Đọc góc và chứng minh tứ giác: từ quan hệ bù đến hình bình hành
Hiểu vì sao tổng góc bằng 360 độ, phân biệt góc trong–ngoài, khai thác hình thang và dùng đúng dấu hiệu hình bình hành qua các đoạn bằng nhau.
HÌNH HỌC 8 · TỪ DỮ KIỆN ĐẾN CHỨNG MINH
Đọc góc và chứng minh tứ giác: từ quan hệ bù đến hình bình hành
Hiểu vì sao tổng góc bằng 360 độ, phân biệt góc trong–ngoài, khai thác hình thang và dùng đúng dấu hiệu hình bình hành qua các đoạn bằng nhau.
1. Hình vẽ gợi ý; quan hệ hình học mới quyết định
Một tứ giác vẽ nghiêng vẫn có tổng góc không đổi. Một hình trông giống hình thang chưa chắc có hai cạnh song song. Chuyên đề này hướng dẫn chuyển dữ kiện thành đẳng thức, rồi chuyển đẳng thức hoặc quan hệ cạnh thành một chứng minh.
Ta xét các tứ giác lồi : bốn đỉnh phân biệt được gọi theo thứ tự quanh biên; mỗi góc trong lớn hơn 0^\circ và nhỏ hơn 180^\circ. Góc ngoài trong bài là góc kề bù với góc trong, tạo bằng cách kéo dài một cạnh, không phải góc phản lớn hơn 180^\circ.
Ba công cụ đầu tiên là tổng góc, hai góc kề bù và góc tạo bởi đường thẳng song song. Công cụ cuối là dấu hiệu hình bình hành. Mỗi lần sử dụng, cần chỉ rõ giả thiết nào cho phép áp dụng.
2. Vì sao tổng góc tứ giác bằng một vòng tròn?
Hãy dự đoán: nếu kéo một đỉnh của tứ giác sang vị trí khác mà hình vẫn lồi, tổng bốn góc có thay đổi không? Dùng một đường chéo để giải thích.
Với tứ giác lồi, đường chéo AC nằm trong hình và chia hình thành hai tam giác không chồng lấn phần trong.
Hai tam giác ABC và ACD đều có tổng ba góc bằng 180^\circ. Khi cộng, hai phần của góc tại A ghép thành \angle DAB, hai phần tại C ghép thành \angle BCD. Vì thế
\boxed{\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ}.
Đây là tính chất của mọi tứ giác lồi, không cần vuông, cân hoặc có cạnh song song. Nếu đã biết ba góc, góc còn lại bằng 360^\circ trừ tổng ba góc đó.
Kiểm tra nhanh với một ví dụ
Ba góc bằng 110^\circ,120^\circ,80^\circ. Góc thứ tư bằng 360^\circ-310^\circ=50^\circ. Giá trị này nằm trong (0^\circ,180^\circ), phù hợp với tứ giác lồi. Nếu phép tính cho 0^\circ hoặc một góc lớn hơn 180^\circ, phải kiểm tra lại dữ kiện hoặc loại hình đang xét.
Hệ quả. Tứ giác có ba góc vuông thì góc thứ tư cũng vuông: 360^\circ-3\cdot90^\circ=90^\circ. Nhưng không được tự thêm góc vuông chỉ vì một cạnh trông thẳng đứng và một cạnh trông nằm ngang trên màn hình.
3. Góc ngoài: đổi đúng đại lượng trước khi cộng
Giả sử kéo dài AB qua B tới T. Hai tia BA,BT đối nhau. Góc trong \angle ABC=b và góc ngoài \angle CBT=e là hai góc kề bù:
b+e=180^\circ,\qquad b=180^\circ-e.
Trong hình minh họa, e=60^\circ, b=120^\circ. Cặp tia đối nhau là BA,BT; không phải hai tia chỉ tình cờ tạo một góc trông gần thẳng.
Một tứ giác có một góc trong 90^\circ, hai góc ngoài tại hai đỉnh khác bằng 60^\circ và 105^\circ. Muốn tìm góc trong còn lại, có được cộng thẳng bốn số với 360^\circ không?
Gợi ý rồi lời giải
Đầu tiên đổi hai góc ngoài thành góc trong: 180^\circ-60^\circ=120^\circ, 180^\circ-105^\circ=75^\circ. Góc còn lại là 360^\circ-90^\circ-120^\circ-75^\circ=75^\circ. Kiểm tra: 90+120+75+75=360. Sai lầm là dùng 60 và 105 như hai góc trong.
Một hệ quả đáng nhớ. Nếu tại mỗi đỉnh tứ giác lồi chọn một góc ngoài kề bù cùng chiều đi quanh hình, tổng bốn góc ngoài bằng
4\cdot180^\circ-360^\circ=360^\circ.
Hai tổng đều bằng 360^\circ, nhưng không được trộn góc trong ở đỉnh này với góc ngoài ở đỉnh khác rồi áp dụng tùy ý.
4. Khi các góc chứa cùng một ẩn
Nếu bốn góc có số đo k_1x,k_2x,k_3x,k_4x, với các hệ số k_i>0, ta không cần đo hình. Chỉ cần lập phương trình:
(k_1+k_2+k_3+k_4)x=360^\circ.
Sau khi giải, kiểm tra từng k_ix thuộc (0^\circ,180^\circ). Đây là bước kiểm tra hình học, không phải một thủ tục thừa.
Ví dụ: các góc tỉ lệ với 2, 3, 4, 1
Ta có 10x=360^\circ, nên x=36^\circ. Bốn góc lần lượt bằng 72^\circ,108^\circ,144^\circ,36^\circ, đều hợp lệ và có tổng 360^\circ.
Phản ví dụ cho việc chỉ nhìn tổng. Nếu các hệ số là 1,1,1,9, phép chia vẫn cho x=30^\circ, nhưng góc cuối bằng 270^\circ. Không có tứ giác lồi nào thỏa yêu cầu ấy.
Khi chỉ hai góc bằng x còn hai góc khác là 65^\circ,95^\circ, phương trình là 2x+65^\circ+95^\circ=360^\circ, nên x=100^\circ. Nguyên tắc vẫn là cùng một tổng góc, không phải một dạng công thức mới.
5. Hình thang: dùng quan hệ cục bộ mạnh hơn tổng bốn góc
Cho tứ giác lồi ABCD có AB\parallel CD, hai cạnh này là hai đáy. Đường AD cắt hai đáy, nên hai góc trong cùng phía tại A,D bù nhau. Tương tự với cát tuyến BC:
\boxed{\angle A+\angle D=180^\circ},\qquad \boxed{\angle B+\angle C=180^\circ}.
Cặp cần cộng nằm trên cùng một cạnh bên: A,D hoặc B,C. Không phải hai góc cùng nằm trên một đáy.
Biết B=40^\circ,D=80^\circ, em cần dùng tổng bốn góc hay có thể tìm từng góc còn lại trực tiếp?
Lời giải theo từng cạnh bên
Ta có A=180^\circ-80^\circ=100^\circ, C=180^\circ-40^\circ=140^\circ. Mỗi phép tính dùng một cát tuyến đã biết. Kiểm tra toàn hình: 100+40+140+80=360.
Nếu dữ kiện cho góc ngoài tại B bằng 50^\circ, góc ngoài tại D bằng 70^\circ, trước hết suy ra B=130^\circ,D=110^\circ. Sau đó A=70^\circ,C=50^\circ. Khi góc ngoài ở một đầu cạnh bên được biết, góc trong ở đầu kia bằng nó, nhưng kết luận này vẫn dựa trên hai lần dùng quan hệ bù.
Tổng 360^\circ chỉ là kiểm tra cần thiết. Chẳng hạn bộ góc A=100^\circ,B=80^\circ,C=120^\circ,D=60^\circ có tổng đúng 360^\circ, nhưng không thể là hình thang với AB\parallel CD, vì A+D=160^\circ\ne180^\circ.
Kiểm tra chiều đảo. Trong một tứ giác lồi, nếu A+D=180^\circ, định lí đảo về hai góc trong cùng phía cho AB\parallel CD. Nêu rõ cát tuyến AD và đúng vị trí hai góc trước khi kết luận.
6. Từ một cặp cạnh đối đến hình bình hành
Một tứ giác là hình bình hành nếu có hai cặp cạnh đối song song. Một dấu hiệu ngắn hơn thường hữu ích: một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau .
Chứng minh dấu hiệu, thay vì chỉ học thuộc
Trong tứ giác lồi PQRS, giả sử PQ\parallel RS, PQ=RS. Kẻ đường chéo PR. Hai tam giác PQR và RSP có PQ=RS, cạnh PR chung, và \angle QPR=\angle SRP do so le trong. Chúng bằng nhau theo cạnh–góc–cạnh. Suy ra \angle QRP=\angle SPR, nên QR\parallel PS theo định lí đảo về góc so le trong. Cả hai cặp cạnh đối song song, nên PQRS là hình bình hành.
Chỉ có một cặp cạnh đối bằng nhau thì chưa đủ: một hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng hai đáy có thể dài khác nhau. Chỉ có một cặp cạnh đối song song cũng chưa đủ: đó mới là điều kiện của hình thang.
7. Ứng dụng: cắt hai đoạn bằng nhau trên hai đáy
Cho hình bình hành ABCD. Chọn E nằm trong cạnh AB, F nằm trong cạnh CD, sao cho AE=CF. Yêu cầu nằm trong giúp cả hai tứ giác sắp xét đều có bốn đỉnh phân biệt.
Vì AB\parallel CD, các đoạn nằm trên hai đường này cũng song song: AE\parallel CF, BE\parallel DF. Đồng thời AB=CD. Khi bớt hai đoạn bằng nhau khỏi hai đoạn bằng nhau, phần còn lại bằng nhau:
BE=AB-AE=CD-CF=DF.
Trong AECF, hai cạnh đối AE,CF vừa song song vừa bằng nhau. Vì vậy AECF là hình bình hành.
Trong BEDF, cặp cạnh đối BE,DF cũng vừa song song vừa bằng nhau. Vì vậy BEDF là hình bình hành.
Kiểm chứng độ dài. Nếu AB=CD=10, AE=CF=4, thì BE=DF=6. Hai phép trừ dùng đúng vị trí đầu mút: F được đo từ C, không phải từ D. Nếu thay dữ kiện bằng AE=DF, đó là một cấu hình khác, không được giữ nguyên kết luận.
8. Chuyển giao: từ kết quả đã có đến một quan hệ mới
Trong cấu hình vừa rồi, gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Em dự đoán E,O,F có thẳng hàng không?
Gợi ý rồi chứng minh
Trong hình bình hành ABCD, O là trung điểm AC. Nhưng AECF cũng là hình bình hành, có hai đường chéo AC và EF. Hai đường chéo của nó chia đôi nhau; vì trung điểm AC là duy nhất, giao điểm ấy chính là O. Vậy O cũng là trung điểm EF, và E,O,F thẳng hàng.
Thử góc ngoài. Ba góc trong của một tứ giác lồi là 72^\circ,105^\circ,88^\circ. Tính góc ngoài kề bù tại đỉnh còn lại.
Gợi ý và kết quả có kiểm tra
Góc trong còn lại là 360^\circ-265^\circ=95^\circ. Góc ngoài cần tìm là 180^\circ-95^\circ=85^\circ. Kiểm tra cả tổng góc trong và cặp kề bù.
Thử hình thang. Với AB\parallel CD, A=3x,D=2x, hãy tìm x,A,D. Có đủ dữ kiện để biết riêng B,C chưa?
Lời giải và giới hạn kết luận
Ta có 5x=180^\circ, nên x=36^\circ,A=108^\circ,D=72^\circ. Chỉ biết B+C=180^\circ, chưa biết riêng từng góc. Ví dụ (B,C)=(90^\circ,90^\circ) hoặc (100^\circ,80^\circ) đều phù hợp với quan hệ góc ấy; không được tự chọn một cặp làm đáp án duy nhất.
Tự kiểm tra. Tôi đã phân biệt góc trong và góc ngoài chưa? Tôi có ghi cặp cạnh song song trước khi dùng góc bù chưa? Tôi đã kiểm tra từng góc của tứ giác lồi chưa? Khi kết luận hình bình hành, tôi đã có cả “song song” và “bằng nhau” cho đúng cùng một cặp cạnh đối chưa? Tôi có biết khi nào dữ kiện chỉ cho tổng, chưa cho từng góc không?
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu