Đơn thức và phép phân phối: đọc cấu trúc trước số mũ
Hiểu vì sao số mũ được cộng hoặc nhân, khi nào khử được thừa số và cách tính phân phối tạo ra các hằng đẳng thức có điều kiện rõ ràng.
TOÁN 8 · TÍCH, LŨY THỪA VÀ PHÉP CHIA
Đơn thức và phép phân phối: đọc cấu trúc trước số mũ
Hiểu vì sao số mũ được cộng hoặc nhân, khi nào khử được thừa số và cách tính phân phối tạo ra các hằng đẳng thức có điều kiện rõ ràng.
1. Đọc cấu trúc trước khi đụng đến số mũ
Ba cách viết -x^2, (-x)^2 và (-x^2)^2 không giống nhau. Thứ tự phép tính cho -x^2=-(x^2), còn (-x)^2=x^2, và (-x^2)^2=x^4. Chẳng hạn tại x=2, chúng lần lượt bằng -4,4,16.
Dấu ngoặc xác định phần nào được nhân, chia hoặc nâng lên lũy thừa. Vì vậy, trước khi dùng một quy tắc số mũ, hãy xác định cơ số của lũy thừa và các thừa số của tích.
Một đơn thức khác không được viết thành một hệ số khác không nhân với phần biến. Các số mũ của biến là số nguyên không âm; khi số mũ bằng không, ta bỏ thừa số ấy khỏi cách viết đơn thức. Khi thay số, không cần tính 0^0. Một hằng số khác không là đơn thức có phần biến trống và bậc 0; trong bài học này không gán bậc cho đơn thức không.
Dự đoán. Khi nhân hai thừa số cùng chứa x, ta cộng số mũ. Khi nâng cả một lũy thừa của x lên lũy thừa nữa, ta nhân số mũ. Hai thao tác ấy khác nhau vì chúng mô tả hai cách ghép các thừa số khác nhau.
2. Cộng hay nhân số mũ đều phải có lí do
Với các số nguyên dương m,n,k, đếm số thừa số cho
x^m x^n=x^{m+n},\qquad(x^m)^k=x^{mk}.
Đẳng thức thứ nhất ghép một nhóm có m thừa số với một nhóm có n thừa số. Đẳng thức thứ hai ghép k nhóm, mỗi nhóm có m thừa số. Các đẳng thức này đúng với mọi số thực x vì các số mũ đang xét dương.
Lũy thừa của một tích phân phối lên từng thừa số:
(a x^m y^n)^k=a^k x^{mk}y^{nk}.
Nhưng lũy thừa của một tổng không được phân phối như vậy. Ví dụ (1+2)^2=9, trong khi 1^2+2^2=5. Có những tích chéo bị bỏ sót nếu tách sai.
Khi nhân các đơn thức, tính hệ số riêng, số mũ của x riêng, số mũ của y riêng. Không cộng số mũ của hai biến khác nhau để tạo một biến mới. Bậc là tổng số mũ sau thu gọn; nó mô tả độ lớn của số mũ, không thay thế toàn bộ phần biến.
Vì sao bậc của tích hai đơn thức khác không bằng tổng hai bậc?
Nếu hai phần biến là x^m y^n và x^p y^q, tích có phần biến x^{m+p}y^{n+q}. Tổng số mũ của tích là (m+p)+(n+q)=(m+n)+(p+q). Hệ số tích khác không vì hai hệ số ban đầu khác không. Lập luận này nói về phép nhân; phép cộng có thể triệt tiêu hoàn toàn, như x^4-x^4=0.
3. Một tích nhiều tầng được tổ chức bằng ba dòng thông tin
Xét ví dụ chọn lọc:
P=\left(-\frac32x^3y^2\right)\left(-\frac43x^2y\right)^2\left(\frac12x^3y\right)^3.
Nếu hệ số đầu được viết dưới dạng hỗn số âm -1\frac12, trước hết đổi thành -3/2. Sau đó tính từng lũy thừa:
\left(-\frac43x^2y\right)^2=\frac{16}{9}x^4y^2,\qquad\left(\frac12x^3y\right)^3=\frac18x^9y^3.
Bây giờ ba dòng cần ghép là
\text{hệ số}:\quad-\frac32\cdot\frac{16}{9}\cdot\frac18=-\frac13,\text{số mũ của }x:\quad3+4+9=16,\qquad\text{số mũ của }y:\quad2+2+3=7.\boxed{P=-\frac13x^{16}y^7}.
Hệ số là -1/3, phần biến là x^{16}y^7, bậc là 16+7=23. Không có phép chia cho biến nào, nên mọi x,y thực đều được phép, kể cả giá trị bằng không.
Mỗi màu ứng với một thừa số sau khi đã tính lũy thừa. Chỉ cộng số mũ trong cùng một hàng biến; độ rộng mỗi khối dùng cùng một tỉ lệ.
Hệ số âm không có nghĩa giá trị luôn âm. Tại x=1,y=1, giá trị bằng -1/3; tại x=1,y=-1, giá trị bằng 1/3. Số mũ lẻ của y làm dấu thay đổi, còn số mũ chẵn của x không làm đổi dấu khi x đổi dấu.
Kiểm tra ngược có thể làm mà không nhân lại mọi thứ
Ba đóng góp vào số mũ x phải là 3,2\cdot2,3\cdot3; ba đóng góp vào số mũ y phải là 2,1\cdot2,1\cdot3. Kiểm tra dấu hệ số: âm nhân dương nhân dương là âm. Sau đó thử (1,-1) vào cả tích ban đầu và dạng thu gọn: hai vế đều bằng 1/3. Phép thử này bổ sung việc kiểm tra, còn tính đúng với mọi giá trị được bảo đảm bởi các quy tắc đã chứng minh.
4. Phép chia là phép nhân ngược, nhưng mẫu phải khác không
Với x\ne0 và các số nguyên dương m\ge n, khử n thừa số x cho
\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}.
Nếu m=n, kết quả là 1. Điều kiện x\ne0 vẫn cần vì phân thức ban đầu có mẫu bằng không tại x=0.
Với hai đơn thức khác không, muốn thương là một đơn thức có số mũ nguyên không âm, số mũ của mỗi biến ở tử phải không nhỏ hơn số mũ của biến ấy ở mẫu. Chẳng hạn
\frac{6x^2y^2z^2}{3xy}=2xyz^2,\qquad x\ne0,\ y\ne0.
Biến z chỉ ở tử, nên có thể bằng không. Không được máy móc yêu cầu mọi biến của cả biểu thức đều khác không.
Ngược lại,
\frac{6x^2y}{3xy^2}=\frac{2x}{y},\qquad x\ne0,\ y\ne0.
Tử chỉ có một thừa số y trong khi mẫu có hai, nên vẫn còn y ở mẫu. Kết quả là một phân thức, không phải đơn thức có số mũ nguyên không âm của x,y.
Dạng 2x/y tự nó nhận được x=0,y=1, nhưng phân thức ban đầu 6x^2y/(3xy^2) không nhận bộ số ấy. Hai biểu thức bằng nhau trên miền ban đầu; rút gọn không khôi phục những giá trị vốn bị loại.
5. Phân phối nói rõ phải chia hoặc nhân những hạng tử nào
Tính phân phối cho D(U+V)=DU+DV. Nếu D\ne0, áp dụng tính phân phối với hệ số 1/D cho:
\frac{U+V}{D}=\frac UD+\frac VD.
Mẫu chung tác động đến toàn bộ tổng. Chỉ được khử một nhân tử khi nó là nhân tử của cả tử và mẫu; không khử tùy tiện một hạng tử trong tổng.
Ví dụ (x+2)/x=1+2/x khi x\ne0, không phải 1+2. Tại x=2, thương đúng bằng 2, còn cách khử sai cho 3.
Xét ứng dụng chọn lọc:
Q=\frac{3x^4y^3-9x^2y^2+25xy^2}{xy^2},\qquad x\ne0,y\ne0.
Chia từng hạng tử cho cùng một mẫu:
Q=3x^{4-1}y^{3-2}-9x^{2-1}y^{2-2}+25x^{1-1}y^{2-2}\boxed{Q=3x^3y-9x+25}.
Các lũy thừa có số mũ không trong dòng giữa đều có cơ số khác không trên miền đang xét, nên bằng 1. Dòng cuối đã bỏ các thừa số ấy.
Nhân ngược để kiểm tra:
xy^2(3x^3y-9x+25)=3x^4y^3-9x^2y^2+25xy^2.
Tại x=1,y=2, tử bằng 24-36+100=88, mẫu bằng 4, nên thương bằng 22; dạng thu gọn cũng cho 6-9+25=22.
Khi nào một hạng tử còn cản việc chia hết?
Với (x^2+1)/x, hạng tử x^2 chia được cho x, nhưng hằng số 1 không có nhân tử x. Vì thế thương là x+1/x, với x\ne0, không phải một đa thức. Phải kiểm tra từng hạng tử của tử, không chỉ hạng tử có bậc cao nhất.
6. Tích chéo giải thích những gì xảy ra với lũy thừa của tổng
Phân phối hai lần cho
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.
Khi a,b>0, hình vuông cạnh a+b có thể chia thành bốn hình chữ nhật, với diện tích a^2,ab,ab,b^2. Hai phần hình chữ nhật ở giữa giải thích số hạng 2ab.
Các miền 1, 2, 3, 4 có diện tích lần lượt là a^2,ab,ab,b^2. Hình minh họa dùng tỉ lệ a:b=2:1, với cả hai độ dài dương.
Hình diện tích trực tiếp dùng độ dài dương. Còn phép khai triển đại số ở trên đúng với mọi a,b thực, kể cả âm hoặc bằng không. Không nên dùng một độ dài âm để giải thích hình, dù đẳng thức đại số vẫn đúng.
Cũng từ tính phân phối, một tích khác tạo sự triệt tiêu:
(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=\boxed{a^3+b^3}.
Hai cặp tích chéo đối nhau bị triệt tiêu. Đây là lí do tổng hai lập phương phân tích được như vậy; nó không nói rằng (a+b)^3=a^3+b^3. Chỉ cần a=b=1 đã thấy khẳng định sau sai: 8\ne2.
Trong ví dụ chọn lọc (2x+y)(4x^2-2xy+y^2), lấy a=2x,b=y, ta được 8x^3+y^3. Không có mẫu hay phép chia cho biến, nên đẳng thức đúng với mọi x,y thực.
7. Từ một hằng đẳng thức đến một kết luận mới
Xét câu hỏi độc lập: tìm các số thực x thỏa x^3+8=0. Viết 8=2^3 và dùng hằng đẳng thức vừa chứng minh:
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4).
Nhân tử thứ hai không thể bằng không, vì
x^2-2x+4=(x-1)^2+3>0\quad\text{với mọi }x\in\mathbb{R}.
Vì một tích bằng không khi ít nhất một thừa số bằng không, phương trình tương đương x+2=0. Nghiệm thực duy nhất là x=-2; thay lại cho (-2)^3+8=0.
Các phép toán trong bài gắn với một cấu trúc chung. Tích ghép thừa số; lũy thừa lặp lại một tích; phép chia khử thừa số trên miền mẫu khác không; tính phân phối đưa tổng và tích về cùng một biểu thức. Đọc đúng cấu trúc giúp chọn đúng quy tắc và giữ đúng điều kiện.
Khi tự kiểm tra, hãy nói được mình đang nhân, nâng lũy thừa hay chia; phần nào của biểu thức nằm trong ngoặc; biến nào thật sự ở mẫu; và phép biến đổi cuối còn đúng trên miền nào. Những câu trả lời ấy có ích hơn việc nhớ một danh sách kết quả.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu