Nhìn hình, dựng chứng minh: trung điểm, đường trung bình, tứ giác đặc biệt
Trung tuyến ứng với cạnh huyền, đường trung bình, bốn trung điểm của tứ giác, hình vuông nội tiếp và cách lùi từ kết luận để dựng chứng minh, có 29 bài chấm…
Toán 8 · Hình học phẳng: tứ giác
Nhìn hình, dựng chứng minh: trung điểm, đường trung bình, tứ giác đặc biệt
Hình vẽ giúp em nhìn ra ý tưởng, nhưng chỉ định nghĩa và định lí mới làm nên chứng minh. Bài này dạy cách đi từ một hình vẽ đến một chuỗi lập luận mà mỗi bước đều có lí do.
100 phút Mức: khá – giỏi Có bài tập chấm điểm
Em sẽ học: chọn dấu hiệu nhận biết · trung tuyến ứng với cạnh huyền · đường trung bình và hình bình hành · từ hình chữ nhật đến hình vuông · lùi từ kết luận để tìm hướng
1 Trước khi chứng minh: dấu hiệu, tên đỉnh và thói quen
Chưa cần dựng chứng minh dài. Trước hết ta gom công cụ và học cách đặt câu hỏi đúng.
Một chứng minh hình học giống như một chiếc cầu bắc từ bờ giả thiết sang bờ kết luận . Mỗi nhịp cầu là một câu bắt đầu bằng chữ “vì”: vì đó là trung điểm, vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thứ ba, vì đây là đường trung bình của tam giác. Học sinh thường bị điểm thấp không phải vì không biết định lí, mà vì bỏ mất nhịp cầu: viết “dễ thấy” ở chỗ cần một lí do.
Bài này đi qua bảy tình huống, từ dễ đến khó, theo một trình tự cố định: đọc kĩ đề, vẽ hình đúng, chọn dấu hiệu nhận biết, viết chứng minh, rồi kiểm tra lại bằng số . Mọi hình trong bài đều được vẽ từ tọa độ tính chính xác, và mọi con số đều đã được kiểm tra lại bằng máy tính trước khi đưa vào bài.
Bảng dấu hiệu nhận biết
Để kết luận một tứ giác thuộc loại nào, ta cần dùng đúng một dấu hiệu nhận biết. Bảng dưới đây gom các dấu hiệu em đã học ở lớp 8. Em không cần thuộc lòng ngay, nhưng cần biết nó ở đâu để tra khi cần.
Kết luận · Các cách chứng minh
Hình bình hành · Hai cặp cạnh đối song song. Hoặc hai cặp cạnh đối bằng nhau. Hoặc một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. Hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hoặc hai cặp góc đối bằng nhau.
Hình chữ nhật · Tứ giác có ba góc vuông. Hoặc hình bình hành có một góc vuông. Hoặc hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
Hình thoi · Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hoặc hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. Hoặc hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. Hoặc hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.
Hình vuông · Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. Hoặc hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc. Hoặc hình thoi có một góc vuông. Hoặc hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Để ý một quy luật: hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, nên muốn chứng minh hình vuông ta thường chia làm hai việc . Một việc cho “chữ nhật” (thêm góc vuông hoặc đường chéo bằng nhau) và một việc cho “thoi” (thêm hai cạnh kề bằng nhau hoặc đường chéo vuông góc).
Ba thói quen của người chứng minh giỏi
1. Đọc tên đỉnh theo vòng
Tứ giác ABCD có các cạnh AB, BC, CD, DA; hai đường chéo là AC và BD. Đọc đỉnh theo thứ tự đi quanh biên, không nhảy cóc. Nếu ba đỉnh thẳng hàng thì đó không phải là tứ giác.
2. Tách “đề cho” và “mắt thấy”
Điểm nằm chính giữa, hai đường vuông góc, hai đoạn bằng nhau: chỉ dùng khi đề nói hoặc khi em chứng minh được. Nhìn hình thấy “hình như” không phải là lí do.
3. Lùi từ kết luận
Muốn chứng minh AKDH là hình chữ nhật, hỏi: “dấu hiệu nào cho hình chữ nhật, và mình đã có điều kiện nào?”. Rồi lại hỏi cho điều kiện còn thiếu. Cách nghĩ ngược này gọi là phân tích đi lên , nó giúp em biết cần tìm cái gì ở giả thiết.
Vẽ hình quá đẹp
Nhiều em vẽ tam giác ABC vuông tại A rồi vô tình vẽ luôn AB=AC cho đẹp. Sau đó chứng minh dùng “AB=AC” mà đề không hề cho. Kết luận có thể vẫn đúng trong hình đó nhưng sai với tam giác vuông bất kì. Cách tránh: vẽ tam giác vuông lệch (hai cạnh góc vuông khác nhau, như 6 và 8), để mọi tính chất còn lại trên hình bắt buộc phải được chứng minh.
Khởi động. Ba câu ngắn để kiểm tra điều em đã biết.
Tứ giác ABCD có AB\parallel CD và AB=CD. Kết luận nào chắc chắn đúng?
Sai: hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, đâu có gì bảo đảm điều đó. Hơn nữa hai đáy của hình thang cân không bằng nhau.
Đúng: một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là một dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Sai: chưa có góc vuông hay đường chéo bằng nhau nên chưa thể là hình chữ nhật.
Sai: chưa có hai cạnh kề bằng nhau nên chưa thể là hình thoi.
Xét tứ giác ABCD. Em hãy đánh giá từng phát biểu.
a) Nếu ABCD là hình bình hành có một góc vuông thì ABCD là hình chữ nhật.
Đúng: đây là một dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
b) Nếu ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì ABCD là hình chữ nhật.
Sai: hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau mà không phải hình chữ nhật. Dấu hiệu chỉ đúng khi đã biết ABCD là hình bình hành.
c) Nếu ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì ABCD là hình vuông.
Đúng: hình thoi có hai đường chéo bằng nhau còn là hình chữ nhật nên là hình vuông.
d) Nếu ABCD có hai đường chéo vuông góc thì ABCD là hình thoi.
Sai: chỉ đúng khi ABCD đã là hình bình hành. Ví dụ hình “cái diều” có hai đường chéo vuông góc nhưng không phải hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo là hình chữ nhật; hình bình hành có hai đường chéo là hình thoi.
2 Trung tuyến ứng với cạnh huyền và phép đối xứng
Một hình chữ nhật ẩn trong tam giác vuông cho ta ba kết quả cùng lúc: trung tuyến bằng nửa cạnh huyền, đường trung bình và một hình thoi.
Công cụ đầu tiên là một kết quả rất hay gặp: trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền . Ta sẽ không học thuộc nó, mà nhìn ra nó từ một hình chữ nhật.
Hình 1. Tam giác vuông ABC (AB = 6, AC = 8). D đối xứng với A qua M làm ABDC thành hình chữ nhật; E, F là chân đường vuông góc hạ từ M.
Trong Hình 1, tam giác ABC vuông tại A với AB=6, AC=8 (cố tình chọn hai cạnh khác nhau). Điểm M là trung điểm cạnh huyền BC. Ta lấy điểm D đối xứng với A qua M, tức là M là trung điểm của AD.
Ví dụ 1 · Vì sao trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
Tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại M. M là trung điểm của BC (giả thiết) và của AD (do D đối xứng với A qua M).
Vì sao làm vậy: ta cần một hình đã biết để dựa vào. Đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là dấu hiệu của hình bình hành.
Vậy ABDC là hình bình hành. Nó có góc \angle BAC=90^{\circ} nên là hình chữ nhật.
Vì sao làm vậy: hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau: AD=BC. Mà AM=\dfrac{1}{2}AD, nên AM=\dfrac{1}{2}BC.
Vì sao làm vậy: tính chất của hình chữ nhật, cộng với việc M là trung điểm của AD.
Kiểm tra bằng số: BC=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10 nên AM=5. Khoảng cách từ M tới ba đỉnh A, B, C đều bằng 5.
Vì sao làm vậy: mọi lập luận nên được thử lại trên một ví dụ cụ thể.
Ghi nhớ
Trong tam giác vuông, trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh. Nói cách khác MA=MB=MC. Đây là lí do trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác vuông.
Bây giờ ta khai thác tiếp Hình 1. Hạ ME vuông góc AB tại E và MF vuông góc AC tại F. Tứ giác AEMF có ba góc vuông (tại A, E, F) nên là hình chữ nhật. Vì ME\parallel AC (cùng vuông góc với AB) và M là trung điểm BC, đường thẳng qua M song song AC đi qua trung điểm của AB: vậy E là trung điểm AB. Tương tự F là trung điểm AC. Từ đó AE=3, AF=4, diện tích hình chữ nhật AEMF là 3\cdot 4=12.
Hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF là EF và AM, chúng bằng nhau. Vì thế EF=AM=5. Đây chính là đường trung bình của tam giác ABC (nối trung điểm AB, AC), nên EF=\dfrac{1}{2}BC=5: hai cách tính cho cùng một kết quả.
Áp dụng cho tam giác không vuông
Kết quả “trung tuyến bằng nửa cạnh huyền” chỉ đúng trong tam giác vuông . Có bạn áp dụng cho tam giác thường: “M là trung điểm BC nên AM=\dfrac{1}{2}BC”. Với tam giác có AB=13, AC=13, BC=10, trung tuyến AM=12 nhưng nửa cạnh đáy chỉ là 5. Chiều ngược lại thì đúng: nếu trung tuyến AM=\dfrac{1}{2}BC thì tam giác vuông tại A (vì khi đó M cách đều A, B, C, tức A nằm trên đường tròn đường kính BC).
Còn một hướng khai thác nữa của phép đối xứng. Lấy H đối xứng với M qua đường thẳng AB. Vì A và B nằm ngay trên trục đối xứng AB, nên AH=AM và BH=BM. Kết hợp MA=MB ở trên, cả bốn đoạn AM, MB, BH, HA bằng nhau: AMBH là hình thoi (tứ giác có bốn cạnh bằng nhau). Với AB=6, AC=8 mỗi cạnh của hình thoi này là 5.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tam giác ABC vuông tại A, AB=6, AC=8, M là trung điểm BC. Tính AM.
Gợi ý 1. Tính cạnh huyền BC bằng định lí Pythagore.
Gợi ý 2. Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Chính xác! BC=10 nên AM=5.
Đây là độ dài cạnh huyền BC. Trung tuyến AM chỉ bằng một nửa cạnh huyền.
Bạn đã lấy trung bình cộng \dfrac{6+8}{2}. Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, không phải trung bình hai cạnh góc vuông.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
BC=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10. Trung tuyến ứng với cạnh huyền: AM=\dfrac{BC}{2}=5.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Với Hình 1 (AB=6, AC=8), hạ ME\perp AB, MF\perp AC. Tính độ dài đoạn EF.
Gợi ý 1. AEMF là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
Gợi ý 2. EF và AM là hai đường chéo của hình chữ nhật đó.
Chính xác! Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau: EF=AM=5.
Đây là BC. EF là đường trung bình nên bằng một nửa BC.
AE=3 là một cạnh của hình chữ nhật. Đề hỏi đường chéo EF.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
AEMF là hình chữ nhật nên EF=AM=\dfrac{BC}{2}=5. Cách khác: EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF=\dfrac{1}{2}BC=5.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Với cùng hình, tính diện tích hình chữ nhật AEMF.
Gợi ý 1. E và F là trung điểm của AB và AC.
Gợi ý 2. AE=3 và AF=4.
Chính xác! 3\cdot 4=12.
Đây là diện tích tam giác ABC (\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8). Hình chữ nhật AEMF có hai cạnh là 3 và 4.
Bạn đã nhân 6\cdot 8 (hai cạnh cả tam giác). Cạnh của hình chữ nhật là AE=3 và AF=4.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
AE=\dfrac{AB}{2}=3, AF=\dfrac{AC}{2}=4. Diện tích =3\cdot 4=12. Đối chiếu: diện tích tam giác ABC là \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24; hình chữ nhật AEMF chiếm đúng một nửa, tức 12.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Với H đối xứng với M qua AB, tứ giác AMBH là hình thoi. Tính chu vi của nó (đơn vị: độ dài đã cho ở đề).
Gợi ý 1. Cạnh của hình thoi bằng AM.
Gợi ý 2. Chu vi bằng bốn lần cạnh.
Chính xác! Cạnh 5, chu vi 20.
Bạn mới cộng hai cạnh (hoặc lấy BC). Hình thoi có bốn cạnh, mỗi cạnh 5.
Đây mới là độ dài một cạnh. Chu vi là tổng bốn cạnh.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
AM=MB=BH=HA=5, nên chu vi là 4\cdot 5=20.
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và AM=\dfrac{1}{2}BC. Kết luận nào là đúng?
Sai: chưa có điều kiện nào cho AB=AC.
Sai: tam giác đều có trung tuyến AM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC, khác \dfrac{1}{2}BC.
Đúng: MA=MB=MC nên A nằm trên đường tròn đường kính BC, suy ra \angle BAC=90^{\circ}.
Sai: góc vuông nằm tại đỉnh A, đối diện cạnh BC, không phải tại B.
3 Đường trung bình và bốn trung điểm của một tứ giác
Từ một định lí về tam giác ta chứng minh được một tính chất của mọi tứ giác, và đọc ngay ra điều kiện để nó thành hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Công cụ thứ hai là đường trung bình của tam giác : đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Chỉ một định lí này, kết hợp với dấu hiệu nhận biết hình bình hành, đã giải quyết được cả một lớp bài toán về trung điểm.
Vì sao đường trung bình song song và bằng nửa cạnh thứ ba?
Gọi M, N là trung điểm của AB, AC trong tam giác ABC. Lấy điểm P trên tia MN sao cho N là trung điểm của MP.
Tứ giác AMCP có hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường, nên là hình bình hành. Suy ra CP\parallel AM và CP=AM=MB. Do đó MBCP có cặp cạnh đối MB và CP vừa song song vừa bằng nhau, nên là hình bình hành. Vậy MP\parallel BC và MP=BC. Vì MN=\dfrac{1}{2}MP nên MN\parallel BC và MN=\dfrac{1}{2}BC.
Chú ý cách chứng minh: nó dùng đúng hai dấu hiệu nhận biết hình bình hành mà em đã có trong bảng ở phần một.
Trung điểm bốn cạnh của một tứ giác bất kì
Bây giờ ta dùng đường trung bình cho một tình huống đẹp: lấy một tứ giác ABCD bất kì (không cần đặc biệt gì), rồi nối trung điểm bốn cạnh. Em đoán xem tứ giác tạo thành có đặc biệt không?
Hình 2. M, N, P, Q là trung điểm bốn cạnh. Hai cạnh MN và QP cùng song song với đường chéo AC.
Trong Hình 2, M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Nhìn hình, MNPQ trông giống hình bình hành. Ta thử chứng minh.
Ví dụ 2 · MNPQ luôn là hình bình hành