Bất đẳng thức: dự đoán dấu bằng, dựng bất đẳng thức phụ và chứng minh cực trị
Từ vài phép thử số đến chứng minh trọn vẹn: chặn trên, tự dựng bất đẳng thức phụ, kiểm tra dấu bằng và phân biệt cực trị đạt được với cận không chạm tới…
Toán 9 · Đại số · Bất đẳng thức và cực trị
Từ dự đoán đến chứng minh: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một tổng phân thức
Có ba số không âm cộng lại bằng 3 và một biểu thức gồm ba phân thức trông rất đáng sợ. Thử vài số thì thấy ngay giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là bao nhiêu, nhưng thử số không bao giờ là một lời giải. Bài này dạy em cách biến dự đoán thành chứng minh: tự dựng một bất đẳng thức phụ, kiểm tra từng dấu bằng và phân biệt cực trị đạt được với cận chưa bao giờ chạm tới.
Khoảng 120 phút Mức: giỏi, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 Không dùng đạo hàm
Em sẽ học: tổng và tổng lập phương, tổng các bình phương bằng không, chặn trên bằng cách so sánh mẫu, bất đẳng thức phụ chạm đúng tại điểm dấu bằng, chứng chỉ không âm và sự khác nhau giữa miền không âm với miền dương.
1 Bài toán trung tâm: dự đoán chưa phải là chứng minh
Nhìn bài toán qua tam giác các bộ số và thử số đúng cách.
GV
Cô Lukato
Em hãy nhìn bài toán sau. Nó gọn về đề nhưng dày về ý: đọc xong ta muốn thử ngay vài số, và điều đó rất đúng. Bài học hôm nay xoay quanh câu hỏi: sau khi thử số xong, ta còn phải làm gì nữa để có một lời giải thật sự?
Đề bài của cả bài học
Bài toán trung tâm. Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của\begin{aligned}P={}&\dfrac{a}{b^{2}+3b+1}+\dfrac{b}{c^{2}+3c+1}\\&+\dfrac{c}{a^{2}+3a+1}.\end{aligned}
Lời giải của bài toán trung tâm, Ví dụ 2 và Ví dụ 3 do LUKATO biên soạn. Các bài tập đánh số và ví dụ còn lại là bài luyện LUKATO. Mọi con số đều được kiểm tra bằng máy tính. Em chỉ cần biết hằng đẳng thức, phân thức đại số và tính chất bình phương của một số không âm.
Trước hết ta cần hình dung miền của bài toán. Mỗi bộ (a\,;\,b\,;\,c) không âm có tổng bằng 3 là một điểm trong một tam giác đều, gọi là tam giác các bộ số. Ba đỉnh là ba bộ dồn hết vào một biến, còn tâm là bộ cân bằng (1\,;\,1\,;\,1). Hình 1 ghi giá trị của P tại một số điểm đặc biệt (em sẽ tự kiểm lại vài giá trị trong hai bài tập ngay sau đây).
Hình 1. Mỗi điểm của tam giác là một bộ (a ; b ; c) không âm có tổng 3. Xanh lá: nhỏ nhất; đỏ: ba đỉnh lớn nhất; xanh dương: 1,4 tại ba bộ cùng chu kỳ (2;1;0), (0;2;1), (1;0;2); cam: 2,09 tại ba bộ còn lại.
Có ba điều đập vào mắt em khi xem Hình 1. Thứ nhất, cả ba đỉnh cho cùng một giá trị 3. Thứ hai, tâm cho giá trị \dfrac{3}{5}=0{,}6, nhỏ hơn hẳn mọi điểm khác đã thử. Thứ ba, ba điểm (2\,;\,1\,;\,0), (0\,;\,2\,;\,1), (1\,;\,0\,;\,2) cho cùng một giá trị, và ba điểm còn lại cũng vậy: biểu thức P chỉ đổi giá trị khi ta hoán vị vòng quanh a → b → c → a, chứ không đổi khi ta chỉ đảo hai biến. Ta gọi tính chất đó là hoán vị vòng quanh .
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tính giá trị của P tại (a\,;\,b\,;\,c)=(2\,;\,1\,;\,0). Nhập giá trị dưới dạng phân số hoặc số thập phân.
Gợi ý 1. Viết ba số hạng: \dfrac{a}{b^{2}+3b+1}, \dfrac{b}{c^{2}+3c+1}, \dfrac{c}{a^{2}+3a+1}.
Gợi ý 2. Thay a=2, b=1, c=0: mẫu thứ nhất là 1+3+1, mẫu thứ hai là 0+0+1.
Chính xác! Ba số hạng là \dfrac{2}{5}, \dfrac{1}{1} và 0; cộng lại được \dfrac{7}{5}.
