Từ hình vẽ đến công thức: lập biểu thức cho diện tích, thể tích và lượng nước
Lập công thức từ hình vẽ và tình huống thực tế: diện tích ghép hình, thể tích và đổi đơn vị, bể nước hai vòi, cùng cách kiểm tra kết quả và dữ kiện.
Toán 8 · Biểu thức đại số và mô hình hóa
Từ hình vẽ đến công thức: lập biểu thức cho diện tích, thể tích và lượng nước
Một công thức chỉ có ích khi em biết mỗi chữ cái đại diện cho điều gì, đo bằng đơn vị nào và dùng được trong trường hợp nào. Bài này rèn thói quen đó qua những tình huống quen thuộc: mảnh vườn, cái bể, chiếc hộp.
90 phút Mức: vừa – khá Có bài tập chấm điểm
Em sẽ học: đặt tên đại lượng · tính một diện tích bằng nhiều cách · đổi đơn vị thể tích · lập công thức theo thời gian · kiểm tra kết quả có hợp lý không
1 Mở đầu: đặt tên đại lượng trước khi tính
Chưa cần tính nhiều. Việc đầu tiên là biết mỗi chữ cái, mỗi con số đang nói về điều gì.
Bác Tư muốn rào một mảnh vườn, lát gạch một lối đi, rồi mua nước cho cái bể sau nhà. Bác hỏi cháu: “Cần bao nhiêu lưới, bao nhiêu gạch, bao nhiêu lít nước?”. Nếu chỉ có những con số cụ thể, ta bấm máy tính là xong. Nhưng khi bác đổi ý, đổi kích thước vườn ba lần trong một tuần, ta cần một công thức : viết một lần, thay số nhiều lần.
Muốn có công thức đúng, ta phải đi từ hình vẽ sang biểu thức chữ một cách cẩn thận. Đa số học sinh không sai ở bước tính toán mà sai ở bước đầu: chữ cái nào là gì, đơn vị nào, cộng được hay chưa được. Bài học này xây dựng cho em một quy trình năm bước để bước đầu ấy luôn chắc chắn.
Bước · Việc cần làm · Câu tự hỏi
1. Khai báo · Viết rõ mỗi chữ cái nghĩa là gì và đo bằng đơn vị nào. · Chữ này là độ dài, diện tích hay thể tích? Đơn vị là gì?
2. Lập biểu thức · Chia hình hoặc quá trình thành những phần đã biết công thức, rồi ghép lại. · Các phần có chồng lên nhau hoặc bỏ sót chỗ nào không?
3. Rút gọn · Nhân, cộng, trừ các đơn thức đồng dạng để có dạng gọn nhất. · Những hạng tử nào cùng phần chữ?
4. Thay số · Đưa các giá trị đã đổi về cùng đơn vị vào biểu thức. · Mọi số đã cùng đơn vị chưa?
5. Kiểm tra · So kết quả với ước lượng, trường hợp đặc biệt, đơn vị và điều kiện. · Kết quả có hợp lý không? Có trường hợp nào công thức không dùng được?
GV
Cô Lukato
Cô thường nói với học sinh: bước 1 và bước 5 là hai bước “không ai chấm điểm” nhưng lại quyết định đúng sai. Ai bỏ hai bước này thường tính rất nhanh và sai rất chắc.
Bốn câu hỏi trước khi viết công thức
- Chữ cái đại diện cho gì? Trong một bài, x có thể là độ dài, cũng có thể là số phút. Hai bài khác nhau dùng cùng chữ x với nghĩa khác nhau là chuyện bình thường.
- Đơn vị là gì? Mét, mét vuông và mét khối là ba loại đại lượng khác nhau. Ta chỉ cộng, trừ những đại lượng cùng loại và cùng đơn vị.
- Chữ cái có thể nhận giá trị nào? Độ dài phải dương; thời gian thường không âm; số viên gạch phải là số nguyên không âm.
- Công thức áp dụng khi nào? Bể có rò nước không? Vòi chảy đều hay yếu dần? Gạch có chìm hoàn toàn không? Mỗi giả thiết ngầm đều ảnh hưởng đến kết quả.
Cộng hai thứ không cùng loại
Em hãy nhìn phép tính “x + x^{2}”. Nếu x là một độ dài (mét) thì x^{2} là một diện tích (mét vuông), và ta không thể cộng một độ dài với một diện tích. Khi lập công thức mà lại thấy phép cộng như vậy, gần như chắc chắn có một bước đã đi sai. Việc “soi đơn vị” là cách kiểm tra rẻ nhất mà hiệu quả nhất em có.
Khởi động. Ba câu ngắn để em biết mình đang ở đâu. Sai cũng không sao, phần giải thích luôn hiện ngay sau khi em chọn.
Một hình chữ nhật có chiều dài a mét và chiều rộng b mét. Biểu thức nào dưới đây có thể là diện tích của nó?
Sai: a+b đo bằng mét, là nửa chu vi. Một diện tích phải đo bằng mét vuông, tức là tích của hai độ dài.
Đúng: a\cdot b mét vuông, tích của hai độ dài cho ra diện tích.
Sai: 2a+2b là chu vi, đo bằng mét.
Sai: a^{2} là mét vuông còn b là mét, hai loại khác nhau không cộng được.
Bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước đều đo bằng mét.
a) Thể tích của bể đo bằng mét khối.
Đúng: ba độ dài nhân với nhau cho ra một đại lượng đo bằng mét khối.
b) Một mét khối bằng một trăm lít.
Sai: một mét khối bằng một nghìn lít (vì 1\ \mathrm{m}^{3}=1000\ \mathrm{dm}^{3} và 1\ \mathrm{dm}^{3}=1 lít).
c) Có thể cộng diện tích đáy với chiều cao để ra thể tích.
Sai: diện tích (mét vuông) và độ dài (mét) không cùng loại nên không cộng được; muốn ra thể tích phải nhân.
d) Nếu mọi kích thước cùng gấp đôi thì thể tích gấp tám lần.
Đúng: (2a)(2b)(2c)=8abc.
Với x=3 thì 2x^{2}= ; và đơn thức 5ab có bậc bằng (tổng số mũ của các biến).
2 Một hình, ba cách tính diện tích
Cùng một mảnh vườn, ba cách cắt hình cho cùng một biểu thức. Từ đó em hiểu vì sao hai biểu thức khác dạng vẫn có thể bằng nhau.
Ta bắt đầu bằng một mảnh vườn hình chữ L. Hai cạnh của nó dùng hai đơn vị độ dài chung a và b (đều tính bằng mét), nên mọi kích thước là bội của a hoặc b. Cách viết này giúp ta lập một công thức cho cả một họ mảnh vườn, chứ không chỉ một mảnh vườn cụ thể.
Hình 1. Vườn hình chữ L. Nét đứt chia vườn thành hai hình chữ nhật: 3a · 4b và 2a · b.
Trong Hình 1, cạnh dưới AB=5a, cạnh trái AF=4b, đoạn nhô ra bên phải BC=b. Ta muốn tìm diện tích S của cả mảnh vườn. Điều thú vị là cùng một diện tích, nhưng có nhiều cách viết . Em hãy nhìn cách thứ nhất.
Ví dụ 1 · Chia vườn thành hai hình chữ nhật
Kẻ nét đứt từ D xuống AB. Vườn được chia thành hai hình chữ nhật: phần 1 rộng 3a, cao 4b; phần 2 rộng 5a-3a=2a, cao b.
Vì sao làm vậy: hình chữ nhật là hình duy nhất ta đã thuộc công thức diện tích. Ta luôn cố tách hình lạ thành những hình quen.
Diện tích phần 1: 3a\cdot 4b=12ab. Diện tích phần 2: 2a\cdot b=2ab.
Vì sao làm vậy: nhân từng hệ số và từng biến: 3\cdot 4=12, a\cdot b=ab.
Cộng lại: S=12ab+2ab=14ab (mét vuông).
Vì sao làm vậy: 12ab và 2ab là hai đơn thức đồng dạng (cùng phần chữ ab), nên cộng hệ số: 12+2=14.
Kiểm tra đơn vị: a,b đo bằng mét nên ab đo bằng mét vuông, đúng là đơn vị của diện tích.
Vì sao làm vậy: một công thức diện tích mà ra “mét” thì chắc chắn sai.
Bây giờ ta chia theo hướng khác: cắt ngang thay vì cắt dọc. Dải phía dưới có kích thước 5a và b; phần phía trên là hình chữ nhật 3a và 3b (vì 4b-b=3b). Diện tích là 5a\cdot b+3a\cdot 3b=5ab+9ab=14ab. Hai cách cho cùng một kết quả, và đó là điều ta mong đợi : diện tích không phụ thuộc cách ta chia.
Hình 2. Cách bù hình: lấy hình chữ nhật ABGF rồi trừ hình chữ nhật CDEG.
Cách thứ ba là bù hình (Hình 2). Hình chữ nhật bao ngoài có kích thước 5a và 4b, diện tích 20ab. Ta bỏ đi phần ở góc trên bên phải, là hình chữ nhật kích thước 2a và 3b, diện tích 6ab. Vậy S=20ab-6ab=14ab.
Ghi nhớ
Một hình phức tạp có thể tính diện tích bằng ba chiến lược: cắt dọc , cắt ngang và bù hình . Chiến lược nào cũng phải cho cùng một kết quả. Nếu hai cách cho hai biểu thức khác nhau sau khi rút gọn, chắc chắn ta đã đọc sai một kích thước.
Lấy nhầm bề rộng của phần ghép
Nhiều em cắt dọc và lấy nhầm bề rộng phần 2 là 5a (thay vì 5a-3a=2a). Khi đó ra 12ab+5ab=17ab, không khớp với 14ab của hai cách kia. Cách phát hiện: luôn đối chiếu với một cách chia khác, ví dụ cách bù hình. Hai kết quả khác nhau là tín hiệu để tìm lỗi.
Khi hình có kích thước dạng tổng, chẳng hạn cạnh là x+3, ta cần nhân đa thức. Hãy quan sát một tình huống nhỏ: một tấm bìa hình vuông cạnh x+3 (đề-xi-mét) bị cắt bỏ một hình vuông cạnh x ở góc. Diện tích còn lại là (x+3)^{2}-x^{2}. Khai triển bằng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
(x+3)^{2}-x^{2}=x^{2}+6x+9-x^{2}=6x+9.
Bậc hai đã biến mất và kết quả là một biểu thức bậc nhất. Điều này có ý nghĩa hình học: phần còn lại là một “chữ L” gồm hai dải rộng 3 dm, có thể duỗi thẳng thành dải dài 2x+3 và rộng 3 dm, diện tích 3(2x+3)=6x+9.
Mở rộng: bậc của đa thức nhiều biến
Bậc của một đơn thức là tổng số mũ của tất cả các biến. Bậc của đa thức là bậc lớn nhất trong các hạng tử của nó (sau khi rút gọn). Ví dụ 14ab có bậc 2; a^{3}-bcd có bậc 3 vì bcd có bậc 1+1+1=3.
Một cách nhớ: diện tích luôn có bậc 2 theo các độ dài, thể tích có bậc 3. Bậc của công thức cho ta biết đại lượng đó “lớn nhanh” cỡ nào khi kích thước tăng.
Đến lượt em. Ba bài tập dưới đây dùng đúng những ý vừa học. Hãy thử một mình rồi mới mở gợi ý.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Vườn hình chữ L ở Hình 1 có a=2 m và b=3 m. Tính diện tích vườn (đơn vị: mét vuông).
Gợi ý 1. Dùng công thức S=14ab đã lập ở trên, hoặc chia vườn thành hai hình chữ nhật với số cụ thể.
Gợi ý 2. Thay a=2, b=3: ab=6.
Chính xác! S=14\cdot 2\cdot 3=84 mét vuông.
Kết quả này mới là phần 1 (hình chữ nhật 3a\times 4b). Hãy cộng thêm phần 2 (2a\times b).
Đây là diện tích hình chữ nhật bao ngoài 5a\times 4b. Phải trừ phần bị bỏ đi 2a\times 3b.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
S=14ab=14\cdot 2\cdot 3=84 (m^{2}).
Kiểm tra bằng cách chia dọc: phần 1 là 6\times 12=72, phần 2 là 4\times 3=12, tổng 84. Hai cách trùng nhau.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Một vườn hình chữ L như Hình 1 có a=4 m và diện tích 224 mét vuông. Tính b (đơn vị: mét).
Gợi ý 1. Công thức S=14ab; thay S=224 và a=4 sẽ được một phương trình bậc nhất theo b.
Gợi ý 2. 14\cdot 4\cdot b=56b. Chia hai vế cho 56.
Chính xác! 56b=224 nên b=4.
Bạn đã chia cho 14 mà quên chia tiếp cho a=4: 224:14=16, còn phải chia cho 4.
Bạn đã dùng công thức của hình chữ nhật bao ngoài 20ab. Diện tích vườn là 14ab.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
224=14\cdot 4\cdot b=56b, suy ra b=\dfrac{224}{56}=4 m.
Thử lại: 14\cdot 4\cdot 4=224.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tấm bìa hình vuông cạnh (x+3) dm bị cắt bỏ hình vuông cạnh x dm ở một góc. Tính diện tích phần bìa còn lại khi x=5 (đơn vị: đề-xi-mét vuông).
Gợi ý 1. Diện tích còn lại là (x+3)^{2}-x^{2}; có thể khai triển trước rồi mới thay số.
Gợi ý 2. Sau khai triển ta được 6x+9.
Chính xác! 6\cdot 5+9=39.
Bạn chỉ lấy hằng số 9 sau khi khai triển. Còn hạng tử 6x nữa, với x=5 là 30.
Bạn chỉ lấy 6x mà bỏ hằng số. Hãy khai triển đủ: (x+3)^{2}=x^{2}+6x+9, còn thiếu +9.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
(x+3)^{2}-x^{2}=6x+9. Với x=5: 6\cdot 5+9=39 (dm^{2}).
Đối chiếu: 8^{2}-5^{2}=64-25=39. Khai triển và thay trực tiếp cho cùng kết quả.
3 Ghép hình chữ nhật, tam giác và hình thang
Khi hình ghép có tam giác, hệ số một nửa và cạnh xiên trở thành hai chỗ dễ sai nhất.
Mảnh đất ngoài đời hiếm khi chỉ toàn hình chữ nhật. Thường ta gặp hình thang, tam giác, hình vuông ghép với nhau. Nguyên tắc vẫn như cũ: tách thành các hình quen, tính từng phần, rồi cộng . Điểm mới là công thức diện tích tam giác có hệ số \dfrac{1}{2}, và ta phải phân biệt chiều cao với cạnh xiên .
Hình 3. Hình thang vuông tách thành hình chữ nhật AHCD và tam giác vuông HBC (HB = 2x, CH = 2y).
Hình 3 là một hình thang vuông ABCD: đáy nhỏ DC=x, đáy lớn AB=3x, cạnh bên vuông góc AD=2y. Từ C hạ CH vuông góc AB. Khi đó AHCD là hình chữ nhật và HBC là tam giác vuông.
Ví dụ 2 · Diện tích hình thang vuông bằng hai cách
Tính AH và HB. Vì AHCD là hình chữ nhật nên AH=DC=x. Do đó HB=AB-AH=3x-x=2x.
Vì sao làm vậy: muốn biết tam giác HBC có kích thước gì ta phải biết HB. Nó không cho sẵn, phải suy ra từ hình chữ nhật.
Diện tích hình chữ nhật AHCD: x\cdot 2y=2xy. Diện tích tam giác vuông HBC: \dfrac{1}{2}\cdot HB\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot 2x\cdot 2y=2xy.
Vì sao làm vậy: trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông chính là đáy và chiều cao, nên công thức \dfrac{1}{2} đáy nhân chiều cao dùng thẳng được.
Cộng hai phần: S=2xy+2xy=4xy.
Vì sao làm vậy: hai phần không chồng lên nhau và ghép khít thành hình thang.
Đối chiếu bằng công thức hình thang: S=\dfrac{(x+3x)\cdot 2y}{2}=4xy. Hai cách trùng nhau.
Vì sao làm vậy: một kết quả được xác nhận bằng hai con đường độc lập thì đáng tin hơn nhiều.
Lấy cạnh xiên làm chiều cao
Đề cho hình thang vuông có cạnh xiên BC dài 10 m. Nhiều em dùng luôn 10 làm chiều cao khi tính diện tích. Sai: chiều cao là khoảng cách giữa hai đáy, tức AD hoặc CH, vuông góc với đáy. Cạnh xiên luôn dài hơn chiều cao. Với Hình 3, chiều cao là 2y còn cạnh xiên BC=\sqrt{(2x)^{2}+(2y)^{2}}=2\sqrt{x^{2}+y^{2}} lớn hơn 2y.
Quên một nửa
Khi viết diện tích tam giác, nhiều em quên hệ số \dfrac{1}{2} và ra kết quả gấp đôi. Cách tự kiểm tra: một tam giác vuông là một nửa hình chữ nhật cùng hai cạnh góc vuông, nên diện tích tam giác luôn nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật đó.
Sắp xếp các bước để lập công thức diện tích cho một mảnh đất ghép từ hình chữ nhật và tam giác.
Các bước (bấm để chọn)
Chuỗi của bạn
Luyện tập. Ba bài tập tiếp theo dùng chính Hình 3 và một cấu hình tương tự.
Bài 4 Mức 1 · Nhận biết
Với hình thang vuông ở Hình 3, cho x=5 m và y=4 m. Bác Tư lát cỏ nhân tạo cho cả mảnh đất, giá 45\,000 đồng một mét vuông. Hỏi hết bao nhiêu đồng? (Nhập số, không có dấu cách.)