Hằng đẳng thức: đọc cấu trúc và kiểm tra điều kiện
Suy ra các công thức từ tính phân phối, nhận dạng bằng tích chéo, chọn chiều biến đổi và dùng bình phương để xét cận cùng điều kiện đạt dấu bằng.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Hằng đẳng thức: đọc cấu trúc và kiểm tra điều kiện
Suy ra các công thức từ tính phân phối, nhận dạng bằng tích chéo, chọn chiều biến đổi và dùng bình phương để xét cận cùng điều kiện đạt dấu bằng.
1. Hằng đẳng thức là một cấu trúc đúng với mọi giá trị
Một hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị được phép của các biến. Chẳng hạn (x+1)^2=x^2+2x+1 đúng với mọi x thực. Ngược lại, (x+1)^2=x^2+1 chỉ đúng khi x=0; đó không phải hằng đẳng thức.
Điểm khác biệt quan trọng nằm ở chữ “mọi”. Thử vài giá trị có thể phát hiện một khẳng định sai, nhưng không chứng minh được nó đúng với mọi giá trị. Muốn chứng minh một hằng đẳng thức đa thức, ta dùng tính phân phối, thu gọn và các phép biến đổi đúng cho mọi số thực.
Nhận dạng không phải nhìn thấy ba hạng tử rồi đoán “bình phương”, hay thấy bốn hạng tử rồi đoán “lập phương”. Điều cần kiểm tra là mối quan hệ giữa các hạng tử: những biểu thức nào đóng vai A,B, và các tích chéo có đúng hệ số, số mũ, dấu hay không?
Bài học xét các biến thực. Một biểu thức như A=x^2 có thể đóng vai một “khối” duy nhất, dù bên trong khối ấy vẫn có biến. Khi nhận dạng đúng khối, hằng đẳng thức quen thuộc áp dụng được cả cho biểu thức bậc cao.
2. Hai tích chéo tạo nên bình phương của một tổng
Từ định nghĩa bình phương và tính phân phối:
(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2=A^2+2AB+B^2.
Thay B bằng -B, ta được
(A-B)^2=A^2-2AB+B^2.
Hệ số 2 không xuất hiện do quy ước ghi nhớ: có hai tích chéo bằng nhau. Dấu trước B^2 luôn là dấu cộng, bởi (-B)^2=B^2. Cả hai đẳng thức đúng khi A hoặc B âm, bằng không hay dương.
Với A,B>0, các miền I, II, III, IV có diện tích lần lượt A^2,AB,AB,B^2. Hình dùng A:B=3:2; hai miền màu vàng bằng diện tích. Mô hình diện tích dùng độ dài dương, còn chứng minh phân phối ở trên đúng với mọi A,B thực.
Ba câu hỏi khi đọc ngược
Với một đa thức ba hạng, hãy tìm hai bình phương A^2,B^2, tính thật sự 2AB, rồi đối chiếu hạng còn lại. Nếu hạng còn lại là +2AB, nhận tổng; nếu là -2AB, nhận hiệu. Có thể đổi thứ tự hạng tử vì phép cộng có tính giao hoán.
Chẳng hạn 4x^4-4x^2+1 có A=2x^2, B=1. Hạng giữa đúng bằng -2(2x^2)(1), nên
4x^4-4x^2+1=(2x^2-1)^2.
Không được chọn A=2x, vì (2x)^2=4x^2, khác 4x^4. Cũng không được kết luận 4x^4-3x^2+1=(2x^2-1)^2: hạng giữa thiếu -x^2. Thay x=1 cho hai vế của khẳng định sai lần lượt là 2 và 1, đủ để bác bỏ nó.
3. Khi nào một tam thức thật sự là bình phương?
Ta có thể biến việc “nhìn mẫu” thành một tiêu chuẩn có chứng minh. Xét ax^2+bx+c, với a>0. Hoàn thành bình phương:
ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}.
Để kiểm tra, khai triển bình phương: phần bên phải cho ax^2+bx+b^2/(4a), rồi số hạng cuối trừ đúng b^2/(4a) và thêm c.
Tam thức là bình phương của một biểu thức bậc nhất hệ số thực, tức (ux+v)^2, khi và chỉ khi
\boxed{b^2=4ac}\qquad(a>0).
Chiều cần. Nếu ax^2+bx+c=(ux+v)^2 với mọi x, so sánh hệ số cho a=u^2, b=2uv, c=v^2, do đó b^2=4u^2v^2=4ac.
Chiều đủ. Nếu b^2=4ac, số hạng dư bằng không. Khi đó
ax^2+bx+c=\left(\sqrt a\,x+\frac{b}{2\sqrt a}\right)^2.
Căn \sqrt a và hai phép chia đều hợp lệ vì a>0. Tiêu chuẩn đang cho phép hệ số thực trong biểu thức bậc nhất; nếu yêu cầu hệ số nguyên hoặc hữu tỉ, còn phải kiểm tra loại hệ số ấy.
Nếu hệ số bậc hai bằng không hoặc âm thì sao?
Nếu a<0, không thể là (ux+v)^2, vì hệ số bậc hai của bình phương là u^2\ge0. Nếu a=0, so sánh hệ số buộc u=0, rồi b=0; biểu thức còn hằng số c, là một bình phương thực khi và chỉ khi c\ge0. Vì vậy không dùng tiêu chuẩn b^2=4ac một mình rồi bỏ qua dấu và trường hợp suy biến.
Ví dụ 4x^2-12x+9 có b^2=144=4ac, nên là (2x-3)^2. Còn 4x^2-12x+10 có dạng (2x-3)^2+1. Nó luôn dương nhưng không phải bình phương của một biểu thức bậc nhất hệ số thực. “Luôn không âm” và “là bình phương của một biểu thức bậc nhất” là hai nhận định khác nhau.
4. Bình phương giúp tìm cận, nhưng phải kiểm tra dấu bằng
Với mọi số thực T, ta có T^2\ge0, dấu bằng khi và chỉ khi T=0. Vì vậy, nhận dạng bình phương thường giúp chứng minh một cận dưới. Tuy nhiên, muốn gọi cận đó là giá trị nhỏ nhất, phải chỉ ra một giá trị biến trong miền đã cho làm dấu bằng xảy ra.
Xét biểu thức chọn lọc F=x^4+18x^2+81. Hai đầu là (x^2)^2 và 9^2; hạng giữa là 2\cdot x^2\cdot9, nên
F=(x^2+9)^2.
Chỉ nói F\ge0 là đúng nhưng quá yếu. Do x^2\ge0, ta có x^2+9\ge9>0. Bình phương hai vế không âm cho F\ge81. Cũng có thể thấy trực tiếp
F-81=x^2(x^2+18)\ge0.
Vì x^2+18>0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0. Do đó 81 là giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ số thực, đạt tại 0. Cận 0 không đạt, bởi x^2+9=0 không có nghiệm thực.
Miền thay đổi thì việc đạt cận cũng thay đổi
Giữ nguyên F nhưng chỉ xét x>0. Khi ấy F>81, nên 81 không phải giá trị nhỏ nhất trên miền này. Thật ra không có giá trị nhỏ nhất: với bất kì x>0, chọn x/2>0; khi đó
F(x)-F(x/2)=\frac{15}{16}x^4+\frac{27}{2}x^2>0.
Một giá trị nhỏ hơn luôn còn tồn tại. Đây là lí do không thể kết thúc bài cực trị bằng một bất đẳng thức mà chưa xét khả năng đạt dấu bằng.
Với (2x^2-1)^2, cận 0 lại đạt trên số thực, tại x=\pm\sqrt2/2. Nếu chỉ xét x nguyên, 2x^2-1 là một số nguyên lẻ, khác không; bình phương của nó ít nhất bằng 1. Giá trị 1 đạt tại x=0,1,-1. Một dạng đại số, hai miền, hai kết luận cực trị khác nhau.
5. Lập phương: bốn nhóm tích, hai quy luật dấu
Nhân công thức bình phương với A+B:
(A+B)^3=(A^2+2AB+B^2)(A+B)=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3.
Hạng A^2B xuất hiện từ A^2\cdot B và 2AB\cdot A, tổng hệ số là 1+2=3. Tương tự, hệ số của AB^2 là 2+1=3. Thay B bằng -B cho
(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3.
Hạng chứa B^2 có dấu cộng; hai hạng chứa lũy thừa lẻ của -B có dấu trừ. Không chỉ nhớ dãy số 1,3,3,1: các số mũ phải chuyển lần lượt từ A^3 sang B^3, còn tổng số mũ trong mỗi hạng bằng 3.
Ví dụ chọn lọc
-x^3+9x^2-27x+27=27-27x+9x^2-x^3.
Đọc theo A=3, B=x: A^3=27, -3A^2B=-27x, 3AB^2=9x^2, -B^3=-x^3. Vì vậy biểu thức bằng (3-x)^3.
Với số mũ lẻ, (3-x)^3=-(x-3)^3; với số mũ chẵn, (3-x)^2=(x-3)^2. Đổi thứ tự một hiệu không thể luôn được làm mà không đổi dấu. Tại x=4, hai lập phương (3-x)^3 và (x-3)^3 là -1 và 1, cho một phép kiểm tra nhanh.
Khẳng định (A+B)^3=A^3+B^3 bỏ mất 3AB(A+B). Với A=B=1, hai vế bằng 8 và 2. Chúng có thể bằng nhau ở vài giá trị đặc biệt, chẳng hạn A=0, nhưng không phải hằng đẳng thức.
6. Tổng lập phương khác lập phương của tổng
Có một phép nhân được thiết kế để các tích chéo triệt tiêu:
(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3-A^2B+AB^2+A^2B-AB^2+B^3=A^3+B^3.
Tương tự, thay B bằng -B được
(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3.