Số 3 là tổng a+b+c, không phải giá trị của P. Hãy thay số vào từng phân thức.
Đó mới chỉ là số hạng thứ nhất. Còn hai số hạng nữa cần cộng vào.
Số hạng thứ hai đúng là 1, nhưng còn số hạng thứ nhất là \dfrac{2}{5}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Số hạng thứ nhất: \dfrac{a}{b^{2}+3b+1}=\dfrac{2}{1+3+1}=\dfrac{2}{5}. Số hạng thứ hai: \dfrac{b}{c^{2}+3c+1}=\dfrac{1}{0+0+1}=1. Số hạng thứ ba: \dfrac{c}{a^{2}+3a+1}=\dfrac{0}{11}=0. Vậy P=\dfrac{2}{5}+1+0=\dfrac{7}{5}.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tính P tại (a\,;\,b\,;\,c)=(1\,;\,2\,;\,0), tức là đảo vị trí của a và b so với bài trước. Kết quả có bằng \dfrac{7}{5} không?
Gợi ý 1. Số hạng thứ nhất bây giờ là \dfrac{1}{2^{2}+3\cdot 2+1}.
Gợi ý 2. Số hạng thứ hai là \dfrac{2}{0+0+1}.
Chính xác! P=\dfrac{1}{11}+2+0=\dfrac{23}{11}. Chỉ đảo hai biến cũng đủ làm giá trị thay đổi.
Đó là giá trị của bộ (2\,;\,1\,;\,0). Ở đây các biến đã đổi chỗ nên mẫu của mỗi phân thức đã khác.
Số hạng thứ hai đúng là 2, nhưng số hạng thứ nhất \dfrac{1}{11} không được bỏ.
Số 3 là tổng a+b+c, không phải giá trị của P.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Số hạng thứ nhất: \dfrac{1}{4+6+1}=\dfrac{1}{11}. Số hạng thứ hai: \dfrac{2}{0+0+1}=2. Số hạng thứ ba: 0. Vậy P=\dfrac{1}{11}+2=\dfrac{23}{11}, lớn hơn \dfrac{7}{5}. Điều này cho thấy P không đối xứng: đổi chỗ hai biến làm giá trị thay đổi.
Hai bài trên cho ta một bài học nhỏ nhưng quan trọng: P chỉ có tính hoán vị vòng quanh, không đối xứng. Sau này, mỗi khi em muốn nói “nhỏ nhất xảy ra khi các biến bằng nhau”, hãy nhớ rằng đó là một điều cần chứng minh chứ không phải một quy tắc tự nhiên.
Hình 2. Đi từ điểm cân bằng (1 ; 1 ; 1) về đỉnh (3 ; 0 ; 0), giá trị của P tăng đều từ 0,6 lên 3. Hai nét đứt là hai giá trị ta sẽ phải chứng minh là nhỏ nhất và lớn nhất.
Hình 2 vẽ giá trị của P dọc theo đoạn thẳng đi từ tâm (1\,;\,1\,;\,1) đến đỉnh (3\,;\,0\,;\,0), với các bộ có dạng (1+2s\,;\,1-s\,;\,1-s), s chạy từ 0 đến 1. Đường cong đi lên đều, rất “ngoan”, và ta muốn kết luận ngay: nhỏ nhất là \dfrac{3}{5}, lớn nhất là 3. Nhưng đó mới là một đường trong vô số đường có thể đi.
Bẫy: thử nhiều số thì thành chứng minh
Thử thật nhiều số rồi kết luận “chắc chắn đúng” là một cạm bẫy có thật. Ví dụ kinh điển: biểu thức n^{2}+n+41 cho số nguyên tố với mọi số tự nhiên n từ 0 đến 39, cả bốn mươi lần đều đúng; nhưng với n=40 ta được 40^{2}+40+41=1681=41^{2}, không phải số nguyên tố. Bốn mươi phép thử chưa chứng minh được điều gì cho tất cả các số.
Một bạn thử 100 bộ số (a\,;\,b\,;\,c) và thấy P luôn lớn hơn hoặc bằng \dfrac{3}{5}. Bạn đó nên làm gì tiếp theo để có lời giải?
Sai. Thêm một nghìn phép thử vẫn chỉ là hữu hạn, còn số bộ (a\,;\,b\,;\,c) là vô hạn.
Sai. Kết quả đẹp chỉ là một gợi ý, giống như n^{2}+n+41 trông rất đẹp cho đến khi n=40.
Đúng. Chứng minh phải bao phủ mọi bộ số, và phải tìm ra điểm dấu bằng để chứng tỏ cận dưới đạt được thật.
Sai. Ba số bằng nhau chỉ cho đúng một điểm (1\,;\,1\,;\,1), là điểm rất đặc biệt, không đại diện cho toàn bộ miền.
Ta xét bài toán trung tâm với a, b, c\ge 0 và a+b+c=3. Em đánh giá các phát biểu sau.
a) Tại (a\,;\,b\,;\,c)=(3\,;\,0\,;\,0) giá trị của P bằng 3.
Đúng: \dfrac{3}{0+0+1}+\dfrac{0}{0+0+1}+\dfrac{0}{9+9+1}=3.
b) Tại (0\,;\,3\,;\,0) giá trị của P bằng 0.
Sai: \dfrac{0}{9+9+1}+\dfrac{3}{0+0+1}+\dfrac{0}{0+0+1}=3. Mỗi đỉnh của tam giác đều cho giá trị 3.
c) Với (2\,;\,1\,;\,0) và (1\,;\,0\,;\,2) giá trị của P bằng nhau.
Đúng: hai bộ này cùng nhận được từ nhau bằng hoán vị vòng quanh, và P không đổi qua phép hoán vị đó. Cả hai bằng \dfrac{7}{5}.
d) Vì P trông “đối xứng”, hoán vị a và b không làm P thay đổi.
Sai: P(2\,;\,1\,;\,0)=\dfrac{7}{5} nhưng P(1\,;\,2\,;\,0)=\dfrac{23}{11}. P chỉ bất biến khi hoán vị vòng quanh.
Từ đây, bài học đi qua bốn chặng. Chặng một, chặn trên: chứng minh P\le 3 và tìm mọi điểm dấu bằng. Chặng hai, chặn dưới: dựng một bất đẳng thức phụ để đưa từng phân thức về một biểu thức bậc nhất. Chặng ba, gom mọi thứ vào một “chứng chỉ” không âm. Chặng bốn, đổi miền từ “không âm” sang “dương” và xem kết luận thay đổi ra sao. Cuối bài, ta áp dụng đúng cách nghĩ đó cho các bài tương tự.
2 Công cụ nền: hai đẳng thức và bất đẳng thức về tích chéo
Chuẩn bị đúng ba dụng cụ trước khi bước vào bài chính.
Mọi chứng minh trong bài đều dựa trên một vài công cụ rất nhỏ. Ta gom chúng lại ở đây để các mục sau chỉ cần nhắc tên. Kí hiệu S=a^{2}+b^{2}+c^{2} và q=ab+bc+ca.
Ghi nhớ: hai đẳng thức nền
Với mọi số thực a,b,c:\begin{aligned}(a+b+c)^{2}&=S+2q,\\ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}&=2S-2q\ge 0.\end{aligned}Từ dòng thứ hai suy ra S\ge q, dấu bằng khi và chỉ khi a=b=c.
Ví dụ 1 · Nếu a+b+c=3 thì ab+bc+ca\le 3
Viết (a+b+c)^{2}=S+2q. Vì a+b+c=3 nên S=9-2q.
Ta biến điều kiện tổng thành một phương trình chỉ có S và q: đây là bước đưa bài toán về ít ẩn hơn.
Dùng S\ge q: 9-2q\ge q, tức 9\ge 3q.
Ta thay S bằng 9-2q để bất đẳng thức chỉ còn một ẩn q.
Chia cho 3: q\le 3, tức ab+bc+ca\le 3.
Chia cho số dương 3 nên chiều bất đẳng thức không đổi.
Dấu bằng chỉ xảy ra khi S=q, tức a=b=c; cùng với a+b+c=3 ta được a=b=c=1.
Luôn kết thúc bằng câu hỏi “khi nào dấu bằng xảy ra?”. Không có điểm dấu bằng thì ta chưa biết cận 3 có đạt được hay không.
Kết quả q\le 3 sẽ được dùng ở Mục 7. Để chắc chắn em hiểu nó chứ không chỉ nhớ nó, ta cho một vài bài tập ngắn.
Bài 3 Mức 1 · Nhận biết
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=6. Giá trị lớn nhất của ab+bc+ca bằng bao nhiêu?
Gợi ý 1. Áp dụng S\ge q và (a+b+c)^{2}=S+2q.
Gợi ý 2. Bất đẳng thức tổng quát: 3q\le (a+b+c)^{2}.
Chính xác! 3q\le 36 nên q\le 12, dấu bằng khi a=b=c=2.
Số 36 là (a+b+c)^{2}. Còn q chỉ bằng một phần ba của nó ở mức tối đa.
Số 9 là giá trị khi tổng bằng 3, tức là q\le 3. Ở đây tổng bằng 6 nên phải nhân lên 4 lần.
Số 18 là \dfrac{36}{2}, tức đã bỏ quên hệ số 3 trong 3q\le (a+b+c)^{2}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Từ S+2q=36 và S\ge q suy ra 36-2q\ge q, tức q\le 12. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c, mà tổng bằng 6 nên a=b=c=2; khi đó q=4+4+4=12. Vậy giá trị lớn nhất là 12.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+c=6 và a^{2}+b^{2}+c^{2}=12. Tính abc.
Gợi ý 1. Tính q=ab+bc+ca từ (a+b+c)^{2}=S+2q.
Gợi ý 2. Tính xong q, so sánh S với q: dấu bằng có xảy ra không?
Chính xác! q=12=S nên a=b=c=2 và abc=8.
Số 6 là tổng a+b+c, không phải tích abc.
Số 12 là ab+bc+ca và cũng là a^{2}+b^{2}+c^{2}, không phải tích.
Đó là giá trị của mỗi biến. Đề yêu cầu tích abc.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Từ 36=12+2q suy ra q=12. Vậy S=q, tức (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=2S-2q=0. Tổng ba bình phương bằng 0 nên cả ba bằng 0, suy ra a=b=c. Kết hợp a+b+c=6 được a=b=c=2, do đó abc=8. Đây là một bài “dấu bằng bị ép”: hai điều kiện đã cho đưa ta vào đúng trường hợp dấu bằng.
Bẫy: nhầm chiều của bất đẳng thức
Nhiều bạn nhớ nhầm chiều của bất đẳng thức và viết “ab+bc+ca\ge 3 vì các số bằng nhau thì bằng 3”. Hãy thử (a\,;\,b\,;\,c)=(3\,;\,0\,;\,0): tổng vẫn bằng 3 nhưng ab+bc+ca=0\lt 3. Đúng phải là q\le 3: tích chéo lớn nhất khi các số cân bằng, và nhỏ dần khi các số dồn về một phía.
Với a+b+c=3 và a,b,c\ge 0, ta có a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2q, nên q\le và a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge . Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= .
Cho a+b+c=3, a,b,c\ge 0. Giá trị nào sau đây KHÔNG thể là giá trị của ab+bc+ca?
Có thể: xảy ra tại (3\,;\,0\,;\,0).
Có thể: xảy ra tại (2\,;\,1\,;\,0), vì 2\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 2=2.
Có thể: xảy ra tại (1\,;\,1\,;\,1), và đó là giá trị lớn nhất.
Đúng. Vì q\le 3 nên 3{,}5 là không thể.
3 Cấu trúc thứ nhất: tổng và tổng lập phương
Đưa một hệ đối xứng về ẩn xy rồi giải phương trình bậc hai.
Trước khi vào bài toán chính, ta ôn lại hai cấu trúc đại số hay xuất hiện ở phần đầu các đề bồi dưỡng. Cả hai cùng dạy một điều: đừng khai triển ngay ; hãy tìm xem đề bài đang cung cấp những đại lượng nào có thể ghép lại với nhau.
Cấu trúc thứ nhất: đề cho tổng x+y và tổng lập phương x^{3}+y^{3}, hỏi tìm x và y. Hai đại lượng cho sẵn đều là biểu thức đối xứng, nên chúng có thể viết qua hai “đồng xu” s=x+y và m=xy.
Ghi nhớ: tổng, tích và phương trình bậc hai
Với mọi số thực x, y:\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=(x+y)^{2}-2xy,\\ x^{3}+y^{3}&=(x+y)^{3}-3xy(x+y).\end{aligned}Nếu biết s=x+y và m=xy thì x, y là hai nghiệm của phương trình t^{2}-st+m=0. Phương trình này có nghiệm thực khi và chỉ khi s^{2}\ge 4m.
GV
Cô Lukato · Tại sao nghĩ ra hướng này
Vì sao lại nghĩ đến xy? Vì đề cho hai thứ đối xứng theo x và y. Bất kì biểu thức đối xứng nào của hai biến đều viết được qua tổng và tích của chúng. Khi đó ta chỉ còn phải tìm một ẩn xy thay vì hai ẩn x, y, và ẩn mới này thường tìm được từ một phương trình bậc nhất.
Ví dụ 2 · Giải hệ x+y=2 và x^{3}+y^{3}=26
Viết x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y). Thay x+y=2: 26=8-6xy.
Ta không thay y=2-x rồi khai triển ngay, vì phải xử lý một đa thức bậc ba. Dùng hằng đẳng thức cho ta một phương trình bậc nhất theo xy.
Giải 26=8-6xy, được 6xy=-18, tức xy=-3.
Dấu âm của xy cho biết hai số x, y trái dấu: một số dương, một số âm.
x, y là nghiệm của t^{2}-2t-3=0, tức (t-3)(t+1)=0. Vậy \{x,y\}=\{3,-1\}.
Kiểm tra điều kiện có nghiệm thực: s^{2}-4m=4+12=16\gt 0. Điều kiện này thỏa nên hai nghiệm thực tồn tại.