96. Con số phần trăm giống nhau không đảm bảo lượng tăng và lượng giảm bằng nhau.
7. Dữ liệu: đọc chú giải rồi mới cộng
Một cửa hàng ghi số sách bán trong bốn ngày được khảo sát : thứ hai, thứ ba, thứ năm và thứ sáu. Biểu đồ tranh dưới đây dùng mỗi hình quyển sách để biểu thị 10 quyển bán ra. Không có dữ liệu thứ tư, nên không kết luận tổng của cả tuần.
Chú giải là một phần của dữ liệu. Mỗi hình cùng một giá trị, nên có thể đếm hình trước rồi đổi sang số sách.
Số hình theo bốn ngày là 8,9,6,8, nên số sách tương ứng là 80,90,60,80. Tổng bốn ngày:
(8+9+6+8)\cdot10=310\ \text{quyển}.
Thứ ba bán nhiều nhất, 90 quyển. Thứ sáu chiếm tỉ số 80/310=8/31 trong tổng của bốn ngày. Ta cũng có thể tính trực tiếp tỉ số hình 8/31 vì tất cả hình dùng cùng một đơn vị 10 quyển.
Số trung bình mỗi ngày trong bốn ngày khảo sát là bao nhiêu? Một kết quả không nguyên có sai vì sách chỉ bán theo số nguyên không?
Giải thích
Trung bình là 310:4=77{,}5 quyển/ngày. Giá trị trung bình không nhất thiết là một lượng đã xuất hiện thực tế và không bắt buộc nguyên. Nó biểu thị mức chia đều của tổng bốn ngày, không khẳng định có ngày bán nửa quyển sách.
Cập nhật trung bình bằng cách cập nhật tổng
Năm số có trung bình 24, nên tổng là 5\cdot24=120. Thêm một số 36 thì tổng mới 156, số lượng số là 6; trung bình mới 156:6=26. Không lấy (24+36)/2, vì 24 đại diện cho năm số còn 36 chỉ đại diện cho một số.
Chuyển giao: thêm một số đúng bằng trung bình
Nếu có n số, n\ge1, trung bình a, tổng của chúng là na. Thêm một số bằng a, tổng mới (n+1)a, nên trung bình vẫn là a. Nếu thêm số lớn hơn a, trung bình tăng nhưng vẫn nhỏ hơn số mới thêm, vì các số cũ có tổng cố định na.
8. Diện tích qua cắt ghép: giữ phần phủ kín
Một hình vuông cạnh 8 cm được cắt thành hai hình chữ nhật bằng nhau, mỗi mảnh có kích thước 4 cm và 8 cm. Xoay mỗi mảnh rồi ghép thành một hình chữ nhật kích thước 16 cm và 4 cm, các mảnh không chồng lên nhau và không để lại khe hở.
Hai mảnh giữ nguyên kích thước khi xoay. Diện tích tổng không đổi, nhưng chu vi hình ghép có thể thay đổi.
Diện tích ban đầu là 8\cdot8=64 cm vuông; diện tích sau ghép là 16\cdot4=64 cm vuông. Căn cứ chung là tính cộng của diện tích: tổng diện tích các mảnh bằng diện tích hình được phủ kín, nếu không chồng lấn.
Chu vi không được bảo toàn theo cách ấy. Hình vuông có chu vi 4\cdot8=32 cm, hình chữ nhật mới có chu vi 2(16+4)=40 cm. Những cạnh nằm bên trong sau ghép không còn là biên ngoài, nên không thể cộng chu vi các mảnh để tìm chu vi hình ghép.
Chuyển giao: cùng diện tích không đồng nghĩa cùng hình dạng
Hình chữ nhật 2 cm và 32 cm cũng có diện tích 64 cm vuông, nhưng chu vi 68 cm. Diện tích đo phần mặt phẳng được phủ; chu vi đo đường bao. Chúng là hai đại lượng khác nhau, có đơn vị lần lượt là cm vuông và cm.
9. Bài thử cuối: lựa chọn phương pháp
- Một số tự nhiên chia 19 được thương q, dư r. Phải kiểm tra hai điều gì? Giải thích vì sao chỉ kiểm phép nhân cộng chưa đủ.
- Khi so sánh phân số, em có thể đưa về cùng đơn vị nào? Khi rút gọn, đang khử một nhân tử hay tùy tiện gạch một hạng tử?
- Một chuỗi phân số có thật sự đủ các mẫu liên tiếp để triệt tiêu không?
- Một tỉ lệ dùng lượng gốc nào? Hai chặng chuyển động có cùng thời gian hay chỉ cùng quãng đường?