Tam giác vuông, đường cao và hai hình chiếu: bảy hệ thức từ một hình vẽ
Từ một hình vẽ quen thuộc của hình học lớp 9, tự tìm và chứng minh bảy hệ thức: hình chữ nhật ẩn, hệ thức lượng hai tầng, lũy thừa ba, tích các đoạn và đường…
Toán 9 · Hình học · Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Tam giác vuông, đường cao và hai hình chiếu: bảy hệ thức từ một hình vẽ
Trong các bài hình học lớp 9, một hình vẽ cứ trở lại dưới nhiều cái tên: tam giác vuông ABC, đường cao AH, rồi hai hình chiếu HE và HF. Bài này giúp em nhìn ra hình chữ nhật ẩn trong hình, tự tìm ra và tự chứng minh bảy hệ thức, rồi dùng chúng để giải nhanh cả những câu chưa từng gặp.
Khoảng 120 phút Mức: khá đến giỏi Nhìn hình, chứng minh, kiểm bằng số
Em sẽ học: hình chữ nhật AEHF, hệ thức AE·AB = AH bình phương, tích và tổng các đoạn hình chiếu, lũy thừa ba của cosin và sin, tích BE nhân CF, và tính vuông góc của EF với trung tuyến.
1 Bản đồ bài học: một hình vẽ, bảy hệ thức
Nhìn một hình vẽ quen thuộc bằng con mắt của người tìm quy luật.
GV
Cô Lukato
Em hãy tưởng tượng đề bài viết: “Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.” Đó là một câu quen thuộc, và nó đứng sau rất nhiều câu hỏi khác nhau. Bài hôm nay không dạy em từng công thức rời rạc mà dạy em đọc một hình : hình này che giấu những gì, và vì sao.
Các số liệu và câu hỏi trong bài đều do LUKATO tự thiết kế để luyện tập, mô phỏng dạng bài hình học hay gặp ở lớp 9. Điều em cần mang theo chỉ là kiến thức về tam giác đồng dạng, định lí Pythagore và tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Hình 1. Cấu hình của cả bài: tam giác vuông tại A, đường cao AH, hai hình chiếu HE và HF. Phần tô màu là hình chữ nhật AEHF.
Nhìn kĩ Hình 1. Có một tam giác vuông lớn ABC, nhưng bên trong nó ẩn nấp sáu tam giác vuông khác và một hình chữ nhật. Người giải giỏi là người nhìn ra chúng ngay từ lần đầu, còn người giải chậm thường chỉ thấy tam giác lớn rồi loay hoay với những phép tính dài.
Em sẽ làm được gì
- Chỉ ra tất cả các tam giác vuông và hình chữ nhật ẩn trong cấu hình.
- Tự chứng minh bảy hệ thức bằng ba cách: đồng dạng, lượng giác và tọa độ.
- Đổi giữa độ dài các đoạn và các tỉ số lượng giác của góc B.
- Nhận ra khi đề chỉ hỏi bất đẳng thức nhưng thực chất có đẳng thức mạnh hơn.
- Biết lúc nào không được dùng các hệ thức vì cấu hình đã khác đi.
Em cần biết trước
- Tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
- Định lí Pythagore và tỉ số lượng giác \sin, \cos, \tan, \cot của góc nhọn.
- Tính chất của hình chữ nhật: bốn góc vuông, hai đường chéo bằng nhau.
- Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Bảy hệ thức của bài được đánh số Đ1 đến Đ7. Em sẽ gặp lại từng hệ thức ở các mục sau, mỗi hệ thức đều có: hình ảnh, chứng minh, kiểm tra bằng số và bài tập.
- Đ1 (Mục 3): AEHF là hình chữ nhật và EF=AH. Hai hình chiếu tạo ra một hình chữ nhật ẩn; đường chéo EF bằng đường cao AH.
- Đ2 (Mục 4): AE\cdot AB=AH^{2}=AF\cdot AC. Tích của đoạn hình chiếu với cạnh góc vuông bằng bình phương đường cao.
- Đ3 (Mục 5): AE\cdot EB+AF\cdot FC=AH^{2}. Tổng hai tích bằng bình phương đường chéo.
- Đ4 (Mục 6): BE=\dfrac{AB^{3}}{BC^{2}}=BC\cos^{3}B. Đoạn BE là một lũy thừa bậc ba.
- Đ5 (Mục 6): \dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}=1. Bất đẳng thức “nhỏ hơn hoặc bằng 1” thực ra là đẳng thức.
- Đ6 (Mục 7): AE\cdot AF=BE\cdot CF và AH^{3}=BC\cdot BE\cdot CF. Hai tích bằng nhau, đường cao lũy thừa ba.
- Đ7 (Mục 7): EF\perp AM. Đoạn EF vuông góc với trung tuyến kẻ từ A.
Bốn việc với mỗi hệ thức
Cách học bài này: với mỗi hệ thức, em đi qua bốn việc: nhìn (chỉ ra nó trên hình), chứng minh (biết nó từ đâu ra), kiểm bằng số (thử với tam giác có cạnh 15, 20, 25) và dùng (giải bài tập). Một công thức chỉ thật sự thuộc về em khi em làm được cả bốn việc.
Trước khi bắt đầu, em làm ba câu khởi động. Sai cũng không sao: phần giải thích dưới mỗi phương án sẽ chỉ ra em hiểu nhầm ở chỗ nào.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Hệ thức nào sau đây đúng?
Sai. Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với đường cao: AB\cdot AC=BC\cdot AH. Với AB=15, AC=20 thì AB\cdot AC=300, còn AH^{2}=144.
Đúng. Đường cao bình phương bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Sai. Đúng phải là AB^{2}=BH\cdot BC: cạnh góc vuông bình phương bằng hình chiếu nhân cạnh huyền.
Sai. BH+CH=BC là cạnh huyền, không phải đường cao AH.
Trong Hình 1, HE\perp AB và HF\perp AC. Tứ giác AEHF là hình gì?
Sai. Hình thoi cần bốn cạnh bằng nhau, nhưng AE và AF nói chung không bằng nhau.
Đúng. Tứ giác có ba góc vuông (tại A, E, F) là hình chữ nhật.
Sai. Nó chỉ là hình vuông trong trường hợp đặc biệt AB=AC; hình chữ nhật mới là kết luận luôn đúng.
Sai. Hình thang cân không có ba góc vuông.
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=6, AC=8, đường cao AH, trung tuyến AM. Em xét các phát biểu sau.
a) Cạnh huyền BC=10.
Đúng: BC=\sqrt{36+64}=10.
b) Đường cao AH=4{,}8.
Đúng: AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{48}{10}=4{,}8.
c) Hình chiếu BH=3{,}6.
Đúng: BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}=\dfrac{36}{10}=3{,}6.
d) Đường cao AH=5.
Sai: 5 là độ dài trung tuyến AM=\dfrac{BC}{2}. Đường cao luôn ngắn hơn hoặc bằng trung tuyến, và chỉ bằng khi tam giác vuông cân.
2 Nền móng: các hệ thức lượng và họ tam giác đồng dạng
Ôn nhanh năm hệ thức, kèm chứng minh, để làm bàn đạp cho phần chính.
Trước khi khám phá phần mới, ta ôn lại nền móng: các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác vuông. Ở suốt bài, ta dùng ký hiệu a=BC, b=AC, c=AB (cạnh huyền là a). Khi đó a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Ghi nhớ: năm hệ thức lượng
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Khi đó:\begin{aligned}AB^{2}&=BH\cdot BC,\\ AC^{2}&=CH\cdot BC,\\ AH^{2}&=BH\cdot CH,\\ AH\cdot BC&=AB\cdot AC,\end{aligned}\dfrac{1}{AH^{2}}=\dfrac{1}{AB^{2}}+\dfrac{1}{AC^{2}}.
Ví dụ 1 · Vì sao AB^{2}=BH\cdot BC và AH^{2}=BH\cdot CH?
Xét hai tam giác HBA và ABC. Cả hai đều có một góc vuông (tại H và tại A) và chung góc B.
Hai góc bằng nhau đôi một là điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng. Ta không cần thêm gì nữa.
Vậy \triangle HBA\sim\triangle ABC, suy ra \dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}, tức là AB^{2}=BH\cdot BC.
Chú ý thứ tự đỉnh: H\leftrightarrow A, B\leftrightarrow B, A\leftrightarrow C. Viết sai thứ tự sẽ ra tỉ lệ sai.
Tương tự \triangle HAC\sim\triangle ABC cho AC^{2}=CH\cdot BC. Hai tam giác HBA và HAC cũng đồng dạng vì \angle HAB=90^{\circ}-\angle HAC=\angle C.
Đây là mắt xích quan trọng: góc HAB và góc C cùng phụ với góc B.
Từ \triangle HBA\sim\triangle HAC suy ra \dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}, nghĩa là AH^{2}=BH\cdot CH.
Ba tam giác ABC, HBA, HAC đồng dạng với nhau: chỉ cần một lần nhìn ra là ta có cả họ hệ thức.
Ví dụ 2 · Tam giác chuẩn: AB=15, AC=20
Cạnh huyền: BC=\sqrt{15^{2}+20^{2}}=\sqrt{625}=25.
Đây là tam giác đồng dạng với tam giác 3-4-5, tỉ số 5. Ta dùng nó làm “tam giác chuẩn” để kiểm mọi hệ thức của bài.
Đường cao: AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{15\cdot 20}{25}=12.
Hệ thức AH\cdot BC=AB\cdot AC là hai cách tính diện tích: \dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC.
Các hình chiếu: BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}=\dfrac{225}{25}=9 và CH=\dfrac{AC^{2}}{BC}=\dfrac{400}{25}=16.
Kiểm tra: BH+CH=9+16=25=BC.
Kiểm tra chéo: AH^{2}=144=9\cdot 16=BH\cdot CH, và \dfrac{1}{144}=\dfrac{1}{225}+\dfrac{1}{400} (quy đồng mẫu 3600: \dfrac{16}{3600}+\dfrac{9}{3600}=\dfrac{25}{3600}).
Một đáp số đúng phải thỏa mãn mọi hệ thức. Thói quen kiểm chéo sẽ cứu em khỏi nhiều lỗi tính toán.
Bẫy thường gặp
Ba lỗi thường gặp khi dùng hệ thức lượng. (1) Viết AH^{2}=AB\cdot AC: với tam giác chuẩn, vế phải bằng 300 chứ không phải 144. Đúng là AH\cdot BC=AB\cdot AC. (2) Viết BH=\dfrac{AB}{BC} (quên bình phương): cho 0{,}6 thay vì 9. (3) Nhầm hai hình chiếu: BH đi với AB (cạnh có chung đỉnh B), còn CH đi với AC.
GV
Cô Lukato
Một mẹo nhớ: hình chiếu của cạnh góc vuông nào lên cạnh huyền thì “dính” đỉnh của cạnh đó. AB có đầu mút B, nên hình chiếu của nó là BH.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=15, AC=20, đường cao AH. Tính độ dài BH.
Gợi ý 1. Dùng AB^{2}=BH\cdot BC.
Gợi ý 2. Tính BC bằng định lí Pythagore trước: BC=25.
Chính xác! BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}=\dfrac{225}{25}=9.
Đó là đường cao AH, không phải BH. Đề hỏi hình chiếu của AB lên BC.
Đó là CH, hình chiếu của AC. Hình chiếu của AB là BH.
Bạn quên bình phương AB: BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}, không phải \dfrac{AB}{BC}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Từ AB^{2}=BH\cdot BC suy ra BH=\dfrac{AB^{2}}{BC}=\dfrac{15^{2}}{25}=9. Kiểm tra: BH+CH=9+16=25=BC.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=6, AC=8. Tính độ dài đường cao AH.
Gợi ý 1. Tính BC trước.
Gợi ý 2. Dùng AH\cdot BC=AB\cdot AC.
Chính xác! AH=\dfrac{6\cdot 8}{10}=4{,}8.
Số 5 là trung tuyến AM=\dfrac{BC}{2}, không phải đường cao.
Đó là cạnh huyền BC.
Đó là tích AB\cdot AC; chưa chia cho BC.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
BC=10. Từ AH\cdot BC=AB\cdot AC ta có AH=\dfrac{48}{10}=4{,}8. Kiểm tra bằng \dfrac{1}{AH^{2}}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{100}{2304}, nên AH^{2}=23{,}04, AH=4{,}8.
Với tam giác chuẩn AB=15, AC=20: cạnh huyền BC= , đường cao AH= , hình chiếu BH= và CH= . Tích BH\cdot CH= chính là AH^{2}.
Có một điều đáng làm ngay: đếm các tam giác vuông trong Hình 1. Bảng dưới liệt kê chúng cùng góc vuông của mỗi tam giác. Chính tính chất “có góc vuông” là cửa mở cho mọi hệ thức của bài.
Tam giác · Vuông tại · Góc nhọn
ABC · A · Chính nó
HBA · H · Chung góc B
HAC · H · Chung góc C
AEH · E · \angle EAH=\angle C
HEB · E · Chung góc B
AFH · F · \angle FAH=\angle B
HFC · F · Chung góc C
Sáu tam giác vuông nhỏ đều đồng dạng với tam giác lớn ABC. Điều này cũng là lí do các hệ thức của bài đều là “họ hàng” của nhau: mọi tỉ lệ trong bài thực chất là tỉ số đồng dạng viết theo nhiều cách.
3 Hệ thức Đ1: hình chữ nhật nằm ẩn trong hình
Ba góc vuông kéo theo hình chữ nhật, và hình chữ nhật cho ta đường chéo bằng nhau miễn phí.
Hệ thức đầu tiên (Đ1) là hệ thức nền nhất, và cũng là hệ thức dễ bị bỏ qua nhất, vì nó không có “con số” nào cả: nó chỉ nói về hình dạng.
Hệ thức Đ1: hình chữ nhật ẩn
Đ1. Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, E và F là hình chiếu của H trên AB và AC. Khi đó tứ giác AEHF là hình chữ nhật . Suy ra:\begin{aligned}AE&=HF, & AF&=HE,\\ EF&=AH, & AH^{2}&=AE^{2}+AF^{2}.\end{aligned}
Vì sao đúng. Ta có ba góc vuông: \angle EAF=90^{\circ} (giả thiết tam giác vuông tại A), \angle AEH=90^{\circ} (vì HE\perp AB) và \angle AFH=90^{\circ} (vì HF\perp AC). Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Hai đường chéo của hình chữ nhật là AH và EF, và chúng bằng nhau.
Hình 2. Hai đường chéo AH và EF của hình chữ nhật AEHF bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O. Vì vậy EF = AH.
GV
Cô Lukato
Câu “EF=AH” đáng để em dừng lại một chút. E và F là hai điểm mà ta dựng ra sau cùng, còn AH là đường cao ta biết từ đầu. Thế mà độ dài EF lại chính là AH, không cần tính gì thêm. Nhiều bài toán che giấu độ dài EF sau cả một chuỗi tính toán, trong khi chỉ cần nhìn ra hình chữ nhật là xong.
Ví dụ 3 · Tính EF mà không cần tìm E, F
Đề bài: tam giác ABC vuông tại A, AB=15, AC=20. E, F là hình chiếu của H trên AB, AC. Tính EF.
Cách nghĩ tự nhiên là tìm tọa độ hoặc độ dài AE, AF rồi dùng Pythagore. Cách đó đúng nhưng dài.
Nhìn hình: AEHF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, và EF, AH là hai đường chéo của nó.
Chỉ cần thấy hai đoạn “đối diện nhau” trong một hình chữ nhật là biết chúng bằng nhau.
Vậy EF=AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{15\cdot 20}{25}=12.
Kiểm tra bằng cách dài: AE=\dfrac{AH^{2}}{AB}=9{,}6, AF=\dfrac{AH^{2}}{AC}=7{,}2, EF=\sqrt{9{,}6^{2}+7{,}2^{2}}=\sqrt{144}=12. Hai cách cho cùng kết quả.
Kết luận: EF=12.
Cách ngắn cần đúng một nhận xét về hình; cách dài cần ba phép tính. Trong bài thi, sự khác biệt này quyết định thời gian còn lại cho câu sau.
Bẫy: dùng khi không vuông
Hình chữ nhật AEHF chỉ có khi tam giác vuông tại đúng đỉnh đã cho . Nếu em gặp tam giác ABC không vuông và vẫn viết “AEHF là hình chữ nhật, nên EF=AH”, thì chứng minh sụp đổ: góc A khi đó không phải 90^{\circ}, và EF=AH\cdot\sin A, nhỏ hơn AH. Ví dụ: tam giác có \angle A=60^{\circ} cho EF=AH\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87\,AH. Trước khi dùng Đ1, luôn hỏi: góc tại đỉnh chung của AB và AC có bằng 90^{\circ} không?
Bài 3 Mức 1 · Nhận biết
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=6, AC=8. E, F là hình chiếu của H trên AB, AC. Tính EF.
Gợi ý 1. Tứ giác AEHF có ba góc vuông nên là hình gì?
Gợi ý 2. Hai đường chéo của nó là AH và EF.
Chính xác! EF=AH=\dfrac{6\cdot 8}{10}=4{,}8.
Đó là trung tuyến AM. EF bằng AH, không bằng AM.