Chia đôi diện tích hình bình hành: điều kiện cần và cách dựng
Nối diện tích với trung điểm để chứng minh đường chia đôi phải qua tâm, kiểm tra các biên và dựng đường cắt theo tỉ lệ cho trước.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Chia đôi diện tích hình bình hành: điều kiện cần và cách dựng
Nối diện tích với trung điểm để chứng minh đường chia đôi phải qua tâm, kiểm tra các biên và dựng đường cắt theo tỉ lệ cho trước.
01. Khi nào một đường thẳng thật sự chia đôi diện tích?
Một đường thẳng đi qua tâm hình bình hành tạo hai phần có diện tích bằng nhau. Nhưng điều ngược lại có đúng không? Và nếu một hình bình hành nhỏ được dựng từ các giao điểm ấy, nó có nhất thiết chiếm nửa diện tích hình ban đầu không?
Ta sẽ trả lời bằng diện tích hình thang và tam giác, rồi nối kết quả với trung điểm và đối xứng tâm. Trong toàn bài, ABCD là hình bình hành không suy biến, bốn đỉnh được ghi theo thứ tự quanh biên; O là giao điểm hai đường chéo.
Định lí cần chứng minh: một đường thẳng chia hình bình hành thành hai phần có diện tích bằng nhau khi và chỉ khi nó đi qua O. Các đường trùng cạnh hoặc nằm ngoài hình không chia đôi diện tích.
02. Đường cắt hai cạnh đối: diện tích là tổng của hai tỉ lệ
Trước hết, cho E\in AB, F\in DC, kể cả các đầu mút. Đặt AB=DC=L>0, khoảng cách giữa hai đường thẳng đáy là h>0. Khi đó diện tích toàn hình là S=Lh.
Đo hai tỉ lệ theo các hướng đã nêu rõ:
t=\frac{AE}{AB},\qquad s=\frac{DF}{DC},\qquad0\le t,s\le1.
Phần ở phía AD của đường EF là miền AEFD. Hai đáy song song của nó có độ dài AE=tL, DF=sL, cùng chiều cao h. Vì thế
S_{AEFD}=\frac{(AE+DF)h}{2}
=\frac{t+s}{2}S.
Khi một đáy bằng 0, miền trở thành tam giác và công thức vẫn đúng theo công thức diện tích tam giác. Khi cả hai bằng 0, đường cắt trùng AD, miền có diện tích 0. Khi t=s=1, đường cắt trùng BC, miền là toàn hình.
Phần còn lại có diện tích S-S_{AEFD}. Hai phần bằng nhau khi và chỉ khi
\boxed{t+s=1}.
Vì đo s từ D, điều kiện là tổng bằng 1, không phải t=s. Nếu đo từ C, ta sẽ có CF/DC=1-s, và điều kiện trở thành AE/AB=CF/DC.
03. Điều kiện diện tích cũng là điều kiện trung điểm
Đặt hệ trục vuông góc sao cho
A=(0,0),\quad B=(L,0),\quad D=(d,h),\quad C=(d+L,h),
trong đó L,h>0, còn d là số thực bất kì, có thể âm. Đây là hình bình hành tổng quát, không ngầm biến nó thành hình chữ nhật. Các điểm đã chọn có tọa độ
E=(tL,0),\quad F=(d+sL,h),\quad O=\left(\frac{d+L}{2},\frac h2\right).
Trên đường thẳng EF, điểm có tung độ h/2 chính là trung điểm M của EF, vì hai tung độ đầu mút là 0,h. Hoành độ của nó là (d+(t+s)L)/2. Do L>0, ta có
O\in EF\iff O=M\iff t+s=1.
Kết hợp với công thức diện tích, một đường cắt hai cạnh đối chia đôi diện tích đúng khi đi qua tâm. Đồng thời khi ấy OE=OF, nên ta còn có kết luận trung điểm.
Cách nhìn độc lập bằng đối xứng tâm
Phép quay nửa vòng quanh O đổi A với C, B với D, nên giữ nguyên hình bình hành. Một đường qua O cũng được giữ nguyên, còn hai phía của nó đổi cho nhau. Hai phần hình vì thế là ảnh của nhau qua phép quay, nên có diện tích bằng nhau. Lập luận này chứng minh nhanh chiều thuận; công thức ở trên giải thích cả chiều đảo.
04. Nếu đường cắt hai cạnh kề thì sao?
Để định lí bao trùm mọi hướng, còn phải xét một đường cắt hai cạnh kề. Chẳng hạn lấy E\in BA, G\in BC. Phần gần đỉnh B là tam giác BEG. Đặt
u=\frac{BE}{BA},\qquad v=\frac{BG}{BC},\qquad0\le u,v\le1.
Nếu u=0 hoặc v=0, diện tích tam giác bằng 0. Nếu cả hai dương, tam giác BEG và BAG cùng chiều cao từ G xuống BA, nên tỉ số diện tích bằng BE/BA=u. Tam giác BAG và BAC cùng chiều cao từ A xuống BC, nên tỉ số diện tích bằng BG/BC=v. Mà đường chéo AC chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau, nên
S_{BEG}=uv\,S_{BAC}=\frac{uv}{2}S\le\frac12S.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u=v=1: vì mỗi số không vượt 1, tích bằng 1 buộc cả hai bằng 1. Khi ấy E=A,G=C, đường cắt chính là đường chéo AC, đi qua O. Nếu ít nhất một đầu nằm trong cạnh kề, phần tam giác nhỏ hơn nửa diện tích.
Một đường cắt qua phần trong của một tứ giác lồi có đoạn giao với hình, hai đầu nằm trên hai cạnh đối hoặc hai cạnh kề. Nếu đầu nằm tại một đỉnh, ta có thể tính nó thuộc một trong hai cạnh gặp nhau tại đó; các công thức trên đã cho phép đầu mút. Nếu hai đầu nằm trên cùng một cạnh thì đường thẳng trùng cạnh, không chia hình thành hai phần dương. Đường chỉ chạm một đỉnh, hoặc không gặp hình, cũng để toàn bộ diện tích ở một phía nên không chia đôi.
Vậy đã xét hết: cắt hai cạnh đối thì chia đôi đúng khi qua tâm; cắt hai cạnh kề chỉ có thể chia đôi ở đường chéo. Kết hợp với đối xứng tâm, định lí hai chiều ở mục 01 được chứng minh đầy đủ.
05. Cấu hình nguồn: trung điểm và một hình bình hành nhỏ
Dữ kiện được chọn từ bài nguồn: ABCD là hình bình hành; O=AC\cap BD; một đường thẳng qua O cắt hai cạnh AB,CD tại E,F. Xét trước E nằm trong cạnh AB, tức 0<t<1; các biên sẽ được xử lí riêng.
Ta đã chứng minh s=1-t, O là trung điểm EF. Mặt khác, O là trung điểm AC. Trong tứ giác AECF, hai đường chéo AC,EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên AECF là hình bình hành. Bốn đỉnh phân biệt vì E trong AB và F trong DC.
Cũng có thể dùng dấu hiệu cạnh đối: AE\parallel CF và AE=tL=CF. Ta còn có EB=(1-t)L=DF, giải thích cặp độ dài tương ứng trong cấu hình.
Mô hình minh họa mới: A=(0,0),B=(6,0),D=(1,4),C=(7,4), E=(2,0),F=(5,4), O=(7/2,2). Hình dùng cùng tỉ lệ 30 điểm ảnh cho một đơn vị. Mỗi phần do đường EF chia ra có diện tích 12.
Hình AECF không nhất thiết chiếm một nửa
Hình bình hành AECF có đáy AE=tL, chiều cao vẫn là h, nên
S_{AECF}=tS.
Trong hình minh họa, S=24, t=1/3, nên S_{AECF}=8, không phải 12. Hai phần bằng nhau là các miền AEFD và EBCF; đừng đổi chúng thành tứ giác có thứ tự đỉnh khác.
Hình AECF có nửa diện tích đúng khi t=1/2, tức E,F là hai trung điểm cạnh tương ứng. Với 0<t<1, diện tích của hình nhỏ chạy qua toàn khoảng (0,S): mỗi tỉ lệ diện tích r\in(0,1) đạt duy nhất khi AE=rL.
Nếu cho phép t=0, thì E=A,F=C, đường cắt là AC, vẫn chia đôi hình lớn; nhưng AECF có đỉnh trùng và diện tích 0, không là hình bình hành không suy biến. Nếu t=1, E=B,F=D, đường cắt là BD, còn AECF chính là toàn hình ABCD, có diện tích S.
06. Dựng đường cắt theo một tỉ lệ diện tích khác
Giữ một điểm E\in AB, tức đã biết t. Muốn miền AEFD chiếm tỉ lệ \rho của diện tích toàn hình, công thức diện tích buộc
s=2\rho-t.
Điểm F thuộc đoạn DC khi và chỉ khi 0\le s\le1, tức
\boxed{\frac t2\le\rho\le\frac{t+1}{2}}.
Đây là điều kiện cần và đủ: khi \rho trong khoảng, lấy duy nhất F trên DC sao cho DF=(2\rho-t)L, rồi nối E,F; công thức diện tích trả lại đúng \rho S. Đầu dưới cho F=D, đầu trên cho F=C, đều được lấy. Nếu yêu cầu hai phần có diện tích dương, cần thêm 0<\rho<1, loại đường trùng cạnh ở các trường hợp biên.
Với hình minh họa L=6,h=4,AE=2, ta có t=1/3, nên chỉ những tỉ lệ \rho\in[1/6;2/3] mới đạt bằng cách cho F chạy trên cạnh đối. Muốn \rho=1/4, chọn s=1/6, tức DF=1, và diện tích là 6. Muốn \rho=3/4, công thức cho s=7/6>1: không có điểm F trên đoạn DC.
Với \rho=1/2, luôn có s=1-t\in[0,1], nên qua mỗi điểm của cạnh AB có đúng một đường nối sang cạnh đối để chia đôi diện tích. Đó chính là đường nối điểm ấy với tâm O, vì O không nằm trên đường thẳng AB.
07. Đổi hình: qua trọng tâm tam giác chưa chắc chia đôi
Đây là phản ví dụ ở mô hình mới. Cho tam giác vuông A=(0,0),B=(6,0),C=(0,6). Trung điểm BC là (3,3), nên trung tuyến từ A có phương trình y=x. Trung tuyến từ B đi qua trung điểm (0,3) của AC, có phương trình y=3-x/2. Giao hai trung tuyến là trọng tâm G=(2,2).
Đường qua G song song BC là x+y=4, cắt hai trục tại (4,0),(0,4). Tam giác gần A có diện tích 4\cdot4/2=8, trong khi diện tích toàn tam giác là 6\cdot6/2=18. Tỉ lệ là 4/9, không phải 1/2.
Một trung tuyến của tam giác vẫn chia đôi diện tích vì hai đáy trên cùng cạnh bằng nhau và có chung chiều cao. Nhưng không phải mọi đường qua trọng tâm đều là trung tuyến. Tính chất “mọi đường qua tâm đều chia đôi” ở hình bình hành đến từ đối xứng tâm; không được chuyển nó sang một điểm chỉ vì điểm ấy cũng có tên là tâm.
08. Tự kiểm tra
Thử 1. Trong một hình bình hành, AE/AB=1/5, DF/DC=1/5. Đường EF có chia đôi diện tích không?
Xem lời giải
Không. Miền AEFD có tỉ lệ diện tích (1/5+1/5)/2=1/5. Để chia đôi, phải có DF/DC=4/5. Hai tỉ lệ bằng nhau chỉ chia đôi khi cả hai bằng 1/2.
Thử 2. Một đường nối hai cạnh kề tại E,G có BE/BA=2/3, BG/BC=3/4. Phần tam giác gần B chiếm bao nhiêu diện tích?
Xem lời giải
Tỉ lệ bằng (2/3)(3/4)/2=1/4. Phần còn lại chiếm 3/4. Đường này không qua tâm vì không chia đôi diện tích, đúng với chiều đảo của định lí.
Thử 3. Muốn hình AECF trong cấu hình qua tâm có diện tích lớn nhất khi E bị buộc nằm trong cạnh AB, có đạt được không?
Xem lời giải và cận
Không. Diện tích là tS, 0<t<1. Với mỗi t, số (t+1)/2 vẫn trong khoảng và cho diện tích lớn hơn. Cận trên là S, sát vì chọn t=1-\delta với 0<\delta<\min(1,\varepsilon/S) sẽ cho S-tS<\varepsilon. Nếu cho phép E=B, diện tích lớn nhất S mới đạt tại t=1.
Thử 4. Với t=3/4, tỉ lệ \rho=1/4 có dựng được bằng đường nối E với một điểm trên DC không?
Xem lời giải
Không. Tỉ lệ nhỏ nhất trong miền ấy là t/2=3/8>1/4. Công thức đảo cho s=2(1/4)-3/4=-1/4, nằm ngoài đoạn cho phép. Nghiệm đại số âm không tạo được điểm trên cạnh DC.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện