Đa thức: nhìn hệ số để hiểu phép biến đổi
Một bài học về hạng tử đồng dạng, triệt tiêu và phép toán ngược; từ vài ví dụ có liên hệ đến cách chứng minh một đẳng thức đa thức.
TOÁN 8 · CẤU TRÚC CỦA ĐA THỨC
Đa thức: nhìn hệ số để hiểu phép biến đổi
Một bài học về hạng tử đồng dạng, triệt tiêu và phép toán ngược; từ vài ví dụ có liên hệ đến cách chứng minh một đẳng thức đa thức.
1. Một đa thức lưu những thông tin gì?
Nhìn vào 3x^2y+2xy^2 và 3x^2y+2yx^2, em có dự đoán hai biểu thức này thu gọn giống nhau không? Cả hai đều chứa những chữ giống nhau, nhưng số mũ gắn với từng chữ mới quyết định loại hạng tử.
Một đơn thức là một hệ số nhân với một tích các biến có số mũ nguyên không âm. Khi viết đơn thức, ta bỏ các thừa số có số mũ không; chẳng hạn phần biến của 3x^2y không chứa z. Cách viết này không yêu cầu tính 0^0 khi thay số. Đa thức là tổng hữu hạn các đơn thức. Trong bài này, các hệ số và giá trị của biến là số thực.
Sau khi sắp các biến theo cùng thứ tự, hai đơn thức khác không được gọi là đồng dạng khi có cùng phần biến. Vì phép nhân giao hoán, yx^2=x^2y, còn xy^2 và x^2y khác loại. Có thể xem mỗi phần biến là một nhãn, còn hệ số là con số ghi ở nhãn ấy.
Tính phân phối giải thích toàn bộ quy tắc thu gọn: với một phần biến U, ta có aU+bU=(a+b)U. Ta cộng hệ số và giữ nguyên nhãn U.
Vì thế 3x^2y+2yx^2=5x^2y. Nhưng nếu gộp biểu thức thứ nhất thành 5x^2y, thử x=1,y=2 sẽ được vế trái bằng 14, vế phải bằng 10. Đây là một phản ví dụ thật, không chỉ là lời nhắc “khác loại thì không gộp”.
Gợi ý để tự phân loại trước khi tính
Với x^2yz, số mũ của x,y,z lần lượt là 2,1,1. Với xy^2z, chúng là 1,2,1. Hai tổng số mũ đều bằng 4, nhưng các nhãn khác nhau. Cùng bậc chưa đủ để đồng dạng.
2. Thu gọn làm lộ ra hệ số thật
Khi biểu thức còn lặp lại một nhãn nhiều lần, ta chưa nhìn thấy hệ số cuối cùng của nhãn đó. Xét một ví dụ có cả triệt tiêu và hệ số phân số:
P=\frac13x^2y+2xy^2-xy+\frac14xy^2-5xy-\frac13x^2y.
Phân loại theo ba nhãn x^2y,xy^2,xy, rồi áp dụng tính phân phối:
P=\left(\frac13-\frac13\right)x^2y+\left(2+\frac14\right)xy^2+(-1-5)xy.\boxed{P=\frac94xy^2-6xy}.
Hệ số của x^2y trở thành 0, nên hạng tử ấy biến mất. Số mũ của xy^2 không đổi khi ta cộng 2+\frac14. Đây là điểm khác giữa cộng hai hạng tử đồng dạng và nhân hai đơn thức: phép nhân ghép các thừa số, còn phép cộng gom hệ số của cùng một nhãn.
Thu gọn không làm đổi giá trị của biểu thức. Mỗi bước trên là một đẳng thức nhờ tính giao hoán, kết hợp và phân phối, nên đúng với mọi x,y. Không có phép chia cho biến nào, vì thế không phải loại các giá trị bằng không.
Dự đoán. Nếu thay -\frac13x^2y bằng +\frac13x^2y, có nhãn mới xuất hiện không? Không: nhãn x^2y vốn đã có, chỉ hệ số cuối cùng đổi từ 0 thành \frac23.
3. Cộng và trừ: cùng nhãn, hai cách xử lí hệ số
Ta theo dõi xuyên suốt một cặp đa thức:
M=2x^2-2xy-y^2,\qquad N=x^2+2xy+y^2-1.
Khi cộng, xét lần lượt hệ số của x^2,xy,y^2 và hằng số:
M+N=(2+1)x^2+(-2+2)xy+(-1+1)y^2+(0-1)=3x^2-1.
Hai nhãn biến mất vì hệ số của chúng đối nhau. Khi trừ, trước hết hiểu số đối của một đa thức:
-N=(-1)N=-x^2-2xy-y^2+1.
Tính phân phối buộc dấu của mọi hạng tử đổi, kể cả hằng số cuối cùng. Vì M-N=M+(-N):
M-N=(2-1)x^2+(-2-2)xy+(-1-1)y^2+(0-(-1))\boxed{M-N=x^2-4xy-2y^2+1}.
Thanh có một đầu tại hệ số không; đầu còn lại chỉ hệ số của mỗi đa thức. Cộng hai hệ số đối nhau làm hạng tử biến mất. Khi trừ, hệ số của xy là -2-2=-4.
Muốn kiểm tra phép trừ bằng lập luận đại số, cộng lại đa thức đã trừ:
(x^2-4xy-2y^2+1)+(x^2+2xy+y^2-1)=2x^2-2xy-y^2=M.
Đây là kiểm tra cho mọi giá trị của biến. Ngược lại, nếu chỉ thay một cặp số và thấy đúng, ta mới có một bằng chứng số tại cặp đó.
Vì sao đổi thứ tự phép trừ làm đổi kết quả?
Ta có N-M=-(M-N), nên
N-M=-x^2+4xy+2y^2-1.
Chẳng hạn tại (x,y)=(1,-2), hiệu M-N bằng 1+8-8+1=2; hiệu N-M bằng -2. Phép cộng giao hoán, còn phép trừ nói chung không giao hoán.
4. Thay số là quan sát một giá trị, phân tích là thấy cả một họ giá trị
Xét
R=3x^2y-4xy-2x^2y+2xy+1.
Thu gọn theo nhãn cho R=x^2y-2xy+1. Vì thế, tại x=2,y=-\frac12:
R=4\cdot\left(-\frac12\right)-2\cdot2\cdot\left(-\frac12\right)+1=1.
Nhưng viết R=xy(x-2)+1 cho biết nhiều hơn: với x=2, giá trị luôn là 1, dù y thay đổi. Một nhân tử bằng không đã giải thích sự ổn định ấy.
Chuyển giao: tìm toàn bộ các cặp làm R bằng một
Không cần đoán lần lượt từng bộ số:
R=1\Longleftrightarrow xy(x-2)=0\Longleftrightarrow x=0\ \text{hoặc}\ y=0\ \text{hoặc}\ x=2.
Mỗi điều kiện đều đủ, và một tích các số thực bằng không thì ít nhất một thừa số bằng không. Nếu chia ngay cho xy, ta sẽ mất hai nhóm nghiệm x=0 hoặc y=0. Phép chia cần điều kiện; phép nhóm nhân tử ở đây không cần loại giá trị nào.
Sự khác nhau này cũng giải thích vì sao rút gọn một phân thức phải giữ miền xác định: x^2/x=x khi x\ne0, còn phân thức bên trái không có giá trị tại x=0. Một đa thức rút gọn có thể nhận thêm giá trị mà biểu thức ban đầu không nhận.
5. Tìm đa thức chưa biết bằng phép toán ngược
Với chính hai đa thức M,N ở phần 3, xét câu hỏi mới: tìm đa thức T sao cho N=-M+T. Cộng M vào hai vế được
T=M+N=3x^2-1.
Thế ngược:
-M+T=-(2x^2-2xy-y^2)+(3x^2-1)=x^2+2xy+y^2-1=N.
Vì vậy T tồn tại. Nó cũng duy nhất: nếu T_1,T_2 cùng thỏa mãn thì -M+T_1=-M+T_2; cộng M vào hai vế cho T_1=T_2. Ta không cần chia cho một đơn thức chứa biến, nên kết luận đúng cho mọi giá trị thực của x,y.
Nhìn thấy dấu trừ trong phương trình không có nghĩa là lấy hiệu hai đa thức đã biết. Nếu đoán T=M-N, thế vào sẽ được -M+T=-N, không phải N như một đồng nhất thức. Phép kiểm tra ngược chỉ rõ sai ở đâu.
Chuyển giao độc lập: biết tổng và hiệu, tìm lại hai đa thức
Giả sử U+V=6x^2-2, U-V=4xy+8. Cộng hai đẳng thức làm V triệt tiêu; lấy đẳng thức thứ nhất trừ đẳng thức thứ hai làm U triệt tiêu:
2U=6x^2+4xy+6,\qquad 2V=6x^2-4xy-10.U=3x^2+2xy+3,\qquad V=3x^2-2xy-5.
Thế lại cả tổng lẫn hiệu xác nhận đủ hai điều kiện. Chia cho số 2\ne0 hợp lệ với mọi giá trị của biến. Hai công thức này cũng cho thấy nghiệm duy nhất.
6. Bậc chỉ có ý nghĩa sau khi hết triệt tiêu
Bậc của một đơn thức khác không là tổng số mũ của phần biến. Bậc của đa thức khác không là bậc lớn nhất của các hạng tử còn lại sau thu gọn. Hằng số khác không có bậc 0. Trong bài học này, không gán bậc cho đa thức không.
Chẳng hạn x^2y có bậc 3, còn xy có bậc 2. Đa thức P=\frac94xy^2-6xy ở phần 2 có bậc 3, vì vẫn còn hạng tử xy^2. Muốn bậc giảm, phải triệt tiêu tất cả các hạng tử ở bậc cao nhất.
Với hai đa thức khác không, nếu tổng hoặc hiệu khác không, bậc của kết quả không vượt quá bậc lớn nhất của hai đa thức ban đầu: phép cộng, trừ chỉ thay đổi hệ số, không tạo nhãn mới. Nếu một đa thức bằng không, kết quả khác không có bậc bằng bậc của đa thức còn lại. Nếu kết quả là đa thức không, không gán bậc theo quy ước đã nêu.
Dự đoán rồi chứng minh: khi nào bậc giảm?
Xét ví dụ độc lập P_t=(t-2)x^2y+3xy-1, với tham số thực t. Khi t\ne2, hệ số của x^2y khác không, nên bậc là 3. Khi t=2, chỉ còn 3xy-1, nên bậc là 2. Không có giá trị t nào làm đa thức trở thành hằng số, vì hệ số 3 của xy không phụ thuộc t.
Mở rộng thêm: Q_t=(t-2)x^2y+(t+1)xy không thể là đa thức không. Muốn vậy phải đồng thời có t=2 và t=-1, điều không thể xảy ra. Kiểm soát từng nhãn giúp tránh kết luận chỉ từ một hệ số.
7. Một phép kiểm tra mạnh đến đâu?
Một đẳng thức đa thức là khẳng định đúng với mọi giá trị của biến. Muốn chứng minh, có thể biến đổi một vế thành vế kia bằng các quy tắc đúng, hoặc thu gọn hiệu hai vế thành đa thức không. Muốn bác bỏ, chỉ cần một bộ giá trị cho kết quả khác nhau.
Phép thử số có giới hạn: x^2y và xy^2 cùng bằng 1 tại (1,1), nhưng bằng 2 và 4 tại (1,2). Thậm chí 0 và x(x-1)(x-2) trùng giá trị tại ba điểm x=0,1,2, nhưng tại x=3 chúng bằng 0 và 6. Số lần thử hữu hạn như vậy chưa thay thế được lập luận đại số.
Khi kiểm tra một kết quả, có thể làm ngược phép toán rồi thu gọn: với một hiệu, cộng lại đa thức đã trừ; với một đa thức chưa biết, thế lại phương trình; với một khẳng định về bậc, kiểm tra tất cả hệ số ở bậc cao nhất. Thử số sau đó giúp phát hiện lỗi tính hoặc lỗi chép, trong phạm vi những giá trị hợp lệ.
Điều cần giữ lại là một cách nhìn thống nhất: phần biến xác định nhãn, hệ số quyết định số lượng ở mỗi nhãn, còn tính phân phối bảo đảm các phép gom và tách đều đúng. Từ đó, cộng, trừ, tính giá trị và tìm đa thức chưa biết trở thành những cách dùng cùng một cấu trúc.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu