Lượng giác ngoài đời Toán 9: thang, dốc, bóng nắng, góc nâng và góc hạ
Học cách chọn tam giác vuông và tỉ số sin, cos, tan cho bài thang, đường dốc, góc nâng, góc hạ, bóng nắng. Bài luyện do LUKATO soạn theo dạng.
Toán 9 · Ôn tập học kì I
Lượng giác ngoài đời: thang, dốc, bóng nắng, góc nâng và góc hạ
Bài toán thực tế về góc và khoảng cách đều quy về một việc: tìm tam giác vuông ẩn trong tình huống, gọi đúng tên ba cạnh rồi chọn tỉ số chứa đúng hai cạnh cần dùng. Em sẽ luyện việc đó với thang, đường dốc, tháp, bóng nắng và cả những bài có hai tam giác vuông chung một cạnh.
Khoảng 2 giờ học Mức: khá – giỏi Có đề luyện tổng hợp
Bạn sẽ học: gọi tên ba cạnh đúng vai trò · chọn sin, cos hoặc tan · góc nâng và góc hạ · hai điểm quan sát · làm tròn và kiểm tra hợp lí
1 Vẽ tam giác vuông trước, chọn tỉ số sau
Gọi đúng tên ba cạnh theo góc đang xét.
GV
Cô Lukato
Chào em! Nhiều bạn học thuộc “sin bằng đối chia huyền” rất nhanh, nhưng vẫn sai bài thực tế. Lí do thường không nằm ở công thức, mà ở việc gọi tên ba cạnh : đối, kề hay huyền phụ thuộc vào góc em đang xét. Vì vậy quy tắc số một của bài này là vẽ hình trước, chọn tỉ số sau .
Đọc trước khi học
Chiếc thang, con dốc, bóng nắng hay góc nâng trong bài đều là tình huống LUKATO tự đặt số liệu, luyện đúng dạng lượng giác hay gặp ở bài tổng hợp chứ không sao chép từ tài liệu nào. Mỗi trường ra đề và cho điểm theo cách riêng, vì vậy em nên xem thêm đề cương ôn tập mà thầy cô phát.
Hình 1. Với góc B đang xét: AC là cạnh đối, AB là cạnh kề, BC là cạnh huyền. Nếu đổi sang xét góc C thì vai trò của AB và AC đổi chỗ, còn cạnh huyền vẫn là BC.
Ba tỉ số cần nhớ
Cho tam giác ABC vuông tại A và góc nhọn B đang xét.
- \sin B=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}=\dfrac{AC}{BC}
- \cos B=\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}=\dfrac{AB}{BC}
- \tan B=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}=\dfrac{AC}{AB}
Cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất, nên \sin B và \cos B đều nhỏ hơn 1. Hai góc nhọn phụ nhau (B+C=90^{\circ}) thì \sin B=\cos C và \tan B\cdot\tan C=1.
Có một mẹo nhỏ để kiểm tra vai trò các cạnh: đặt ngón tay vào đỉnh góc đang xét. Cạnh đối là cạnh không chạm vào đỉnh đó, cạnh kề là cạnh góc vuông còn lại chạm vào đỉnh, và cạnh huyền luôn nằm đối diện góc vuông.
Ví dụ 1 · Gọi tên ba cạnh rồi lập ba tỉ số
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5, AC=12. Tính \sin B, \cos B, \tan B và \sin C.
Bước 1. Tính cạnh huyền: BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=25+144=169, nên BC=13.
Vì sao: muốn có sin và cos thì phải biết cạnh huyền; ta dùng định lí Pythagore.
Bước 2. Đối với góc B: cạnh đối là AC=12, cạnh kề là AB=5, cạnh huyền là BC=13.
Vì sao: cạnh đối với B là cạnh không chạm vào đỉnh B, tức AC.
Bước 3. \sin B=\dfrac{12}{13}, \cos B=\dfrac{5}{13}, \tan B=\dfrac{12}{5}.
Vì sao: áp dụng đúng ba định nghĩa ở trên.
Bước 4. Đối với góc C: cạnh đối là AB=5, nên \sin C=\dfrac{5}{13}. Kiểm tra: \sin C=\cos B vì B+C=90^{\circ}.
Vì sao: đổi góc xét thì hai cạnh góc vuông đổi vai trò, còn cạnh huyền không đổi.
Bẫy: nhầm vai trò khi đổi góc
Ở Ví dụ 1, nhiều bạn viết \sin C=\dfrac{12}{13} vì “sin của góc nhọn là số lớn”. Đó là nhầm cạnh đối. Trước khi lập tỉ số, hãy ghi ra ba dòng: “đối =\ldots”, “kề =\ldots”, “huyền =\ldots” cho đúng góc đang xét .
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tam giác ABC vuông tại A có AB=8, AC=15, BC=17. Tính \tan C (nhập phân số).
Gợi ý 1. Với góc C: cạnh đối là cạnh không chạm đỉnh C.
Gợi ý 2. Cạnh đối với C là AB; cạnh kề với C là AC.
Gợi ý 3. \tan C=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}.
Chính xác! \tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{15}.
Đó là \tan B. Với góc C thì cạnh đối là AB, không phải AC.
Đó là \sin C (đối chia huyền), không phải \tan C.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Đối với góc C, cạnh đối là AB=8 và cạnh kề là AC=15. Vậy \tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{15}. Kiểm tra: \tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{15}{8} và \tan B\cdot\tan C=1.
Tam giác ABC vuông tại A. Với góc C, cạnh kề là
Sai. AB là cạnh đối với góc C, vì nó không chạm vào đỉnh C.
Đúng. AC là cạnh góc vuông chạm vào đỉnh C, nên là cạnh kề của C.
Sai. BC là cạnh huyền, không phải cạnh kề.
Sai. Mọi góc nhọn của tam giác vuông đều có một cạnh kề và một cạnh đối.
Tam giác ABC vuông tại A. Em đánh giá các nhận định sau.
a) \sin B và \cos B luôn nhỏ hơn 1.
Đúng: cạnh huyền là cạnh dài nhất nên các thương “đối chia huyền” và “kề chia huyền” nhỏ hơn 1.
b) \tan B luôn nhỏ hơn 1.
Sai: \tan B=\dfrac{AC}{AB} lớn hơn 1 khi AC\gt AB, chẳng hạn ở Ví dụ 1 có \tan B=\dfrac{12}{5}.
c) \sin B=\cos C.
Đúng: cạnh đối của B chính là cạnh kề của C, cùng là AC, và cùng chia cho BC.
d) Đổi từ góc B sang góc C thì cạnh huyền đổi thành AB.
Sai: cạnh huyền luôn đối diện góc vuông, nên vẫn là BC; chỉ có cạnh đối và cạnh kề đổi vai trò.
Sin bằng cạnh đối chia cạnh ; cos bằng cạnh chia cạnh huyền; tan bằng cạnh đối chia cạnh .
2 Cái thang: cạnh huyền, góc và hàm ngược
Từ tình huống quen thuộc nhất đến việc tìm góc bằng máy tính.
Bài “cái thang dựa vào tường” là điểm khởi đầu quen thuộc: mặt đất, bức tường và cái thang tạo thành một tam giác vuông. Thang là cạnh huyền, tường là một cạnh góc vuông, mặt đất là cạnh góc vuông còn lại.
Chọn tỉ số chứa đúng hai cạnh
- Biết thang (huyền) và góc với mặt đất : độ cao đầu thang là cạnh đối, dùng \sin; khoảng cách từ chân thang đến tường là cạnh kề, dùng \cos.
- Biết hai độ dài: dùng tỉ số của hai cạnh đó để tìm góc , rồi bấm nút \sin^{-1}, \cos^{-1} hoặc \tan^{-1} trên máy tính.
- Trước khi bấm máy, kiểm tra máy đang ở chế độ độ (thường hiện chữ D hoặc DEG), không phải chế độ radian.
Ví dụ 2 · Biết cạnh huyền và góc
Một cái thang dài 7 m dựa vào tường thẳng đứng, tạo với mặt đất góc 72^{\circ}. Tính độ cao đầu thang và khoảng cách từ chân thang đến tường (làm tròn đến phần mười).
Bước 1. Vẽ tam giác vuông: huyền là thang 7 m; góc 72^{\circ} ở chân thang; độ cao là cạnh đối, khoảng cách là cạnh kề.
Vì sao: gọi tên ba cạnh trước khi chọn tỉ số, theo góc 72^{\circ} ở chân thang.
Bước 2. Độ cao đầu thang: h=7\sin 72^{\circ}\approx 6{,}657, làm tròn 6{,}7 m.
Vì sao: cạnh đối chia cạnh huyền là \sin, nên đối = huyền nhân \sin.
Bước 3. Khoảng cách: d=7\cos 72^{\circ}\approx 2{,}163, làm tròn 2{,}2 m.
Vì sao: cạnh kề chia cạnh huyền là \cos.
Bước 4. Kiểm tra hợp lí: 72^{\circ} là góc khá lớn, thang dựng khá dốc, nên độ cao phải lớn hơn khoảng cách ngang: 6{,}7\gt 2{,}2. Ngoài ra 6{,}7^{2}+2{,}2^{2}\approx 49{,}7, gần 7^{2}=49.
Vì sao: hai cạnh góc vuông tìm được phải thỏa định lí Pythagore (sai số nhỏ do làm tròn).
Ví dụ 3 · Biết hai độ dài, tìm góc
Một cái thang dài 4{,}5 m, chân thang cách tường 1{,}2 m. Tính góc tạo bởi thang với mặt đất (làm tròn đến phần mười của độ) và độ cao đầu thang (làm tròn đến phần mười của mét).
Bước 1. Chân thang cách tường là cạnh kề với góc \alpha ở chân thang; thang là cạnh huyền.
Vì sao: dữ kiện đã cho là kề và huyền, nên tỉ số trực tiếp là \cos.
Bước 2. \cos\alpha=\dfrac{1{,}2}{4{,}5}=\dfrac{4}{15}\approx 0{,}2667, suy ra \alpha=\cos^{-1}\dfrac{4}{15}\approx 74{,}5^{\circ}.
Vì sao: biết tỉ số thì dùng hàm ngược để tìm góc; đặt máy ở chế độ độ.
Bước 3. Độ cao đầu thang: h=\sqrt{4{,}5^{2}-1{,}2^{2}}=\sqrt{18{,}81}\approx 4{,}337, làm tròn 4{,}3 m.
Vì sao: cạnh góc vuông còn lại tính bằng Pythagore, không cần dùng góc đã làm tròn.
Bước 4. Kiểm tra: 4{,}5\sin 74{,}5^{\circ}\approx 4{,}34, khớp với 4{,}3 m.
Vì sao: tính lại độ cao bằng cách thứ hai để phát hiện sai sót.
Bẫy: máy tính sai chế độ
Nếu máy tính đang ở chế độ radian thì \sin 72 cho 0{,}254 chứ không phải 0{,}951, và độ cao đầu thang thành 1{,}8 m dù thang dựng gần thẳng đứng: vô lí. Luôn kiểm tra chế độ độ bằng cách bấm thử \sin 30: kết quả phải là 0{,}5.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Một cái thang dài 5{,}5 m dựa vào tường, tạo với mặt đất góc 68^{\circ}. Độ cao đầu thang là bao nhiêu mét (làm tròn đến phần mười)?
Gợi ý 1. Thang là cạnh huyền; độ cao đầu thang là cạnh đối với góc 68^{\circ}.
Gợi ý 2. Dùng \sin 68^{\circ}=\dfrac{\text{độ cao}}{5{,}5}.
Gợi ý 3. Độ cao =5{,}5\sin 68^{\circ}. Nhớ đặt máy ở chế độ độ.
Chính xác! 5{,}5\sin 68^{\circ}\approx 5{,}0995, làm tròn 5{,}1 m.
Đó là khoảng cách từ chân thang đến tường (dùng cos). Đề hỏi độ cao đầu thang nên phải dùng sin.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Cạnh đối là độ cao h, cạnh huyền là 5{,}5. Ta có h=5{,}5\sin 68^{\circ}\approx 5{,}5\cdot 0{,}9272=5{,}0995, làm tròn 5{,}1 m. Kiểm tra: khoảng cách chân thang 5{,}5\cos 68^{\circ}\approx 2{,}06 nhỏ hơn độ cao, hợp lí với góc lớn.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Một cái thang dài 6 m, chân thang cách tường 2 m. Góc tạo bởi thang và mặt đất là bao nhiêu độ (làm tròn đến độ)?
Gợi ý 1. Khoảng cách 2 m là cạnh kề với góc ở chân thang.
Gợi ý 2. Cạnh kề chia cạnh huyền: \cos\alpha=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
Gợi ý 3. Dùng \cos^{-1} cho \dfrac{1}{3} (máy ở chế độ độ), rồi làm tròn đến độ.
Chính xác! \cos^{-1}\dfrac{1}{3}\approx 70{,}53^{\circ}, làm tròn 71^{\circ}.
Em đã cắt bỏ phần thập phân của 70{,}53. Làm tròn đến độ phải cho 71, vì 0{,}53\gt 0{,}5.
Đó là góc giữa thang và tường (90-71). Đề hỏi góc với mặt đất.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Cạnh kề là 2, cạnh huyền là 6, nên \cos\alpha=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}. Suy ra \alpha\approx 70{,}53^{\circ}, làm tròn 71^{\circ}. Kiểm tra: \cos 71^{\circ}\approx 0{,}3256, gần \dfrac{1}{3}.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Một xưởng quy định thang không được dựng dốc quá 75^{\circ} so với mặt đất. Một cái thang dài 4 m, chân thang cách tường 1 m. Góc tạo bởi thang với mặt đất là bao nhiêu độ (làm tròn đến độ)?
Gợi ý 1. Cạnh kề là 1, cạnh huyền là 4.
Gợi ý 2. Do đó \cos\alpha=\dfrac{1}{4}=0{,}25.
Gợi ý 3. \cos^{-1}0{,}25\approx 75{,}52^{\circ}; so sánh với giới hạn 75^{\circ}.
Chính xác! \cos^{-1}0{,}25\approx 75{,}52^{\circ}, làm tròn 76^{\circ}. Vì 75{,}52\gt 75, thang dựng hơi thẳng quá quy định: chân thang phải đặt xa tường hơn.
Em làm tròn xuống 75{,}52. Làm tròn đến độ cho 76, và kết luận về quy định dựa trên giá trị 75{,}52\gt 75.
Đó là góc giữa thang và tường (90-76). Đề hỏi góc với mặt đất.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Ta có \cos\alpha=\dfrac{1}{4}, nên \alpha\approx 75{,}52^{\circ}, làm tròn 76^{\circ}. Quy định cho phép tối đa 75^{\circ}; vì 75{,}52^{\circ}\gt 75^{\circ} nên thang chưa đạt: cần dời chân thang ra xa tường hơn (khoảng 4\cos 75^{\circ}\approx 1{,}04 m trở lên).
Lưu ý: nếu so sánh bằng số đã làm tròn 76 hay chưa làm tròn 75{,}52, kết luận đều là “vượt”; nhưng ở mục 7 em sẽ thấy trường hợp làm tròn làm đổi kết luận.
Một thang dài L dựa vào tường, góc với mặt đất là \alpha. Muốn tính khoảng cách từ chân thang đến tường ta dùng
Sai. L\sin\alpha là độ cao đầu thang (cạnh đối), không phải khoảng cách ngang.
Đúng. Khoảng cách từ chân thang đến tường là cạnh kề với góc \alpha, bằng huyền nhân \cos\alpha.
Sai. L là cạnh huyền, không phải cạnh kề, nên không nhân với \tan\alpha.
Sai. Phép chia cho \cos\alpha cho một số lớn hơn L, vô lí vì cạnh góc vuông luôn ngắn hơn cạnh huyền.
3 Đường dốc: góc dốc và độ dốc phần trăm
Sin cho chiều dài dọc dốc, tan cho khoảng cách ngang.
Đường dốc, cầu trượt, đường lăn máy bay đều cho ta một tam giác vuông: chiều dài đo dọc mặt dốc là cạnh huyền, độ chênh cao là cạnh góc vuông đứng, còn khoảng cách theo phương ngang là cạnh góc vuông nằm. Người ta mô tả độ dốc bằng hai cách khác nhau, và em cần phân biệt rõ.
Hai cách nói về độ dốc
- Góc dốc \alpha (tính bằng độ): góc giữa mặt dốc và phương ngang.
- Độ dốc phần trăm : chênh cao chia khoảng cách ngang , nhân 100\%. Vì đó chính là \tan\alpha nên độ dốc \%=100\tan\alpha.
- Hai con số này không bằng nhau: dốc 100\% nghĩa là \tan\alpha=1, tức \alpha=45^{\circ}, chứ không phải 90^{\circ}.
Ví dụ 4 · Góc dốc và độ dốc phần trăm
Một đoạn đường dốc dài 240 m (đo dọc mặt đường) nâng lên cao 15 m. Tính góc dốc (làm tròn đến phần mười của độ) và độ dốc phần trăm (làm tròn đến phần trăm).
Bước 1. Vẽ tam giác vuông: huyền là 240 m, cạnh đối với góc dốc \alpha là 15 m.
Vì sao: dữ kiện là đối và huyền, nên tỉ số trực tiếp nhất là \sin.
Bước 2. \sin\alpha=\dfrac{15}{240}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625, suy ra \alpha=\sin^{-1}0{,}0625\approx 3{,}6^{\circ}.
Vì sao: biết tỉ số hai cạnh thì dùng hàm ngược để tìm góc.
Bước 3. Khoảng cách ngang: \sqrt{240^{2}-15^{2}}=\sqrt{57\,375}\approx 239{,}53 m. Độ dốc phần trăm là \dfrac{15}{239{,}53}\cdot 100\%\approx 6{,}26\%.
Vì sao: độ dốc phần trăm chia cho khoảng cách ngang , không chia cho chiều dài dọc mặt dốc.