Biến đổi có căn cứ: từ số hữu tỉ đến góc và tổng rút gọn
Giữ đúng giá trị khi đổi phân số, lũy thừa, phương trình và phần trăm; chứng minh quan hệ góc; tạo hiệu để rút gọn tổng và nhận ra dữ kiện chưa đủ.
TOÁN 7 · ĐỌC CẤU TRÚC, GIỮ ĐIỀU KIỆN
Biến đổi có căn cứ: từ số hữu tỉ đến góc và tổng rút gọn
Giữ đúng giá trị khi đổi phân số, lũy thừa, phương trình và phần trăm; chứng minh quan hệ góc; tạo hiệu để rút gọn tổng và nhận ra dữ kiện chưa đủ.
1. Một thói quen chung: thay cách viết, giữ đúng ý nghĩa
Trong số hữu tỉ, ta đổi phân số để nhìn rõ phép cộng. Trong phương trình, ta biến đổi hai vế để giữ nguyên nghiệm. Trong hình học, ta đổi dữ kiện góc thành một quan hệ song song. Trong một tổng dài, ta đổi mỗi phân số thành hiệu hai phân số để phần giữa triệt tiêu.
Trước mỗi phép biến đổi, hãy tự hỏi: điều gì được giữ nguyên, điều kiện nào làm phép biến đổi hợp lệ, và có cách kiểm tra độc lập nào? Chuyên đề nối các công cụ Toán 7 bằng ba câu hỏi ấy, không dựa vào thứ tự câu hỏi của một bài kiểm tra.
Ta sẽ dùng phân số, lũy thừa với số mũ tự nhiên, quy tắc cân bằng phương trình, phần trăm, góc kề bù và tia phân giác. Phần tổng rút gọn cuối bài là một ứng dụng nâng cao của chính phép quy đồng và tính phân phối.
2. Số hữu tỉ: cùng giá trị, nhiều cách biểu diễn
Phân số, số thập phân hữu hạn và phần trăm có thể là những cách viết khác nhau của cùng một số:
0{,}75=\frac{75}{100}=\frac34=75\%.
Để so sánh hai biểu thức, hãy so sánh giá trị sau khi rút gọn, không chỉ nhìn vị trí dấu trừ. Chẳng hạn -2/3=2/(-3), nhưng số đối của -3/2 là 3/2, vì tổng hai số bằng 0. Số đối và số nghịch đảo là hai khái niệm khác nhau.
Khi cộng -2/3+5/6-1/12, tại sao không cộng cả tử lẫn mẫu? Mẫu số đóng vai trò gì?
Gợi ý: coi mẫu số là đơn vị chia
Phần ba và phần sáu chưa có cùng kích thước. Ta cần đổi về những phần bằng nhau trước khi đếm tổng số phần.
Vì 12 là bội chung của 3,6,12,
-\frac23+\frac56-\frac1{12}=-\frac8{12}+\frac{10}{12}-\frac1{12}=\frac{-8+10-1}{12}=\frac1{12}.
Cùng mẫu 12, chỉ cộng số phần: -8+10-1=1. Thanh này kiểm tra ý nghĩa của kết quả, không thay thế bước quy đồng.
Quy tắc tổng quát. Với b,d\ne0, a/b+c/d=(ad+bc)/(bd), vì a/b=ad/(bd), c/d=bc/(bd). Không có quy tắc (a+c)/(b+d): ví dụ 1/2+1/2=1, còn (1+1)/(2+2)=1/2, sai ngay ở trường hợp đơn giản nhất.
Làm tròn là một việc khác. 37{,}672\approx37{,}7 khi làm tròn đến hàng phần mười, vì chữ số hàng phần trăm là 7. Sai số bằng 0{,}028, nhỏ hơn nửa của 0{,}1. Viết dấu \approx, không viết dấu bằng chính xác. Đừng làm tròn phân số ở giữa một chuỗi tính nếu vẫn có thể giữ giá trị đúng.
3. Lũy thừa và thứ tự phép tính: đọc cấu trúc trước
Với số mũ nguyên không âm, ba quy tắc cần phân biệt là
a^ma^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\ne0,\ m\ge n),(a^m)^n=a^{mn}.
Quy tắc tích cộng số mũ vì nối hai nhóm thừa số. Quy tắc thương bỏ đi các thừa số giống nhau; do đó mẫu không được bằng 0. Quy tắc lũy thừa của lũy thừa lặp lại n nhóm, mỗi nhóm có m thừa số, nên nhân hai số mũ. Quy ước a^0=1 dùng với a\ne0; không dùng 0^0 trong các quy tắc này.
(-1/3)^3 mang dấu gì? Vì sao (3^2)^4 không phải 3^6?
Gợi ý và giải thích
Tích ba số âm là âm, nên (-1/3)^3=-1/27. Trong (3^2)^4, có bốn nhóm hai thừa số 3, tổng cộng tám thừa số, nên bằng 3^8. Tương tự (-2/7)^8:(-2/7)^2=(-2/7)^6, và cơ số này khác 0.
Dấu ngoặc quyết định cơ số: (-2)^2=4, còn -2^2=-(2^2)=-4. Sau khi đọc đúng cơ số, thực hiện lũy thừa trước, rồi nhân chia, sau đó cộng trừ:
\frac67-\left(\frac34\right)^2\cdot\frac89=\frac67-\frac9{16}\cdot\frac89=\frac67-\frac12=\frac5{14}.
Ước lượng để kiểm tra: 6/7 khoảng 0{,}857, trừ 0{,}5 còn khoảng 0{,}357, đúng với 5/14. Ước lượng không thay thế các bước phân số chính xác.
4. Phân phối dấu và tìm nhân tử chung trước khi quy đồng
Hai công cụ đều xuất phát từ tính phân phối:
u-(v+w)=u-v-w,\qquad cu+cv=c(u+v).
Dấu trừ trước ngoặc nghĩa là nhân mọi hạng tử bên trong với -1. Nhân tử chung là một thừa số có trong mọi hạng tử, không phải chỉ giống nhau ở một vài chỗ.
Với (13/23-2/15)-(7/15+13/23), có cần dùng mẫu chung 345 không?
Mở ngoặc rồi nhìn cặp triệt tiêu
\left(\frac{13}{23}-\frac2{15}\right)-\left(\frac7{15}+\frac{13}{23}\right)=\frac{13}{23}-\frac2{15}-\frac7{15}-\frac{13}{23}=-\frac35.
Cặp 13/23 và -13/23 triệt tiêu; hai phần còn lại cùng mẫu 15. Quy đồng toàn bộ vẫn làm được nhưng che mất cấu trúc đơn giản này.
Một dạng khác cần kéo nhân tử chung ra ngoài:
\begin{aligned}\frac5{23}\cdot\frac59-\frac59\cdot\frac{28}{23}+\frac59&=\frac59\left(\frac5{23}-\frac{28}{23}+1\right)\\&=\frac59(-1+1)=0.\end{aligned}
Hạng tử cuối 5/9 trở thành (5/9)\cdot1, nên trong ngoặc phải có +1, không phải +5/9. Cách kiểm tra tốt nhất là nhân ngược để xem có khôi phục đúng biểu thức ban đầu không.
5. Giải phương trình bằng nguyên tắc cân bằng
Cộng hoặc trừ cùng một số ở hai vế giữ nguyên nghiệm. Nhân hoặc chia hai vế cho cùng một số khác 0 cũng giữ nguyên nghiệm. Đây là nội dung của quy tắc chuyển vế; không nên học “đổi dấu” tách khỏi phép toán ở hai vế.
Xét phương trình 0{,}4x-4/5=1/4. Đổi 0{,}4=2/5 rồi cộng 4/5 vào cả hai vế:
\frac25x=\frac14+\frac45=\frac{21}{20}.
Chia cả hai vế cho 2/5\ne0, tức nhân với 5/2:
x=\frac{21}{20}\cdot\frac52=\frac{21}{8}.
Thay lại phương trình ban đầu: (2/5)(21/8)-4/5=21/20-16/20=1/4. Việc kiểm ngược dùng chính dữ kiện ban đầu, không chỉ kiểm một dòng đã biến đổi.
Hai tình huống để tự thử cùng nguyên tắc
Với 2/7+x=1/2, trừ 2/7 ở hai vế cho x=3/14. Thử lại: 4/14+3/14=7/14=1/2.
Với 2x-3=x-1/2, trừ x và cộng 3 ở hai vế cho x=5/2. Thử lại: hai vế đều bằng 2.
Không được biến 0{,}4x=21/20 thành 4x=21/20 bằng cách tự bỏ dấu phẩy. Muốn nhân vế trái với 10, phải nhân cả vế phải với 10. Cũng không được chia cho một biểu thức chưa biết có bằng 0 hay không.
6. Phần trăm: chọn đúng số tiền làm gốc
Gọi P>0 là giá niêm yết, r là tỉ lệ giảm viết dưới dạng số thập phân, với 0\le r\le1. Khi giảm một lần theo giá niêm yết:
\text{Tiền giảm}=Pr,\qquad\boxed{\text{Tiền phải trả}=P(1-r)}.
Hai đại lượng cộng lại bằng P. Một câu hỏi về tiền giảm không được trả lời bằng tiền phải trả, và ngược lại.
Mỗi thanh biểu diễn 100\% của giá riêng mặt hàng đó. Các phần trong mỗi thanh đúng tỉ lệ; hai thanh bằng độ dài không có nghĩa hai giá niêm yết bằng nhau.
Ví dụ đồ chơi giá 200\,000 đồng giảm 10\%, hộp bút giá 60\,000 đồng giảm 20\%. Tiền phải trả lần lượt là
200\,000\cdot0{,}9=180\,000,\qquad60\,000\cdot0{,}8=48\,000.
Tổng bằng 228\,000 đồng. Nếu đưa 300\,000 đồng, tiền trả lại là 72\,000 đồng. Kiểm tra độc lập: tổng giá gốc 260\,000, tổng tiền giảm 20\,000+12\,000=32\,000; hiệu cũng bằng 228\,000.
Đổi tình huống để thấy giới hạn. Giảm 10\% rồi giảm tiếp 20\% trên giá đã giảm thì tiền trả bằng P\cdot0{,}9\cdot0{,}8=0{,}72P, nghĩa là giảm tổng cộng 28\%, không phải 30\%. Mỗi phần trăm phải gắn với đúng số tiền làm gốc.
7. Hai góc kề bù và hai tia phân giác
Cho hai tia AB,AE đối nhau, tia AC nằm giữa chúng trong một nửa mặt phẳng. Gọi Ax là tia phân giác của \angle BAC, AD là tia phân giác của \angle CAE. Hai góc ban đầu kề bù, nên
\angle BAC+\angle CAE=180^\circ.
Hai tia phân giác nằm ở hai phía của AC. Do đó góc giữa chúng bằng tổng hai nửa góc:
\angle xAD=\frac12\angle BAC+\frac12\angle CAE=90^\circ.
Hai tia phân giác trong của hai góc kề bù vuông góc nhau. Kết luận này đúng với mọi cặp góc không suy biến, không chỉ khi có số đo 100^\circ.
Ứng dụng có thêm một điều kiện. Trong tam giác ABC, cho \angle BAC=100^\circ, \angle ACB=40^\circ; kéo dài BA qua A tới E. Dựng các tia phân giác như trên. Ta có \angle CAE=80^\circ, nên \angle CAD=40^\circ. Vì \angle DAC=\angle ACB là hai góc so le trong tạo bởi cát tuyến AC, suy ra AD\parallel BC. Đồng thời Ax\perp AD theo tính chất đã chứng minh.
Các hướng tia được dựng theo góc 40^\circ và 140^\circ; sai số tọa độ dưới 0{,}001 đơn vị hình. Dấu song song và ô vuông thể hiện kết quả đã chứng minh, không được dùng làm giả thiết thay cho lập luận.
Nếu giữ A=100^\circ nhưng thay C=30^\circ, kết luận nào còn đúng: Ax\perp AD, hay AD\parallel BC?
Phân tích điều kiện, không đoán từ hình
Hai góc tại A vẫn kề bù, nên hai tia phân giác vẫn vuông góc. Nhưng \angle DAC=40^\circ\ne30^\circ=\angle ACB, nên AD không song song BC. Nếu chúng song song thì hai góc so le trong phải bằng nhau, dẫn đến mâu thuẫn. Điều kiện góc ở C chỉ cần cho kết luận song song, không cần cho kết luận vuông góc.
8. Tổng dài: tạo hiệu để các phần giữa tự triệt tiêu
Với 0<u<v, quy đồng một hiệu đơn giản:
\frac1u-\frac1v=\frac{v-u}{uv}.
Vì vậy, nếu tử số bằng k(v-u), ta có
\boxed{\frac{k(v-u)}{uv}=k\left(\frac1u-\frac1v\right)}.
Không cần các khoảng cách mẫu đều nhau. Điều quan trọng là tỉ số tử số trên hiệu hai mẫu phải cùng bằng một hệ số k .
Với dãy số dương tăng a_0<a_1<\cdots<a_n, nếu mỗi tử bằng k lần hiệu của hai mẫu đi kèm, tổng có dạng
k\left[\left(\frac1{a_0}-\frac1{a_1}\right)+\left(\frac1{a_1}-\frac1{a_2}\right)+\cdots+\left(\frac1{a_{n-1}}-\frac1{a_n}\right)\right]=k\left(\frac1{a_0}-\frac1{a_n}\right).
Mỗi phân số ở giữa xuất hiện một lần với dấu cộng và một lần với dấu trừ. Chỉ hai đầu còn lại. Đây là lí do của phép rút gọn liên tiếp, không phải một mẹo đoán đáp số.
Tổng 9/(2\cdot5)+9/(5\cdot8)+12/(8\cdot12) có các hiệu mẫu 3,3,4. Hệ số chung là bao nhiêu?
Gợi ý và lời giải
Ta có 9/3=9/3=12/4=3. Do đó tổng bằng 3[(1/2-1/5)+(1/5-1/8)+(1/8-1/12)]=3(1/2-1/12)=5/4.
Khi không được áp dụng máy móc. Nếu hai tử số là 4,6 trong 4/(2\cdot5)+6/(5\cdot8), các hệ số là 4/3 và 2, khác nhau. Sau khi tách, hai hạng chứa 1/5 không triệt tiêu hoàn toàn. Ta vẫn tính được tổng, nhưng không được bỏ hết các mẫu ở giữa.
9. Hai tổng khác đường đi nhưng chung điểm đầu, điểm cuối
Giả sử hai tổng sau khi tách có dạng A=\alpha(1/u-1/v), B=\beta(1/u-1/v), với 0<u<v, \beta\ne0. Khi ấy
\boxed{\frac AB=\frac\alpha\beta}.
Phép khử hợp lệ vì 1/u-1/v>0, nên B\ne0. Các mẫu trung gian có thể khác nhau; điều cần trùng là hai đầu và dạng hệ số chung.
Ví dụ nhỏ trước. A=6/(2\cdot5)+6/(5\cdot8)=2(1/2-1/8)=3/4. Còn B=6/(2\cdot4)+12/(4\cdot8)=3(1/2-1/8)=9/8. Mặc dù mẫu trung gian là 5 và 4, ta vẫn có A/B=2/3.
Ứng dụng có hướng dẫn với các khoảng cách mẫu không đều
A=\frac{34}{7\cdot13}+\frac{51}{13\cdot22}+\frac{85}{22\cdot37}+\frac{68}{37\cdot49}.
Các hiệu mẫu là 6,9,15,12; kiểm tra hệ số:
\frac{34}{6}=\frac{51}{9}=\frac{85}{15}=\frac{68}{12}=\frac{17}{3}.
Vì thế A=\dfrac{17}{3}(1/7-1/49)=34/49.
B=\frac{39}{7\cdot16}+\frac{65}{16\cdot31}+\frac{52}{31\cdot43}+\frac{26}{43\cdot49}.
Các hiệu mẫu là 9,15,12,6, và
\frac{39}{9}=\frac{65}{15}=\frac{52}{12}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}.
Do đó B=\dfrac{13}{3}(1/7-1/49)=26/49. Chia hai tổng:
\frac AB=\frac{34/49}{26/49}=\frac{34}{26}=\frac{17}{13}.
Cách kiểm tra thứ hai dùng hệ số: (17/3):(13/3)=17/13. Ước lượng thêm: A\approx0{,}694, B\approx0{,}531, nên tỉ số khoảng 1{,}308. Một kết quả như 17/3\approx5{,}667 không phù hợp. Cả bước tách tổng và bước chia cuối cùng đều cần được kiểm tra.
10. Bài chuyển giao: nhận ra điều kiện chưa đủ để tìm ẩn
Xét
T(k)=\frac{k}{3\cdot7}+\frac{2k}{7\cdot15}+\frac{3k}{15\cdot27}.
Có một giá trị k duy nhất khiến tổng rút gọn thành hiệu đầu–cuối không? Thử kiểm tra hệ số trước khi “giải phương trình”.
Gợi ý và kết luận chính xác
Các hiệu mẫu là 4,8,12. Với mọi số hữu tỉ k,
\frac{k}{4}=\frac{2k}{8}=\frac{3k}{12}.
Vì vậy mọi k đều cho cùng một cơ chế rút gọn, kể cả k=0:
T(k)=\frac k4\left(\frac13-\frac1{27}\right)=\frac{2k}{27}.
Chỉ yêu cầu “có thể rút gọn thành hiệu” không xác định được k duy nhất. Nếu thêm điều kiện T(k)=2/3, lúc đó 2k/27=2/3, suy ra k=9. Đây mới là một bài tìm ẩn đủ dữ kiện.
Tự thiết kế. Chọn hai đầu 2,10, hai mẫu giữa 4,7, và hệ số 5. Viết một tổng ba phân số rút gọn liên tiếp.
Một cách thiết kế và kiểm chứng
Các khoảng cách là 2,3,3, nên chọn các tử 10,15,15. Tổng là 10/(2\cdot4)+15/(4\cdot7)+15/(7\cdot10)=5(1/2-1/10)=2. Tính độc lập bằng phân số: 5/4+15/28+3/14=35/28+15/28+6/28=56/28=2.
Tự kiểm tra cuối cùng. Tôi có tách số đối khỏi nghịch đảo không? Tôi có giữ dấu khi mở ngoặc và giữ hệ số khi chia không? Tôi có dùng đúng giá gốc của phần trăm không? Tôi có nêu đúng cặp góc trước khi kết luận song song không? Tôi có kiểm tra hệ số chung và mẫu khác 0 trước khi rút gọn một tổng hoặc một tỉ số không? Khi dữ kiện chưa xác định duy nhất một ẩn, tôi có dừng ở kết luận đúng thay vì tự chọn một số không?
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu