Tính vật liệu thành bể: vì sao phải tính lại bốn góc?
Chứng minh thể tích bốn thành dày đều bằng diện tích mặt giữa nhân bề dày, đo sai lệch của cách lấy mặt ngoài và kiểm tra giới hạn của mô hình.
TOÁN THCS · THỂ TÍCH, BỀ DÀY VÀ SAI LỆCH
Tính vật liệu thành bể: vì sao phải tính lại bốn góc?
Chứng minh thể tích bốn thành dày đều bằng diện tích mặt giữa nhân bề dày, đo sai lệch của cách lấy mặt ngoài và kiểm tra giới hạn của mô hình.
1. Diện tích mặt ngoài nhân bề dày có luôn đúng?
Xét một khung hộp chữ nhật không tính đáy, có kích thước ngoài 10 cm, 8 cm, cao 3 cm. Bốn thành đứng đều dày 1 cm. Nếu lấy diện tích bốn mặt ngoài nhân với bề dày, ta được
2(10+8)\cdot3\cdot1=108\text{ cm}^3.
Nhưng lòng khung có kích thước 8 cm, 6 cm, cao 3 cm. Thể tích vật liệu của bốn thành là
10\cdot8\cdot3-8\cdot6\cdot3=96\text{ cm}^3.
Hai phép tính đều có đơn vị thể tích, nhưng chênh 12\text{ cm}^3. Phần nào bị tính thêm ở cách dùng toàn bộ mặt ngoài?
Bài học tìm một công thức chính xác, giải thích sai lệch ở các góc và xác định khi nào một phép ước lượng đủ gần.
2. Khóa mô hình trước khi trừ hai khối
Gọi chiều dài, chiều rộng ngoài là L,W>0, chiều cao phần thành là H>0. Bốn thành thẳng đứng, có cùng bề dày t, với
0<t<\frac{\min(L,W)}2.
Ta chỉ tính vật liệu bốn thành bên; đáy và nắp không thuộc mô hình. Chiều cao lòng khung và chiều cao thành đều là H. Hai kích thước ngang bên trong là L-2t,\ W-2t, vì mỗi chiều mất một bề dày ở cả hai phía.
Khối ngoài gồm đúng lòng rỗng và bốn thành, nên
V=\bigl[LW-(L-2t)(W-2t)\bigr]H.
Khai triển và rút gọn:
\boxed{V=2tH(L+W-2t).}
Miền đã nêu bảo đảm lòng khung còn hai kích thước dương. Nếu thành dày đến mức một chiều trong bằng không, công thức đại số có thể vẫn tính được một thể tích, nhưng không còn là chiếc khung có lòng rỗng không suy biến đang xét.
3. Bốn góc giải thích chính xác phần chênh
Diện tích bốn mặt đứng bên ngoài là
S_{\text{ngoài}}=2(L+W)H.
Nhân mỗi mặt với bề dày t tương đương cộng bốn tấm hộp theo toàn chiều dài ngoài. Tại mỗi góc, hai tấm chồng lên nhau thành một khối có thể tích t^2H. Có bốn góc, nên
\boxed{S_{\text{ngoài}}t-V=4t^2H.}
Cũng có thể chia khung không chồng lấn: lấy hai tấm dài L, dày t, rồi hai tấm nối giữa chúng dài W-2t, dày t. Tổng thể tích là
2LtH+2(W-2t)tH=2tH(L+W-2t),
khớp công thức trừ khối. Hai cách chứng minh cùng chỉ rõ mỗi góc chỉ được tính một lần.
Mặt cắt ngang vẽ đúng tỉ lệ; chiều cao 3 cm vuông góc với hình. Bốn ô góc là phần chồng khi cộng các tấm theo toàn bộ chiều dài ngoài.
Ở ví dụ đầu, mỗi góc đóng góp thêm 1^2\cdot3=3\text{ cm}^3 trong phép đếm thừa. Bốn góc cho 12, đúng bằng 108-96.
4. Mặt giữa thành cho công thức chính xác
Diện tích bốn mặt đứng bên trong là
S_{\text{trong}}=2\bigl[(L-2t)+(W-2t)\bigr]H
=2(L+W-4t)H.
Nếu lấy S_{\text{trong}}t, ta lại thiếu bốn góc:
V-S_{\text{trong}}t=4t^2H.
Hai sai lệch có cùng độ lớn, trái chiều. Lấy trung bình hai ước lượng sẽ triệt tiêu chúng:
\boxed{V=\frac{S_{\text{ngoài}}+S_{\text{trong}}}{2}\,t.}
Một cách hiểu khác: đường nằm giữa thành trong mặt cắt ngang là hình chữ nhật có kích thước L-t,\ W-t. Chu vi đường giữa là
P_{\text{giữa}}=2(L+W-2t).
Vì vậy V=P_{\text{giữa}}Ht. Đây là công thức chính xác cho mô hình thành dày đều đang xét. Đường giữa là một đường tham chiếu trong vật liệu, không phải một mặt tường cần cộng thêm.
Với khung 10,8,3 và t=1, ta có S_{\text{ngoài}}=108, S_{\text{trong}}=84 tính bằng centimet vuông. Trung bình là 96; nhân bề dày 1 cho đúng 96\text{ cm}^3.
5. Ứng dụng chọn từ kích thước một bể nước
Dữ kiện chọn từ tài liệu nguồn: bể có chiều dài ngoài 5 m, rộng ngoài 3{,}5 m, chiều cao phần thành 1{,}5 m, mỗi thành bên dày 25 cm. Chiều cao này không tính bề dày đáy; ta tính riêng bốn thành, không tính vật liệu đáy.
Đổi 25 cm thành 0{,}25 m. Kích thước lòng bể là 4{,}5 m và 3 m, cao 1{,}5 m. Dung tích lòng bể bằng
4{,}5\cdot3\cdot1{,}5=20{,}25\text{ m}^3
=20\,250\text{ lít}.
Thể tích vật liệu bốn thành, là câu hỏi phát triển từ các kích thước ấy, bằng
V=5\cdot3{,}5\cdot1{,}5-20{,}25
=26{,}25-20{,}25=6\text{ m}^3.
Kiểm theo hai diện tích:
S_{\text{ngoài}}=2(5+3{,}5)\cdot1{,}5=25{,}5\text{ m}^2,
S_{\text{trong}}=2(4{,}5+3)\cdot1{,}5=22{,}5\text{ m}^2.
\frac{25{,}5+22{,}5}{2}\cdot0{,}25=6\text{ m}^3.
Dùng riêng mặt ngoài cho 6{,}375\text{ m}^3; dùng riêng mặt trong cho 5{,}625\text{ m}^3. Cả hai lệch 0{,}375=4(0{,}25)^2(1{,}5)\text{ m}^3, đúng bằng bốn góc.
Các thanh có cùng tỉ lệ độ dài. Giá trị giữa là thể tích đúng của bốn thành; không có vật liệu đáy trong phép so sánh này.
6. Khi nào lấy mặt ngoài là một ước lượng đủ gần?
Vì V>0, sai lệch tương đối của cách lấy mặt ngoài, so với thể tích thật, là
e=\frac{S_{\text{ngoài}}t-V}{V}
=\frac{4t^2H}{2tH(L+W-2t)}
=\boxed{\frac{2t}{L+W-2t}}.
Mẫu dương trong miền hình học. Sai lệch này không phụ thuộc H: tăng chiều cao cùng nhân cả thể tích thật lẫn phần đếm thừa với một hệ số.
Nếu yêu cầu sai lệch không vượt một số \varepsilon>0, ta có các phép biến đổi tương đương
\frac{2t}{L+W-2t}\le\varepsilon
\quad\Longleftrightarrow\quad
2(1+\varepsilon)t\le\varepsilon(L+W),
\boxed{t\le\frac{\varepsilon(L+W)}{2(1+\varepsilon)}}.
Điều kiện này còn phải kết hợp với 0<t<\min(L,W)/2. Nó là điều kiện cần và đủ cho mức sai lệch đã chọn trong mô hình, không thay thế điều kiện tồn tại của lòng bể.
Với bể nguồn, e=0{,}5/8=1/16=6{,}25\%. Vì vậy phép lấy mặt ngoài không đạt yêu cầu sai lệch không quá 5\%. Nếu giữ L=5,\ W=3{,}5, yêu cầu 5\% cho
t\le\frac{17}{84}\text{ m}\approx0{,}20238\text{ m},
nhỏ hơn bề dày nguồn 0{,}25 m. Ta có một ngưỡng được chứng minh, thay vì chỉ nói chung chung rằng thành “khá mỏng”.
7. Chuyển giao: thành ống trụ và giả thiết dày đều
Ví dụ độc lập: ống trụ có bán kính ngoài R, bán kính trong r, với R>r>0, chiều cao H>0, không tính hai đầu. Bề dày là t=R-r. Thể tích vật liệu:
V=\pi(R^2-r^2)H
=\pi(R+r)(R-r)H.
Chu vi đường giữa có bán kính (R+r)/2 bằng \pi(R+r). Vậy lại có V=P_{\text{giữa}}Ht. Tương đương, lấy trung bình hai diện tích xung quanh rồi nhân bề dày cũng đúng:
V=\frac{2\pi RH+2\pi rH}{2}\,t.
Với R=4,\ r=3,\ H=10 cùng đơn vị centimet, thể tích đúng là 70\pi\text{ cm}^3. Hai cách dùng mặt ngoài hoặc mặt trong riêng cho 80\pi và 60\pi, còn trung bình cho đúng 70\pi.
Không tự thay bề dày không đều bằng trung bình
Một khung ngoài 10 cm, 8 cm, cao 1 cm có hai thành trái/phải dày 1 cm và hai thành trên/dưới trong mặt cắt dày 2 cm. Lòng khung là 8 nhân 4, nên thể tích thành bằng 80-32=48\text{ cm}^3.
Hai diện tích xung quanh là 36 và 24\text{ cm}^2. Nếu tùy tiện lấy bề dày trung bình 1{,}5, công thức trung bình diện tích sẽ cho (36+24)\cdot1{,}5/2=45, khác 48. Công thức của mục 4 yêu cầu cùng một bề dày t; bỏ giả thiết ấy thì phải dựng lại mô hình.
8. Kiểm tra một phép nhân diện tích với bề dày
Hãy xác định đó là diện tích ngoài, trong hay giữa thành; các tấm có chồng ở góc không; bề dày có thực sự đồng nhất không; chiều cao lòng và thành có cùng mốc không; có tính đáy hoặc nắp không. Đổi mọi độ dài về cùng đơn vị trước khi nhân.
Trong mô hình khung chữ nhật dày đều, trừ khối, chia tấm không chồng lấn và dùng đường giữa đều cho cùng một thể tích. Sự khớp nhau này giải thích công thức và phát hiện ngay phần góc bị cộng thừa hoặc bỏ thiếu.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu