Toán 6: hiểu chia hết, lũy thừa và đo hình từ những điều kiện cơ bản
Từ tập hợp đến BCNN, lũy thừa, diện tích và năng suất: hiểu vì sao các quy tắc đúng, thử phản ví dụ và chuyển đổi dữ kiện với điều kiện rõ ràng.
Toán 6 · Số học và hình học cơ bản
Toán 6: hiểu chia hết, lũy thừa và đo hình từ những điều kiện cơ bản
Từ tập hợp đến BCNN, lũy thừa, diện tích và năng suất: hiểu vì sao các quy tắc đúng, thử phản ví dụ và chuyển đổi dữ kiện với điều kiện rõ ràng.
1. Học cách mô tả trước khi tính
Toán lớp 6 bắt đầu từ một câu hỏi rất cụ thể: ta đang nói về những đối tượng nào? Một danh sách số, một nhóm học sinh, một phép tính hay một hình vẽ đều cần được mô tả chính xác. Bài học này nối tập hợp, tính chia hết, lũy thừa và đo hình bằng cùng một thói quen: nêu điều kiện, giải thích phép làm và kiểm tra lại ý nghĩa .
Trong bài, quy ước \mathbb N=\{0,1,2,\ldots\} và \mathbb N^*=\{1,2,3,\ldots\}. Tập hợp không đếm lặp phần tử; thứ tự liệt kê không làm đổi tập hợp. Vì thế \{2,3,2\}=\{2,3\}, có hai phần tử.
Dự đoán. Tập các số tự nhiên từ 9 đến 16, kể cả hai đầu, có bảy hay tám phần tử? Hãy thử đếm cả vị trí đầu tiên.
Giải thích và chuyển giao
Viết H=\{n\in\mathbb N\mid9\le n\le16\}=\{9,10,11,12,13,14,15,16\}. Có 16-9+1=8 phần tử. Hiệu hai đầu chỉ đếm số bước đi, chưa đếm vị trí bắt đầu. Tổng quát, nếu a,b là số nguyên và a\le b, dãy số nguyên từ a đến b có b-a+1 phần tử. Nếu a>b, tập theo điều kiện này rỗng; không dùng công thức để nhận số phần tử âm.
Đổi thành 9<n<16 thì hai đầu bị loại: còn 10,11,12,13,14,15, tức sáu phần tử. Nếu em được tám ở cả hai trường hợp, hãy đọc lại dấu bất đẳng thức.
Số La Mã là một cách viết khác, không phải một phép toán mới: X biểu thị mười, V biểu thị năm, I biểu thị một. Trong cách viết chuẩn, IX biểu thị chín nên XIX biểu thị mười chín; không cộng cả ba kí hiệu như khi đọc XVI. Quy tắc trừ chỉ dùng các cặp chuẩn, không tùy ý đặt một kí hiệu nhỏ trước kí hiệu lớn.
2. Ước và bội: hai chiều nhìn một phép nhân
Với a\in\mathbb N, d\in\mathbb N^*, nói a chia hết cho d khi có q\in\mathbb N sao cho a=dq. Khi đó d là ước của a, còn a là bội của d. Cùng phép nhân 24=6\cdot4 cho biết có thể xếp hai mươi bốn vật thành sáu nhóm bốn vật hoặc bốn nhóm sáu vật.
Không chia cho số không. Mặt khác, 0=d\cdot0 cho mọi d>0, nên số không là bội của mọi số tự nhiên khác không. Khi tìm BCNN, ta tìm bội chung dương nhỏ nhất, tránh trả lời số không.
Với một số tự nhiên lớn hơn một: số nguyên tố có đúng hai ước dương là một và chính nó; hợp số có thêm ước dương khác. Số một chỉ có một ước dương, số không có vô hạn ước dương, nên cả hai đều không phải số nguyên tố hoặc hợp số. Số hai là số nguyên tố chẵn duy nhất: mọi số chẵn lớn hơn hai đều có thêm ước là hai.
Các lá khoanh xanh là số nguyên tố. Đường tách có thể khác, nhưng tích các lá vẫn là 24=2^3\cdot3.
Vì sao những dấu hiệu chia hết hoạt động?
Viết một số có ba chữ số là 100a+10b+c. Hai hạng đầu chia hết cho hai và cho năm; do đó chữ số tận cùng quyết định tính chia hết cho hai hoặc năm. Cũng có
100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c).
Hai hạng đầu chia hết cho ba và cho chín, nên số ban đầu chia hết cho ba hoặc chín đúng khi tổng chữ số có tính chất đó. Với nhiều chữ số, lập luận giống hệt vì 10^k-1 luôn là một dãy chữ số chín và chia hết cho chín.
Ví dụ 3714 tận cùng bằng bốn và có tổng chữ số 3+7+1+4=15, nên chia hết cho hai và ba, nhưng không chia hết cho chín. Từ chia hết cho hai và ba suy ra chia hết cho sáu vì hai và ba nguyên tố cùng nhau. Không thay cặp số tùy ý: 12 chia hết cho bốn và sáu nhưng không chia hết cho tích 24.
Thử trước. Một bạn bảo “tổng của hai số không chia hết cho năm cũng không chia hết cho năm”. Tìm một phản ví dụ.
Gợi ý rồi phản hồi
Hãy ghép hai số dư bù nhau. Chẳng hạn 2+3=5: cả hai số hạng không chia hết cho năm, tổng lại chia hết. Trong khi đó, nếu A=5u, B=5v thì A+B=5(u+v) chắc chắn chia hết cho năm. Nếu một số hạng chia hết cho năm, số kia không chia hết, tổng không chia hết: giả sử tổng cũng chia hết thì lấy tổng trừ số hạng đầu sẽ buộc số hạng còn lại chia hết, mâu thuẫn.
Liệt kê ước bằng cặp nhân
Các cặp tích của 24 là 1\cdot24,2\cdot12,3\cdot8,4\cdot6; vì thế các ước dương là 1,2,3,4,6,8,12,24. Không cần thử mọi số đến hai mươi bốn: nếu cả hai thừa số nguyên dương đều ít nhất bằng năm, tích của chúng ít nhất là 5\cdot5=25>24. Vì vậy, trong mỗi cặp tích bằng hai mươi bốn, phải có ít nhất một thừa số thuộc 1,2,3,4. Thử hết bốn số đó đã tìm được mọi cặp ước.
3. BCNN: đồng thời thỏa nhiều điều kiện
Nếu một số học sinh xếp hàng hai, ba, bốn hoặc tám đều không dư, số học sinh phải là bội chung của các số đó. Điều kiện chia hết cho tám đã bao gồm chia hết cho bốn và hai, còn điều kiện chia hết cho ba vẫn độc lập.
2=2,\quad3=3,\quad4=2^2,\quad8=2^3.
Một bội chung dương phải chứa ít nhất ba thừa số hai và một thừa số ba. Tích nhỏ nhất đáp ứng là 2^3\cdot3=24. Bất cứ bội chung nào cũng chia hết cho hai mươi bốn; ngược lại, mọi bội của hai mươi bốn đều chia hết cho cả bốn số. Đó là lý do quy tắc BCNN lấy số mũ lớn nhất của mỗi thừa số nguyên tố.
Nếu số học sinh nằm từ 35 đến 60, kể cả hai đầu, viết N=24k. Các bội gần đó là 24,48,72; chỉ 48 nằm trong khoảng. Thử lại: 48:2=24, 48:3=16, 48:4=12, 48:8=6.
Phân biệt mục đích. Chia nhiều loại vật thành số phần giống nhau lớn nhất dùng ƯCLN; tìm một lượng đáp ứng đồng thời nhiều nhịp chia hết dùng BCNN. Ví dụ chia 12 bút và 18 vở thành các phần quà giống nhau, dùng hết, thì số phần quà là ước chung của mười hai và mười tám; lớn nhất là sáu. Nó không phải BCNN là ba mươi sáu.
Chuyển giao: hai đèn chớp lại cùng lúc
Hai đèn chớp lần lượt mỗi 6 giây và 8 giây, cùng chớp lúc bắt đầu. Lần tiếp theo cùng chớp là sau bao lâu?
Gợi ý: xét thời gian dương đồng thời là bội của cả hai chu kì. Do 6=2\cdot3, 8=2^3, BCNN là 24, nên hai đèn cùng chớp sau 24 giây. Không chọn 48 chỉ vì đó là tích: bốn mươi tám cũng là thời điểm cùng chớp, nhưng không sớm nhất. Không chọn số không vì câu hỏi hỏi lần tiếp theo.
4. Lũy thừa và thứ tự phép tính
Với n\in\mathbb N^*, a^n là tích của n thừa số bằng a. Vì ghép hai dãy thừa số cùng cơ số nên
a^m\cdot a^n=a^{m+n}\qquad(m,n\in\mathbb N^*).
Với a\ne0, phép chia hai lũy thừa cùng cơ số, số mũ nguyên không âm và m\ge n, cho a^m:a^n=a^{m-n}. Trường hợp m=n phải bằng một, giải thích quy ước a^0=1 khi a\ne0. Bài này không gán giá trị cho 0^0. Quy tắc nhân không áp dụng cho phép cộng: 2^3+2^2=8+4=12, khác 2^5=32.
Vì 4=4^1, ta có 4^3\cdot4^2\cdot4=4^{3+2+1}=4^6. Nhưng cơ số lớn hơn không bảo đảm lũy thừa lớn hơn khi số mũ khác: 3^2=9>2^3=8, còn 3^2=9<2^4=16. Phải so sánh cả cơ số và số mũ.
Trong biểu thức, tính ngoặc trong trước; ngoài ngoặc tính lũy thừa, rồi nhân chia từ trái sang phải, rồi cộng trừ từ trái sang phải. Ngoặc tròn, vuông, nhọn giúp nhìn mức lồng nhau; không được tính một ngoặc ở ngoài trước chỉ vì tên loại ngoặc.
18-15:3+7=18-5+7=20.
2021^0+3[5^2\cdot10-(23-13)^2]=1+3(250-100)=451.
Dự đoán lỗi: phép chia liên tiếp
Một bạn tính 24:6\cdot2=24:12=2. Vì sao sai?
Nhân và chia cùng ưu tiên nên thực hiện từ trái sang phải: (24:6)\cdot2=4\cdot2=8. Muốn kết quả hai phải có ngoặc 24:(6\cdot2). Ngoặc thay đổi cấu trúc phép tính; không được tự thêm ngoặc làm thay đổi giá trị.
5. Đo hình: chu vi và diện tích trả lời hai câu khác nhau
Chu vi đo độ dài đường bao; diện tích đo phần mặt phẳng bên trong. Hình chữ nhật có chiều dài a>0, chiều rộng b>0 thì P=2(a+b), S=ab. Công thức diện tích xuất phát từ việc xếp các ô vuông đơn vị thành hàng và cột; khi dùng độ dài thập phân hoặc phân số, chia nhỏ ô đơn vị theo cùng tỉ lệ.
Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông, nên P=4a, S=a^2. Bốn cạnh bằng nhau thôi chưa đủ để kết luận hình vuông: hình thoi có góc không vuông là phản ví dụ. Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Diện tích là đáy nhân chiều cao vuông góc , không phải đáy nhân cạnh xiên.
Ở hình minh họa này, chuyển tam giác ADH sang bên phải tạo một hình chữ nhật cùng đáy và cùng chiều cao. Cạnh xiên dài hơn đường cao, nên thay chiều cao bằng cạnh xiên sẽ tính thừa.
Lập luận cắt ghép trên áp dụng trực tiếp khi chân đường cao nằm trên đáy như hình. Công thức S=ah vẫn đúng cho hình bình hành có chân đường cao nằm ngoài đoạn đáy, bằng cách kẻ đường chéo: hai tam giác có chung độ dài đáy bằng đáy hình bình hành và cùng chiều cao tương ứng, nên tổng diện tích là \frac12ah+\frac12ah=ah. Chiều cao bằng không làm hình suy biến thành đoạn thẳng; đó không phải hình bình hành có diện tích dương.
Đa giác đều phải có cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Một lục giác đều chia được thành sáu tam giác đều từ tâm. Mỗi góc trong ghép từ hai góc 60^\circ, nên bằng 120^\circ. Khi lát kín quanh một điểm không chồng lên nhau, tổng góc quanh điểm là 360^\circ: sáu tam giác đều, bốn hình vuông hoặc ba lục giác đều có thể gặp nhau ở một đỉnh. Chỉ tổng góc đúng chưa tự động chứng minh mọi cách ghép toàn mặt phẳng đều làm được; còn phải khớp cạnh.
Phản ví dụ: cùng chu vi có cùng diện tích không?
Hình chữ nhật có cạnh 10\,\mathrm m và 14\,\mathrm m có chu vi 48\,\mathrm m, diện tích 140\,\mathrm m^2. Hình vuông cạnh 12\,\mathrm m cũng có chu vi 48\,\mathrm m, nhưng diện tích 144\,\mathrm m^2. Vì thế biết chu vi chưa xác định duy nhất diện tích. Nếu em thấy hai số đo đều “mét” rồi cộng chúng, hãy kiểm tra lại đơn vị: diện tích dùng mét vuông.
6. Năng suất: nối tỉ lệ với đơn vị
Một ruộng hình chữ nhật rộng 123\,\mathrm m, dài bằng \frac43 chiều rộng. Giả sử năng suất đồng đều: cứ 100\,\mathrm m^2 thu 50\,\mathrm{kg} thóc, không có phần ruộng bị bỏ trống. Trước khi tính, dự đoán chiều dài lớn hơn chiều rộng vì \frac43>1.
a=123\cdot\frac43=164\,\mathrm m,\qquad S=123\cdot164=20\,172\,\mathrm m^2.
Năng suất trên một mét vuông là 50:100=0{,}5\,\mathrm{kg/m^2}, nên khối lượng thu được:
M=20\,172\cdot0{,}5=10\,086\,\mathrm{kg}.
Đơn vị giải thích phép nhân: mét vuông nhân kilôgam trên mét vuông cho kilôgam. Kiểm tra bằng cách khác: diện tích gồm 201{,}72 nhóm một trăm mét vuông, mỗi nhóm cho năm mươi kilôgam, vẫn được 10\,086. Không làm tròn số nhóm thành hai trăm vì phần lẻ vẫn có sản lượng trong mô hình năng suất đồng đều.
Thay đổi giả thiết: gấp đôi chiều dài thì sao?
Giữ chiều rộng và năng suất, gấp đôi chiều dài làm diện tích và sản lượng đều gấp đôi. Nếu gấp đôi cả chiều dài lẫn chiều rộng thì diện tích và sản lượng gấp bốn. Đây là phản ví dụ cho suy nghĩ “hình to gấp đôi thì diện tích luôn gấp đôi”. Nếu năng suất thay đổi theo vùng đất, không thể dùng một mức cho toàn bộ ruộng trừ khi mức đó là năng suất trung bình phù hợp.
7. Biến một thương thành điều kiện chia hết
Tìm n\in\mathbb N để \frac{n+8}{n+3} là số tự nhiên. Vì n+3\ge3, mẫu luôn dương. Nhận ra tử hơn mẫu năm đơn vị:
\frac{n+8}{n+3}=\frac{(n+3)+5}{n+3}=1+\frac5{n+3}.
Thương ban đầu là số tự nhiên đúng khi n+3 là ước dương của năm. Các ước dương của năm là một và năm; kết hợp n+3\ge3 chỉ còn n+3=5, tức n=2. Thử lại \frac{2+8}{2+3}=2. Lập luận gồm cả hai chiều: mọi nghiệm phải nằm trong danh sách ước, và giá trị nhận được phải thực sự thỏa.
Dự đoán trước khi mở. Nếu đổi tử thành n+9, liệu vẫn chỉ có một nghiệm?
Gợi ý, lời giải và chẩn đoán
Viết \frac{n+9}{n+3}=1+\frac6{n+3}. Các ước dương của sáu là một, hai, ba, sáu. Do mẫu ít nhất bằng ba, ta có n+3=3 hoặc n+3=6, tức n=0 hoặc n=3. Thử lại cho thương lần lượt là ba và hai. Nếu em bỏ số không, hãy quay lại quy ước tập số tự nhiên đầu bài; nếu đề dùng \mathbb N^*, chỉ còn n=3.
Miền số thực sự quan trọng. Trong bài gốc, nếu cho n là số nguyên, điều kiện mẫu khác không là n\ne-3, và mẫu có thể là ước âm của năm. Chẳng hạn n=-8 cho thương bằng số không; nhưng n=-4 cho thương bằng âm bốn, không phải số tự nhiên. Không được dùng kết luận cho số tự nhiên mà bỏ điều kiện khi mở rộng miền số.
8. Tự kiểm tra hiểu biết bằng một lời giải ngắn
Chọn một nội dung em chưa chắc và viết ba dòng: điều kiện đang dùng, lý do phép biến đổi đúng, phép thử ngược. Có thể tự giải thích vì sao số một không nguyên tố, vì sao BCNN không lấy số không, vì sao số mũ được cộng khi nhân cùng cơ số, hoặc vì sao năng suất phải đi cùng đơn vị diện tích.
Nếu tính sai, tìm dòng đầu tiên mất ý nghĩa: nhầm số bước với số phần tử; nhầm ước với bội; đổi phép cộng thành quy tắc lũy thừa; dùng cạnh xiên làm chiều cao; hoặc bỏ miền giá trị của ẩn. Sửa đúng nguyên nhân rồi tự đổi một dữ kiện. Làm được trường hợp mới và giải thích được điều kiện mới là dấu hiệu hiểu bài.