Phân số của phần còn lại: giữ đúng lượng gốc
Củng cố phân số cho Toán 6 qua quá trình dùng rồi giữ lại, khôi phục lượng ban đầu và kiểm tra khi nào đổi thứ tự các bước làm thay đổi kết quả.
TOÁN 6 · NỀN TẢNG PHÂN SỐ VÀ PHÉP TOÁN NGƯỢC
Phân số của phần còn lại: giữ đúng lượng gốc
Củng cố phân số cho Toán 6 qua quá trình dùng rồi giữ lại, khôi phục lượng ban đầu và kiểm tra khi nào đổi thứ tự các bước làm thay đổi kết quả.
1. Cùng một phân số, nhưng là phần của lượng nào?
Đây là bài củng cố phân số để học Toán 6. Trọng tâm không phải tính thật nhiều phép nhân, mà là nói rõ lượng gốc của mỗi phân số và giải thích vì sao phép tính mô tả đúng quá trình.
Ví dụ độc lập: ban đầu có 200 nghìn đồng. Lần đầu dùng 1/4 số tiền ban đầu. Lần sau dùng 2/3 số tiền còn lại. Sau hai lần, còn bao nhiêu?
Có thể cộng 1/4+2/3 để tìm phần tiền đã dùng không? Hai phân số ấy có cùng lượng gốc không?
Lần đầu dùng 200\cdot1/4=50, còn 150 nghìn đồng. Lần sau dùng 150\cdot2/3=100, còn 50 nghìn đồng. Phân số 2/3 được lấy từ 150, không phải từ 200.
Mỗi mũi tên dùng lượng ở hộp ngay trước nó làm lượng gốc. Phân số trên mũi tên là phần giữ lại, không phải phần đã dùng.
Nếu đổi thành “lần sau dùng 2/3 số tiền ban đầu”, số tiền lần sau là 400/3 nghìn đồng. Đó là một bài toán khác. Cụm từ “của phần còn lại” là dữ kiện toán học, không phải phần diễn đạt có thể bỏ qua.
2. Giữ lại một phần thường giúp nhìn rõ hơn
Nếu có một lượng M\ge0 và dùng phần \alpha của lượng đó, với 0\le\alpha\le1, thì lượng dùng là \alpha M, lượng còn là
M-\alpha M=(1-\alpha)M.
Sau đó dùng phần \beta của lượng đang còn, với 0\le\beta\le1. Lượng còn cuối cùng là
\boxed{C=(1-\beta)(1-\alpha)M.}
Lượng dùng lần thứ hai không phải \beta M, mà là \beta(1-\alpha)M. Ba phần, cùng tính theo lượng gốc M, là
\alpha M,\qquad\beta(1-\alpha)M,\qquad
(1-\beta)(1-\alpha)M.
Chúng không âm và có tổng
\alpha M+\bigl[\beta+(1-\beta)\bigr](1-\alpha)M
=\alpha M+(1-\alpha)M=M.
Đây là một phép kiểm tra bảo toàn: tiền ban đầu được chia thành hai khoản đã dùng và khoản còn lại, không bị đếm hai lần hoặc bỏ sót.
Áp dụng lại ví dụ mở đầu bằng phần giữ lại
C=200\left(1-\frac14\right)\left(1-\frac23\right)
=200\cdot\frac34\cdot\frac13=50.
Phần dùng lần hai so với ban đầu là (2/3)(3/4)=1/2. Vì vậy ba phần theo cùng mốc là 1/4,\ 1/2,\ 1/4, tổng bằng 1.
3. Một ứng dụng chọn từ tiền mua giày
Tình huống chọn từ dữ kiện nguồn: ban đầu có 800\,000 đồng. Sau một khoản chi, còn 3/5 số tiền ban đầu. Tiền mua giày bằng 7/8 của số tiền còn lại. Ta cần xác định khoản mua giày và tiền còn sau đó.
Số tiền trước khi mua giày là
800\,000\cdot\frac35=480\,000\text{ đồng}.
Vì vậy tiền giày bằng
480\,000\cdot\frac78=420\,000\text{ đồng},
và tiền còn sau mua giày là 480\,000/8=60\,000 đồng. Khoản chi đầu bằng 800\,000-480\,000=320\,000 đồng.
Đưa cả ba khoản về cùng lượng gốc 800\,000:
\frac25=\frac{16}{40},\qquad
\frac35\cdot\frac78=\frac{21}{40},\qquad
\frac35\cdot\frac18=\frac3{40}.
Ba phần cộng lại bằng 1; ba khoản tiền 320\,000+420\,000+60\,000 bằng đúng 800\,000.
Độ dài các phần dùng cùng một tỉ lệ. Phần tiền còn lại nhỏ vì chỉ bằng ba phần bốn mươi số tiền ban đầu.
Cộng trực tiếp 2/5+7/8=51/40 rồi kết luận “không đủ tiền” là đã dùng sai lượng gốc cho khoản thứ hai. Trong dữ kiện này, 7/8 thuộc phần 3/5, nên phần tiền giày so với ban đầu chỉ là 21/40.
4. Biết phần còn lại có tìm được ban đầu?
Nếu 0\le\alpha<1 và 0\le\beta<1, hệ số
q=(1-\alpha)(1-\beta)>0.
Từ C=qM, ta có duy nhất
\boxed{M=\frac Cq.}
Chiều ngược cũng đúng: cho C\ge0, lấy M=C/q\ge0; thực hiện đúng hai bước thì phần còn lại là qM=C. Nếu yêu cầu lượng ban đầu dương, cần và đủ C>0.
Có thể đi ngược từng bước. Nếu sau hai khoản chi của tình huống mua giày còn 60\,000 đồng, trước khoản thứ hai phải có 60\,000:(1/8)=480\,000. Trước khoản đầu phải có 480\,000:(3/5)=800\,000.
Khi nào phép đảo không còn xác định duy nhất?
Nếu \alpha=1 hoặc \beta=1, một bước dùng hết lượng đang có, nên q=0. Phần cuối luôn bằng 0, dù lượng ban đầu khác nhau. Biết C=0 khi ấy không phục hồi duy nhất M; còn yêu cầu C>0 là không thể. Không được chia cho q=0.
Nếu cả hai tỉ lệ nhỏ hơn 1, C=0 buộc M=0. Hai tình huống cùng có kết quả cuối bằng không nhưng khả năng suy ngược khác nhau.
5. Đổi thứ tự hai khoản theo tỉ lệ
Giữ hai quy tắc: dùng phần \alpha của lượng đang có, rồi phần \beta của lượng đang có. Nếu đổi thứ tự, lượng cuối là
(1-\alpha)(1-\beta)M=(1-\beta)(1-\alpha)M.
Vì phép nhân có tính giao hoán, lượng cuối không đổi. Tuy nhiên, từng khoản đã dùng thường đổi vì lượng gốc ở thời điểm áp dụng đổi.
Ví dụ với 800\,000 đồng, hai tỉ lệ 2/5 và 7/8: theo thứ tự ban đầu, hai khoản là 320\,000 và 420\,000, còn 60\,000. Nếu dùng 7/8 trước, khoản đầu là 700\,000, còn 100\,000; dùng tiếp 2/5 của phần này là 40\,000, vẫn còn 60\,000.
Do đó “phần còn cuối không đổi” không đồng nghĩa “tiền của mỗi khoản không đổi”. Kết luận chỉ áp dụng khi cả hai quy tắc đều tính theo lượng còn tại đúng thời điểm đó.
6. Một khoản cố định làm thứ tự trở nên quan trọng
Ví dụ mới: có 100 nghìn đồng, một khoản cố định 10 nghìn đồng và một khoản bằng một nửa lượng đang còn.
Trả khoản cố định trước thì còn 90, rồi dùng một nửa nên cuối cùng còn 45. Dùng một nửa trước thì còn 50, rồi trả 10, cuối cùng còn 40. Hai thứ tự cho kết quả khác nhau.
Giải thích tổng quát bằng phép phân phối
Gọi khoản cố định là c\ge0, tỉ lệ dùng là 0\le\alpha<1. Để cả hai thứ tự đều không phải chi vượt lượng đang có, giả sử M\ge c/(1-\alpha). Điều này cũng cho M\ge c.
Khoản cố định trước, tỉ lệ sau cho (M-c)(1-\alpha). Tỉ lệ trước, khoản cố định sau cho M(1-\alpha)-c. Hiệu hai kết quả là
(M-c)(1-\alpha)-\bigl[M(1-\alpha)-c\bigr]
=\alpha c.
Nếu \alpha>0,c>0, hiệu dương nên thứ tự thứ nhất để lại nhiều hơn. Nếu \alpha=0 hoặc c=0, hai kết quả bằng nhau. Đây là điều kiện cần và đủ để hai thứ tự cho cùng phần cuối trong miền đang xét.
Phân biệt hai tình huống: nhân với hai hệ số có thể đổi thứ tự; trừ một khoản cố định rồi nhân với hệ số nói chung không thể đổi thứ tự. Điều kiện đủ lượng để chi phải được kiểm tra trước khi so sánh.
7. Chuyển giao: dựng lại quá trình từ cuối về đầu
Ví dụ độc lập: lần đầu dùng 1/3 số tiền ban đầu, lần sau dùng 1/4 số còn lại; cuối cùng còn 120 nghìn đồng. Tìm tiền ban đầu và cả hai khoản dùng.
Gợi ý
Sau bước thứ hai còn 3/4 của lượng trước bước ấy. Sau bước đầu còn 2/3 của ban đầu. Hãy chia ngược hoặc nhân hai hệ số giữ lại.
Lời giải và kiểm tra bảo toàn
q=\frac23\cdot\frac34=\frac12,\qquad
M=120:\frac12=240\text{ nghìn đồng}.
Khoản đầu 240/3=80, còn 160. Khoản sau 160/4=40, còn 120. Kiểm tra 80+40+120=240. Nếu đổi thứ tự hai tỉ lệ, các khoản thành 60 rồi 60, vẫn còn 120.
Mỗi khi đọc một phân số trong quá trình nhiều bước, hãy hoàn thành câu “phần này lấy từ lượng nào?”. Sau đó viết hệ số giữ lại, giữ điều kiện khác không khi đảo phép tính, và kiểm tra các phần cuối cùng cộng lại đúng lượng ban đầu.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu