Nhìn cấu trúc trước khi tính: tổng và tích, bình phương, căn và số chính phương
Năm dấu hiệu của bài đại số khó: tổng và tích, tổng bình phương bằng không, đặt căn làm ẩn, chặn hai vế và nghiệm nguyên. Có 31 bài luyện LUKATO chấm điểm.
Toán 9 · Đại số: bồi dưỡng
Nhìn cấu trúc trước khi tính: tổng và tích, bình phương, căn và số chính phương
Nhiều bài đại số khó không cần biến đổi dài, chỉ cần nhận ra một cấu trúc quen thuộc ngay ở dòng đầu của đề. Bài này dạy năm dấu hiệu như vậy, kèm cách kiểm tra kết quả thật chặt.
110 phút Mức: khá – giỏi Có bài tập chấm điểm
Em sẽ học: tổng và tích của hai số · tổng bình phương bằng không · đặt căn làm ẩn và giữ điều kiện · chặn hai vế của phương trình · phân tích thành tích để tìm nghiệm nguyên
1 Trước khi tính: đọc cấu trúc của đề
Chưa cần giải bài nào dài. Trước hết ta gom năm dấu hiệu, ba thói quen và một bẫy phổ biến nhất.
Một bài đại số khó thường giống một ổ khóa. Nếu thử từng chìa thì rất mất thời gian, nhưng nếu nhìn kĩ hình dạng của ổ khóa thì ta biết ngay nên loại chìa nào. “Hình dạng” ở đây là cấu trúc của đề : những biểu thức lặp lại, những số hạng ghép được thành bình phương, những căn thức xuất hiện cùng nhau, hay hai vế của một phương trình dường như “kéo ngược chiều”.
Bài này luyện năm cấu trúc như vậy. Với mỗi cấu trúc, em sẽ thấy ba việc: nhận ra dấu hiệu, chọn hướng đi, rồi kiểm tra lại kết quả vào đề bài. Mọi đáp số trong bài đều được kiểm tra bằng máy tính, và mọi hình vẽ đều được vẽ từ số liệu tính chính xác. Các bài trong phần này là bài luyện do LUKATO soạn theo dạng thường gặp.
Năm dấu hiệu và năm hướng đi
Dấu hiệu trong đề · Hướng đi
Cho tổng và tổng bình phương (hoặc lập phương) của hai số · Đặt tổng S=x+y, tích P=xy. Hai số là nghiệm của t^{2}-St+P=0.
Nhiều hạng tử bình phương và hạng tử chéo, vế phải bằng 0 · Gom thành tổng các bình phương; mỗi bình phương bằng 0.
Cùng một căn \sqrt{x} lặp lại nhiều lần · Đặt t=\sqrt{x}. Ghi t\ge 0 và các giá trị t bị loại.
Phương trình có căn; một vế bị chặn trên, vế kia bị chặn dưới · Không bình phương. Chứng minh dấu bằng xảy ra ở cả hai vế cùng lúc.
Tìm nghiệm nguyên; có hiệu hai bình phương · Nhân cho 4, viết thành tích hai thừa số bằng một số nguyên, rồi xét ước.
Đừng học thuộc bảng này ngay. Sau mỗi phần của bài, em sẽ quay lại dòng tương ứng và thấy nó xuất phát từ đâu. Điều cần nhớ bây giờ là thứ tự: nhìn cấu trúc trước, biến đổi sau .
Ba thói quen của người giải bài đại số chắc tay
1. Ghi điều kiện trước
Có căn thì ghi x\ge 0 (và điều kiện của biểu thức dưới căn). Có mẫu thì ghi mẫu khác 0. Điều kiện ghi ngay dòng đầu và được giữ đến hết bài , kể cả khi công thức cuối cùng trông “có nghĩa với mọi x”.
2. Tìm dấu hiệu rồi mới khai triển
Khai triển là việc máy móc và dễ nhầm dấu. Hãy tự hỏi trong ba giây: đề có đối xứng theo hai biến không? Có bình phương ẩn không? Có căn lặp lại không? Câu trả lời thường cho ta con đường ngắn nhất.
3. Thử lại vào đề bài
Sau khi tìm ra đáp số, thay ngược vào đề bài ban đầu chứ không phải vào dòng biến đổi cuối. Một phép biến đổi sai ở giữa sẽ đưa bạn tới đáp số “đúng với dòng cuối” nhưng sai với đề. Bước thử lại là lưới an toàn rẻ nhất.
Đoán nghiệm rồi dừng lại
Nhiều em thử một vài giá trị, thấy x=3 làm hai vế bằng nhau rồi viết ngay “vậy nghiệm là x=3”. Với phương trình \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^{2}-6x+11 (em sẽ gặp ở phần năm), đúng là x=3 thỏa. Nhưng đoán được một nghiệm mới chỉ là nửa bài : chưa ai chứng minh rằng không còn nghiệm nào khác. Một bài giải đầy đủ phải nói được vì sao đó là nghiệm duy nhất, hoặc tìm ra mọi nghiệm.
Khởi động. Ba câu ngắn để kiểm tra điều em đã biết.
Đề: “Tìm các số nguyên x để x^{2}+x+3 là bình phương của một số hữu tỉ.” Dấu hiệu nào phù hợp nhất?
Sai: đề không cho tổng của hai số nào.
Sai: không có vế phải bằng 0 và không có nhiều bình phương cần gom.
Sai: đề không có căn thức và không có bất đẳng thức nào để chặn.
Đúng: nhân bốn để có (2x+1)^{2}+11, rồi viết hiệu hai bình phương thành tích hai thừa số nguyên.
Hãy đánh giá từng phát biểu.
a) Nếu x và y là hai số thực thỏa x^{2}+y^{2}=0 thì x=y=0.
Đúng: mỗi bình phương không âm, tổng bằng 0 khi cả hai bằng 0.
b) Nếu x là số nguyên thì \sqrt{x} cũng là số nguyên.
Sai: x=2 là số nguyên nhưng \sqrt{2} không nguyên. Chỉ khi x là số chính phương thì \sqrt{x} mới nguyên.
c) Sau khi rút gọn, ta có thể bỏ điều kiện ban đầu nếu công thức cuối có nghĩa với mọi x.
Sai: điều kiện của đề bài vẫn phải giữ, vì biểu thức ban đầu không xác định ở những giá trị bị loại.
d) Luôn có hai số thực x, y với tổng 2 và tích 5.
Sai: x, y là nghiệm của t^{2}-2t+5=0, có \Delta=4-20\lt 0, vô nghiệm thực.
Ta có x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}- xy và x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}- xy(x+y).
2 Tổng và tích: gộp hai ẩn thành hai đại lượng
Khi đề đối xứng theo hai số, hãy đặt tổng và tích. Mọi biểu thức đối xứng đều viết được qua hai đại lượng đó.
Khi đề cho đồng thời tổng và một biểu thức đối xứng của hai số (tổng bình phương, tổng lập phương), ta chưa cần tìm từng số. Ta tìm hai đại lượng “gộp”: tổng S=x+y và tích P=xy. Sau đó một phương trình bậc hai sẽ làm nốt phần còn lại.
Ghi nhớ
Với S=x+y và P=xy:
x^{2}+y^{2}=S^{2}-2P, \quad x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS, \quad x^{4}+y^{4}=(S^{2}-2P)^{2}-2P^{2}.
Hai số x, y là hai nghiệm của t^{2}-St+P=0. Chúng là số thực khi và chỉ khi S^{2}-4P\ge 0.
Vì sao x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS?
Khai triển (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy(x+y).
Chuyển vế: x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)=S^{3}-3PS.
Chỉ cần nhớ một hằng đẳng thức (x+y)^{3} là em tự dựng lại được mọi thứ. Tương tự, (x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy cho x^{2}+y^{2}=S^{2}-2P.
Hình 1 cho ta hình ảnh trực quan của ý “hai số là nghiệm của phương trình bậc hai”. Nếu S=1 và P=-2 thì hai số cần tìm là hai hoành độ giao điểm của parabol y=t^{2}-t-2 với trục hoành.
Hình 1. Đồ thị y=t^{2}-t-2. Hai giao điểm với trục hoành (chấm đỏ) là t=-1 và t=2: đó chính là hai số x, y.
Ví dụ 1 · Tổng bằng 1, tổng lập phương bằng 7
Đặt S=x+y=1 và P=xy.
Vì sao làm vậy: đề chỉ nói về tổng và tổng lập phương, hai đại lượng cùng viết được qua S và P. Ta thay hai ẩn bằng hai đại lượng gộp.
Từ x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS ta có 7=1-3P, nên P=-2.
Vì sao làm vậy: đây là chỗ hằng đẳng thức phát huy tác dụng, biến một phương trình bậc ba thành phương trình bậc nhất theo P.
x, y là hai nghiệm của t^{2}-t-2=0, tức (t-2)(t+1)=0. Vậy t=2 hoặc t=-1.
Vì sao làm vậy: hai số có tổng S và tích P chính là hai nghiệm của t^{2}-St+P=0 (định lí Viète).
Kết luận: (x;y)=(2;-1) hoặc (x;y)=(-1;2). Có hai cặp vì x và y có vai trò như nhau nhưng cặp (x;y) có thứ tự.
Vì sao làm vậy: đề đối xứng theo x, y, nên nghiệm cũng đối xứng: có một cặp thì đổi chỗ cũng là một cặp.
Thử lại vào đề bài: 2+(-1)=1 và 2^{3}+(-1)^{3}=8-1=7. Cả hai đều đúng.
Vì sao làm vậy: thử vào đề bài , không thử vào phương trình t^{2}-t-2=0.
Khi hai số thực không tồn tại
Bây giờ đổi số: x+y=2 và x^{3}+y^{3}=1. Cách làm giống hệt: 1=2^{3}-3P\cdot 2, tức 6P=7 và P=\dfrac{7}{6}. Nhưng trước khi viết phương trình bậc hai, hãy kiểm tra điều kiện tồn tại S^{2}-4P\ge 0.
Ví dụ 2 · Tổng bằng 2, tổng lập phương bằng 1
S=2; từ 1=8-6P suy ra P=\dfrac{7}{6}.
Vì sao làm vậy: cùng cách làm với Ví dụ 1.
Tính S^{2}-4P=4-\dfrac{14}{3}=-\dfrac{2}{3}\lt 0.
Vì sao làm vậy: hai số thực có tổng S, tích P chỉ tồn tại khi S^{2}-4P\ge 0. Đây là bước em không được bỏ.
Vậy không có hai số thực x, y nào thỏa đề.
Vì sao làm vậy: t^{2}-2t+\dfrac{7}{6}=(t-1)^{2}+\dfrac{1}{6}\gt 0 với mọi t, như Hình 2 cho thấy: parabol nằm hẳn phía trên trục hoành.
Hình 2. Đồ thị y=t^{2}-2t+\dfrac{7}{6}: đỉnh (1;\dfrac{1}{6}) nằm phía trên trục hoành nên đồ thị không cắt trục, phương trình vô nghiệm thực.
Tìm P rồi quên kiểm tra điều kiện
Sau khi tính được P=\dfrac{7}{6}, có bạn viết luôn “x, y là nghiệm của t^{2}-2t+\dfrac{7}{6}=0” rồi giải ra căn của một số âm, hoặc bỏ dở với chữ “vô lí”. Cả hai đều chưa đủ. Cách viết đúng là tính S^{2}-4P ngay sau khi có P , thấy nó âm và kết luận “không tồn tại số thực”. Kết luận “không có nghiệm” cũng là một đáp án đầy đủ, chỉ cần có lí do.
Từ tổng và tích đến các lũy thừa cao
Nếu biết S và P, ta tính được mọi tổng lũy thừa s_{n}=x^{n}+y^{n} mà không cần biết x, y là số nào. Vì x^{2}=Sx-P và y^{2}=Sy-P, nhân với x^{n-2}, y^{n-2} rồi cộng lại ta được công thức truy hồi:
s_{n}=S\cdot s_{n-1}-P\cdot s_{n-2},\quad s_{0}=2,\ s_{1}=S.
Ví dụ S=1, P=-1: s_{2}=1\cdot 1+2=3, s_{3}=3+1=4, s_{4}=4+3=7, s_{5}=7+4=11. Dãy 1;3;4;7;11;\dots chính là dãy Lucas: mỗi số bằng tổng hai số trước. Khi P=-1 và S=1, hằng đẳng thức truy hồi trở thành phép cộng đơn giản.
Tại sao nghĩ ra hướng này? Đề đối xứng theo x, y (đổi vai hai số thì đề không đổi). Với đề đối xứng, mọi biểu thức đối xứng đều viết được qua S và P, và điều này chỉ rõ đường đi: ta biến bài toán hai ẩn thành bài toán hai đại lượng S, P đã biết hoặc dễ tìm. Đây là lí do bài toán hay cho “tổng” cùng một biểu thức đối xứng khác.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Cho x+y=4 và x^{3}+y^{3}=28. Tính xy.
Gợi ý 1. Dùng x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS với S=4.
Gợi ý 2. Giải phương trình 28=64-12P.
Chính xác! 28=64-12P nên P=3.
Bạn đã chia 64-28=36 cho 4, tức quên hệ số 3 của hằng đẳng thức. Đúng là 36=12P.
Đó là 64-28, mới là 3PS. Còn phải chia cho 3S=12.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS cho 28=4^{3}-3P\cdot 4=64-12P, suy ra 12P=36 và P=3. Kiểm tra: x, y là nghiệm của t^{2}-4t+3=0, tức 1 và 3; 1+27=28.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Cho x+y=6 và x^{2}+y^{2}=20. Tính x^{3}+y^{3}.
Gợi ý 1. Tìm P từ x^{2}+y^{2}=S^{2}-2P.
Gợi ý 2. Rồi dùng x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS.
Chính xác! P=8, x^{3}+y^{3}=216-144=72.
Đó là 3PS. Còn phải lấy S^{3}=216 trừ đi số đó.
Đó là S^{3}. Cần trừ thêm 3PS=144.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
20=36-2P, nên P=8. Khi đó x^{3}+y^{3}=6^{3}-3\cdot 8\cdot 6=216-144=72. Kiểm tra: x, y là nghiệm của t^{2}-6t+8=0, tức 2 và 4; 8+64=72.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Có bao nhiêu cặp số thực (x;y) thỏa x+y=3 và x^{3}+y^{3}=-9?
Gợi ý 1. Tính P từ x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS.
Gợi ý 2. Đừng quên kiểm tra S^{2}-4P\ge 0.
Chính xác! P=4 nhưng S^{2}-4P=9-16\lt 0.
Bạn đã tìm P rồi mặc định có hai cặp (x;y) và (y;x). Hãy tính S^{2}-4P=-7\lt 0: hai số thực không tồn tại.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
-9=27-9P, nên P=4. Nhưng S^{2}-4P=9-16=-7\lt 0, nên không có hai số thực như vậy. Đáp số: 0 cặp.
Bài 4 Mức 3 · Thách thức
Cho x+y=3 và xy=-4. Tính x^{4}+y^{4}.
Gợi ý 1. Trước hết tính x^{2}+y^{2}=S^{2}-2P.
Gợi ý 2. Rồi x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2P^{2}.
Chính xác! 17^{2}-2\cdot 16=257.
Đó là (x^{2}+y^{2})^{2}, chưa trừ 2P^{2}. Ta có (x^{2}+y^{2})^{2}=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}.
Bạn đã trừ P^{2}=16 thay vì 2P^{2}=32. Hệ số 2 đến từ 2x^{2}y^{2}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
x^{2}+y^{2}=9+8=17. Khi đó x^{4}+y^{4}=17^{2}-2\cdot(-4)^{2}=289-32=257. Kiểm tra: x, y là 4 và -1; 256+1=257.
Bài 5 Mức 3 · Thách thức
Cho x+y=1 và xy=-1. Tính x^{5}+y^{5}.
Gợi ý 1. Dùng s_{n}=s_{n-1}-P\,s_{n-2}, tức s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2} khi S=1, P=-1.
Gợi ý 2. Bắt đầu từ s_{1}=1, s_{2}=3.
Chính xác! Dãy 1;3;4;7;11.
Đó là x^{4}+y^{4}. Cần thêm một bước nữa để có x^{5}+y^{5}.
Đó là x^{3}+y^{3}. Hãy đi tiếp hai bước: s_{4}=7, rồi s_{5}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
s_{1}=1, s_{2}=S^{2}-2P=3, s_{3}=s_{2}+s_{1}=4, s_{4}=s_{3}+s_{2}=7, s_{5}=s_{4}+s_{3}=11.
Bài 6 Mức 3 · Thách thức
Chứng minh rằng nếu x+y=1 thì x^{3}+y^{3}+3xy=1. Hãy viết ra nháp, rồi tự đối chiếu.
Gợi ý 1. Dùng x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS với S=1.
Gợi ý 2. Thay vào vế trái.
Hãy tự viết lời giải ra nháp trước khi xem.
Lời giải
Vì S=x+y=1 nên x^{3}+y^{3}=S^{3}-3PS=1-3xy.
Do đó x^{3}+y^{3}+3xy=(1-3xy)+3xy=1. \square
Kiểm tra bằng số: x=2, y=-1 cho 8-1+3\cdot 2\cdot(-1)=1.
Hai số thực x, y có tổng 4 và tích 5. Kết luận nào đúng?
Sai: chưa kiểm tra điều kiện tồn tại nên chưa thể nói có cặp nào.
Đúng: x, y là nghiệm của t^{2}-4t+5=0, có S^{2}-4P=16-20=-4\lt 0.
Sai: một cặp duy nhất chỉ xảy ra khi S^{2}-4P=0, tức x=y.
Sai: với S và P đã cho, hai số được xác định (tối đa hai cặp có thứ tự).
3 Tổng các bình phương bằng không
Gom vế trái thành tổng bình phương. Khi vế phải bằng không, mỗi bình phương phải bằng không, và ta tìm được cả ba biến từ một phương trình.
Có những phương trình trông rất “nặng”: ba biến, hạng tử chéo, mà vế phải chỉ là số 0. Ta không có đủ phương trình để giải như hệ thông thường. Nhưng có một sự thật rất mạnh: bình phương của một số thực luôn không âm . Nếu ta gom được vế trái thành tổng các bình phương thì tổng đó chỉ bằng 0 khi từng bình phương bằng 0.