Ở hai công thức này, ngoặc bậc hai được chọn để khử tích chéo, còn trong lập phương của tổng, tích chéo được cộng lại. Vì vậy hãy đọc toàn bộ hai ngoặc trước khi áp dụng.
Với ví dụ chọn lọc
(x^2+3)(x^4-3x^2+9),
đặt A=x^2, B=3. Ngoặc thứ hai đúng bằng A^2-AB+B^2, nên tích bằng
(x^2)^3+3^3=x^6+27.
Không phải x^5+27: nâng lũy thừa lên lũy thừa thì nhân số mũ. Không phải (x^2+3)^3: muốn có lập phương đó, ngoặc thứ hai phải là x^4+6x^2+9.
Một nhân tử bậc hai có thể cho nghiệm thực mới không?
Với hằng số b\ne0, ta có x^2-bx+b^2=(x-b/2)^2+3b^2/4>0. Do đó phương trình x^3+b^3=0, sau phân tích thành (x+b)(x^2-bx+b^2)=0, chỉ có nghiệm thực x=-b. Nếu b=0, phương trình là x^3=0, vẫn chỉ có nghiệm 0, nhưng không được dùng câu “nhân tử bậc hai luôn dương” ở trường hợp này.
7. Chọn chiều biến đổi theo mục đích
Muốn chứng minh không âm, dạng bình phương thường hữu ích. Muốn giải phương trình tích, dạng nhân tử thường hữu ích. Muốn tính giá trị, có khi khai triển để triệt tiêu hạng bậc cao lại ngắn hơn nhận dạng một công thức lớn. Một phương pháp tốt phải phục vụ câu hỏi đang xét.
Xét ví dụ chọn lọc
P=(x+1)(x^2+2x+4)-x^2(x+3),\qquad x=-\frac{10}{3}.
Không ép tích đầu vào tổng lập phương: với A=x,B=1, ngoặc cần có là x^2-x+1, không phải x^2+2x+4. Dùng phân phối đúng sẽ cho
(x+1)(x^2+2x+4)=x^3+3x^2+6x+4,x^2(x+3)=x^3+3x^2,\qquad P=6x+4.
Hai hạng bậc cao triệt tiêu trước khi thay phân số. Vì thế P=6(-10/3)+4=-16. Không có mẫu chứa biến, nên phép rút gọn đúng với mọi x thực.
Rút gọn phân thức không mở rộng miền ban đầu
Xét thêm tình huống chọn lọc
Q=4\left(\frac{3x}{4}-1\right)+\frac{12x^2-3x}{-3x}-(2x-1).
Mẫu -3x yêu cầu x\ne0. Trên miền ấy, chia từng hạng ở tử cho cùng mẫu:
\frac{12x^2-3x}{-3x}=-4x+1,Q=3x-4-4x+1-2x+1=-3x-2\qquad(x\ne0).
Tại x=3, điều kiện thỏa và Q=-11. Tại x=0, biểu thức -3x-2 có giá trị -2, nhưng Q ban đầu không xác định. Viết lại ngắn hơn không làm phép chia cho không trở nên hợp lệ.
8. Tự kiểm tra: sửa cấu trúc rồi mới tính
Tìm k để 9x vuông cộng kx cộng 4 là bình phương của một biểu thức bậc nhất
Biểu thức được hỏi là 9x^2+kx+4. Hai đầu là (3x)^2 và 2^2, nên hạng giữa phải là \pm12x. Do đó k=12 hoặc k=-12, tương ứng (3x+2)^2 và (3x-2)^2. Tiêu chuẩn cũng cho k^2=4\cdot9\cdot4=144, nên không bỏ sót khả năng nào.
Tại sao x vuông cộng 6x cộng 10 có giá trị nhỏ nhất 1, còn x mũ bốn cộng 6x vuông cộng 10 có giá trị nhỏ nhất 10?
Với mọi x thực, biểu thức đầu là (x+3)^2+1, đạt 1 khi x=-3. Biểu thức sau là (x^2+3)^2+1. Do x^2+3\ge3, nó ít nhất bằng 10, đạt khi x=0. Không thể gán x^2=-3 để làm bình phương bằng không.
Có thể kiểm tra hằng đẳng thức chỉ bằng một bộ giá trị không?
Không. Hai biểu thức x^2 và x trùng nhau tại x=0,1, nhưng khác nhau tại x=2. Một phản ví dụ đủ bác bỏ; một số hữu hạn ví dụ trùng nhau tự nó chưa là chứng minh cho mọi số thực. Với những công thức của bài, chứng minh nằm ở khai triển phân phối hoặc so sánh hệ số đã nêu.
Nhận dạng đáng tin cậy gồm bốn việc: chọn rõ các khối A,B; kiểm tra mọi tích chéo; chọn chiều biến đổi phù hợp mục đích; giữ miền và điều kiện đạt dấu bằng. Công thức giúp nhìn cấu trúc, còn các bước kiểm tra giúp bảo đảm kết luận.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện