Một hình, ba tầng chứng minh: hệ thức đường cao, tiếp tuyến và ba điểm thẳng hàng
Từ một tam giác vuông và hai hình chiếu của chân đường cao, chứng minh một hệ thức độ dài, hai tỉ số bằng nhau và ba điểm thẳng hàng bằng góc, tiếp tuyến và…
Toán 9 · Bồi dưỡng học sinh giỏi · Hình học
Một hình, ba tầng chứng minh: từ hình chữ nhật đến ba điểm thẳng hàng
Chỉ với một tam giác vuông, một đường cao và hai hình chiếu, ta chứng minh liên tiếp ba điều: một đẳng thức độ dài, một cặp tỉ số bằng nhau và ba điểm thẳng hàng. Bài này dạy cách đọc đề cho đúng, dựng hình cho đúng, rồi chọn giữa lập luận hình học thuần túy, hệ tọa độ và vectơ.
Khoảng 100 đến 130 phút, có thể chia hai buổi Mức: giỏi, có phần thử thách Hình học phẳng, hệ thức lượng, tọa độ
Em sẽ học: hệ thức lượng và hình chữ nhật, tam giác cân từ góc bằng nhau, tiếp tuyến và phương tích, chọn hệ tọa độ, chứng minh thẳng hàng bằng vectơ cùng phương.
1 Đọc đề cho đúng trước khi dựng hình
Ba điểm khó của đề nằm ngay ở cách đọc từ "đường thẳng", "đoạn thẳng" và điều kiện AB\lt AC.
Câu hình cuối của bài toán nâng cao Toán 9 thường có ba ý khó dần; bài này đi qua cả ba ý của một câu như thế để em thấy công cụ nào hợp với ý nào.
Đề bài
Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB\lt AC. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB, AC. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với DE cắt đoạn BC tại O.
- Chứng minh AH^{2}=DB\cdot DA+EA\cdot EC.
- Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AO cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh \dfrac{BK}{BH}=\dfrac{CK}{CH}.
- Gọi Q là giao điểm của d và đường thẳng HE; I, J lần lượt là trung điểm của QC và AO. Chứng minh ba điểm K, I, J thẳng hàng.
Trước khi vẽ bất cứ nét nào, hãy đọc lại đề như một người kiểm tra lỗi. Đề dùng ba từ mà học sinh hay đọc lẫn: đoạn thẳng , tia và đường thẳng . Ba từ đó quyết định điểm nằm ở đâu.
Điểm · Xác định bởi · Vị trí
H · chân đường cao từ A · trong đoạn BC
D, E · hình chiếu của H · trong đoạn AB, AC
O · đường vuông góc DE qua A, cắt đoạn BC · trong đoạn BC
K · d cắt đường thẳng BC · chưa biết: có thể ngoài đoạn BC
Q · d cắt đường thẳng HE · chưa biết: có thể ngoài đoạn HE
Hai chữ "đường thẳng" ở dòng K và Q là lời nhắn của người ra đề: đừng vội vẽ K nằm giữa B và C; ta sẽ tính để biết vị trí thật.
GV
Cô Lukato
Cô hay nói với học sinh: hình vẽ đẹp là hình vẽ đúng vị trí , chứ không phải hình vẽ gọn. Nếu em vẽ K giữa B và C chỉ vì hình đó nhìn cân đối thì cả bài chứng minh sau đó dễ dựa vào một tính chất không có thật.
Ý · Câu hỏi · Công cụ chính · Mục
1 · Đẳng thức AH^{2}=DB\cdot DA+EA\cdot EC · hình chữ nhật và hệ thức đường cao · 2
(nền) · Vì sao O là trung điểm BC · góc bằng nhau, tam giác cân · 3
2 · Hai tỉ số \dfrac{BK}{BH} và \dfrac{CK}{CH} bằng nhau · tiếp tuyến, phương tích, đồng dạng · 4
3 · Ba điểm K, I, J thẳng hàng · hai đường song song và định lí Thales; mở rộng: tọa độ, vectơ cùng phương · 5
Có một điều đáng chú ý: ở đề, điểm O chỉ được định nghĩa bằng một đường vuông góc, nhưng ở ý hai và ý ba ta cần biết O là trung điểm của BC . Đó là một phát hiện phải tự chứng minh; ta dành cả mục 3 cho nó.
Đề nói "đường thẳng d cắt đường thẳng BC tại K". Điều nào sau đây được phép kết luận ngay?
Sai. Chữ "đường thẳng" không đảm bảo K thuộc đoạn BC. Cần tính hoặc chứng minh vị trí.
Đúng. Ta chỉ biết K thuộc đường thẳng BC; vị trí trên đường thẳng đó cần được xác định riêng.
Sai. H nằm trong đoạn BC và AH\perp BC, còn d\perp AO; hai đường này không trùng nhau.
Sai. Trung điểm của BC là O, và K khác O.
Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, D, E là hình chiếu của H lên AB, AC.
a) ADHE là hình chữ nhật.
Đúng: \angle A=\angle D=\angle E=90^{\circ}, tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
b) DE=AH.
Đúng: DE và AH là hai đường chéo của hình chữ nhật ADHE.
c) D là trung điểm của AB với mọi tam giác ABC như thế.
Sai: D chỉ là trung điểm của AB khi H là trung điểm của BC, tức khi tam giác vuông cân. Điều này không đúng chung.
d) HD\parallel AC.
Đúng: HD\perp AB và AC\perp AB nên HD\parallel AC.
Tam giác vuông ABC có AB=6, AC=8. Khi đó BC= và AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}= . Nếu AB=6 và AC=8 thì AB\lt AC, đúng với giả thiết của đề.
2 Tầng thứ nhất: hình chữ nhật và hệ thức đường cao
Ý 1 chỉ cần nhìn ra hai tam giác vuông và một hình chữ nhật.
Ý đầu tiên của đề là AH^{2}=DB\cdot DA+EA\cdot EC. Nhìn vế phải: DB\cdot DA là tích hai đoạn nằm trên cạnh AB, còn EA\cdot EC là tích hai đoạn nằm trên cạnh AC. Trong tam giác vuông, tích hai đoạn trên cạnh huyền chính là dạng của hệ thức đường cao . Vậy câu hỏi là: cạnh nào đóng vai cạnh huyền?
Ghi nhớ
Hệ thức đường cao. Trong tam giác vuông, bình phương đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền. Nói cách khác, nếu \triangle XYZ vuông tại Y và YT là đường cao thì YT^{2}=TX\cdot TZ.
Hệ thức này suy ra từ cặp tam giác đồng dạng XTY và YTZ; chứng minh chi tiết và cả họ hệ thức lượng có trong bài “Tam giác vuông, đường cao và hai hình chiếu: bảy hệ thức từ một hình vẽ”.
Áp dụng vào hình của đề: tam giác AHB vuông tại H, có HD\perp AB, nên HD là đường cao xuống cạnh huyền AB. Tương tự, tam giác AHC vuông tại H, có HE\perp AC. Vậy ta có ngay hai đẳng thức, và chỉ còn ghép chúng với hình chữ nhật.
Ví dụ 1 · Chứng minh AH^{2}=DB\cdot DA+EA\cdot EC
Trong tam giác AHB vuông tại H, đường cao HD chia cạnh huyền AB thành DA và DB. Theo hệ thức đường cao, HD^{2}=DA\cdot DB.
Vì sao làm vậy: vế phải của đề có tích DB\cdot DA, đúng dạng "tích hai đoạn trên cạnh huyền".
Trong tam giác AHC vuông tại H, đường cao HE chia cạnh huyền AC thành EA và EC. Do đó HE^{2}=EA\cdot EC.
Vì sao làm vậy: cùng một lý do, áp dụng cho tam giác còn lại.
Cộng hai đẳng thức: DB\cdot DA+EA\cdot EC=HD^{2}+HE^{2}.
Vì sao làm vậy: vế trái đã đúng là vế phải của đề; giờ ta biến đổi vế phải mới.
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, nên HD=AE và HE=AD. Do đó HD^{2}+HE^{2}=AE^{2}+AD^{2}.
Vì sao làm vậy: hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau, nên ta chuyển được hai đoạn HD, HE về hai cạnh AE, AD xuất phát từ A.
Trong tam giác AHD vuông tại D, AH^{2}=AD^{2}+HD^{2}. Mà HD=AE, nên AH^{2}=AD^{2}+AE^{2}. Vậy DB\cdot DA+EA\cdot EC=AH^{2}.
Vì sao làm vậy: định lí Pythagore trong tam giác AHD, với AH là cạnh huyền, đóng lại chuỗi đẳng thức.
Bẫy thường gặp
Sai lầm điển hình: viết HD^{2}=DB\cdot DC hoặc dùng cạnh huyền BC cho cả hai tam giác. Hệ thức đường cao chỉ dùng được khi đường cao hạ xuống cạnh huyền của tam giác vuông đang xét . Với HD, cạnh huyền là AB (của tam giác AHB), không phải BC. Hãy luôn viết ra tên tam giác vuông trước khi viết hệ thức.
Bẫy về vị trí
Sai lầm khác: coi DA và DB là hình chiếu lên BC. Ở đây D nằm trên AB; DA và DB là hai đoạn trên cạnh AB , là hình chiếu của HA và HB lên AB. Chỉ có H nằm trên BC.
Lời giải chỉ dùng hệ thức đường cao và hình chữ nhật. Kiểm tra bằng số với AB=8, AC=15: BC=17, AH=\dfrac{120}{17}, AD=\dfrac{1800}{289}, AE=\dfrac{960}{289}, nên DB=\dfrac{512}{289}, EC=\dfrac{3375}{289} và DB\cdot DA+EA\cdot EC=\dfrac{512\cdot 1800+960\cdot 3375}{289^{2}}=\dfrac{14400}{289}=AH^{2}.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tam giác ABC vuông tại A có AB=3 và AC=4. Tính AH.
Gợi ý 1. Tính diện tích tam giác ABC theo hai cách.
Gợi ý 2. Tính BC bằng định lí Pythagore; diện tích cũng bằng nửa tích AH với BC.
Chính xác! AH=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}=2{,}4.
Bạn quên chia cho BC: AB\cdot AC=12 mới là tích hai cạnh góc vuông, còn AH bằng tích đó chia BC=5.
Đây là độ dài cạnh huyền BC, không phải đường cao AH.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Diện tích tam giác bằng \dfrac{1}{2}AB\cdot AC=6 và cũng bằng \dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{5}{2}AH. Suy ra AH=\dfrac{12}{5}.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Với AB=6 và AC=8, tính giá trị của DB\cdot DA+EA\cdot EC. Nhập dưới dạng phân số hoặc số thập phân.
Gợi ý 1. Theo Ví dụ 1, tổng đó bằng AH^{2}.
Gợi ý 2. Tính AH từ AH\cdot BC=AB\cdot AC.
Chính xác! AH=\dfrac{24}{5} nên AH^{2}=\dfrac{576}{25}=23{,}04.
Đây mới là AH; đề hỏi tổng DB\cdot DA+EA\cdot EC, bằng AH^{2}. Hãy bình phương.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
BC=10, AH=\dfrac{48}{10}=\dfrac{24}{5}. Theo Ví dụ 1, DB\cdot DA+EA\cdot EC=AH^{2}=\dfrac{576}{25}.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Với AB=5 và AC=12, tính độ dài đoạn DE.
Gợi ý 1. DE và AH là hai đường chéo của hình chữ nhật ADHE.
Gợi ý 2. Tính AH từ AH\cdot BC=AB\cdot AC.
Chính xác! DE=AH=\dfrac{60}{13}.
Đây là BC. DE bằng AH, không phải BC.
Đây là \dfrac{AH}{2}, tức nửa đường chéo NE. DE là cả đường chéo, bằng AH.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
ADHE là hình chữ nhật nên DE=AH. Ta có BC=13 và AH=\dfrac{5\cdot 12}{13}=\dfrac{60}{13}.
Trong hình của đề, đẳng thức nào đúng ?
Sai. D nằm trên AB, nên không có đoạn DC trong hệ thức của tam giác AHB.
Đúng. HD là đường cao của tam giác AHB vuông tại H, nên HD^{2}=DA\cdot DB.
Sai. HA\cdot HB bằng HD\cdot AB, theo công thức tính diện tích, không phải HD^{2}.
Sai. Đây là phép cộng độ dài thay vì phép nhân; vế trái có bậc hai, vế phải bậc một.
Kết thúc ý 1 ta có hai điều đáng nhớ: chỉ cần hai tam giác vuông AHB, AHC và một hình chữ nhật là đủ. Chưa cần đến O. Điều này giải thích vì sao đề đặt ý 1 trước: nó không phụ thuộc điều kiện AO\perp DE hay AB\lt AC.
3 Phát hiện then chốt: O là trung điểm của BC
Trước khi làm ý 2, ta phải biết chính xác O là điểm nào; hai cách chứng minh cho hai góc nhìn khác nhau.
Ý 2 và ý 3 của đề đều cần biết O là điểm nào. Nhưng đề chỉ nói "đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại O". Đường vuông góc với DE chẳng liên quan trực tiếp gì đến BC, vậy vì sao nó lại rơi vào một điểm quen thuộc? Ta hãy dò bằng số trước.
Đặt hệ tọa độ với A là gốc, B nằm trên trục hoành, C nằm trên trục tung. Ba tam giác vuông với ba cặp (AB;AC) khác nhau cho kết quả sau: cột hai ghi hệ số góc của DE rồi của AO; cột ba ghi điểm O, cũng chính là trung điểm của BC (mọi số đều được tính bằng chương trình, không đo bằng mắt).
(AB;AC) · Hệ số góc · Điểm O
(3;4) · -\dfrac{3}{4} và \dfrac{4}{3} · \left(\dfrac{3}{2};\ 2\right)
(5;12) · -\dfrac{5}{12} và \dfrac{12}{5} · \left(\dfrac{5}{2};\ 6\right)
(8;15) · -\dfrac{8}{15} và \dfrac{15}{8} · \left(4;\ \dfrac{15}{2}\right)
Ở cả ba dòng, giao điểm O của AO với BC (tính từ hai phương trình đường thẳng) trùng với trung điểm của BC (tính riêng từ hai đầu mút). Dự đoán rất tự nhiên: O là trung điểm của BC , và đường thẳng AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền. Bây giờ ta chứng minh, bằng hai cách khác nhau: cách hình học cho biết vì sao, cách tọa độ cho một phép kiểm tra chắc chắn.
Hình 1. AB = 2, AC = 3 chỉ để vẽ. Hai góc cùng màu cam bằng nhau (góc B và góc AED); hai góc cùng màu xanh bằng nhau (góc C và góc OAC). AO cắt DE tại M và vuông góc với DE.
Ví dụ 2 · Chứng minh O là trung điểm BC bằng góc bằng nhau
Gọi N là giao điểm hai đường chéo AH và DE của hình chữ nhật ADHE. Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên NA=NE.
Vì sao làm vậy: ta cần chuyển góc \angle AED (khó nhìn) về một góc ở đỉnh A; tam giác cân NAE làm việc đó.
Vì NA=NE, tam giác NAE cân tại N nên \angle AED=\angle EAN=\angle EAH. Mà E nằm trên AC nên \angle EAH=\angle CAH.
Vì sao làm vậy: E nằm trên cạnh AC nên tia AE trùng tia AC; ta đọc được góc \angle CAH trong tam giác AHC.
Trong tam giác AHC vuông tại H: \angle CAH=90^{\circ}-\angle ACB. Trong tam giác ABC vuông tại A: \angle ABC=90^{\circ}-\angle ACB. Suy ra \angle CAH=\angle ABC, và do đó \angle AED=\angle ABC.
Vì sao làm vậy: hai góc cùng phụ với \angle ACB thì bằng nhau. Đây là bước chốt của cả bài.
Gọi M là giao điểm của AO và DE; theo giả thiết AM\perp DE. Trong tam giác AME vuông tại M: \angle MAE=90^{\circ}-\angle AED=90^{\circ}-\angle ABC=\angle ACB.
Vì sao làm vậy: điều kiện AO\perp DE của đề được dùng ở đây và chỉ ở đây.
Tia AO trùng tia AM (M nằm trong đoạn DE, O nằm trên tia AM) và tia AE trùng tia AC. Vì vậy \angle OAC=\angle MAE=\angle ACB=\angle OCA. Tam giác OAC cân tại O: OA=OC.
Vì sao làm vậy: hai góc bằng nhau ở đáy cho tam giác cân.
Vì O nằm trong đoạn BC: \angle OAB=90^{\circ}-\angle OAC=90^{\circ}-\angle ACB=\angle ABC=\angle OBA. Vậy OA=OB. Cùng với OA=OC, ta được OB=OC; mà O thuộc đoạn BC nên O là trung điểm của BC.
Vì sao làm vậy: lặp lại đúng lập luận đó cho cạnh AB và kết luận trung điểm.
Quan sát thêm: OA=OB=OC=\dfrac{BC}{2}. Đây chính là tính chất quen thuộc "đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền" nhưng ta đã chứng minh nó trong một bối cảnh khác. Ta sẽ dùng điều này ngay ở mục sau: ba điểm A, B, C cùng cách O một khoảng bằng nhau nên chúng nằm trên một đường tròn tâm O.