Đại số phản biện: triệt tiêu, giữ đủ nghiệm và tự tìm lỗi trong lời giải
Luyện ba thói quen giải đại số: nhìn ra phần triệt tiêu, giữ đủ nghiệm khi đặt nhân tử chung thay cho chia, và tự tìm lỗi trong lời giải. Có 30 bài tập, 2…
Toán 8 - 9 · Tư duy cấu trúc · Đại số
Đại số phản biện: nhìn ra phần triệt tiêu, giữ đủ nghiệm và tự tìm lỗi trong lời giải
Bài này luyện ba thói quen của người giải toán đại số tốt: nhìn ra hạng tử sẽ triệt tiêu trước khi khai triển, không bao giờ làm mất nghiệm khi chia hai vế, và phân biệt kiểm tra bằng vài giá trị với chứng minh cho mọi giá trị. Cuối bài, em sẽ đóng vai người chấm để tìm lỗi trong những lời giải có vẻ hợp lí.
Khoảng 90 đến 120 phút, có thể chia hai buổi Mức: khá đến giỏi Phương trình, biểu thức, chia hết
Em sẽ học: phương trình có bậc cao nhưng rút gọn về bậc nhất, ba kết cục một nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm, đặt nhân tử chung thay cho chia hai vế, biểu thức không phụ thuộc biến, chia hết với điều kiện nguyên.
1 Bản đồ bài học: nghi ngờ đúng chỗ
Sai lầm đại số hiếm khi nằm ở phép tính; nó nằm ở một bước tưởng như luôn đúng.
Hãy bắt đầu bằng một lời giải nhìn rất gọn gàng. Đề bài: giải phương trình (x-7)(x+3)=(x-7)\cdot 2x. Một bạn học sinh làm như sau: "chia cả hai vế cho x-7, được x+3=2x, suy ra x=3". Bài làm có ba dòng, không có phép tính nào sai. Nhưng đáp án thiếu một nghiệm. Nghiệm nào? Vì sao? Nếu em chưa trả lời được thì bài học này viết ra để dành cho em; nếu đã trả lời được, em sẽ thấy bài học còn đi xa hơn thế.
"Phản biện" trong tên bài không có nghĩa là cãi nhau. Nó có nghĩa là em tự hỏi mình sau mỗi bước: bước này có luôn hợp lệ không, hay chỉ hợp lệ trong một vài trường hợp? Người giải giỏi khác người giải nhanh ở đúng chỗ đó.
Thói quen · Câu tự hỏi · Mục
Nhìn cấu trúc · Hạng tử nào sẽ triệt tiêu? · 2, 3
Giữ đủ nghiệm · Mình có chia cho một biểu thức có thể bằng 0 không? · 4
Thử và chứng minh · Mình đã thử vài số hay đã chứng minh cho mọi số? · 5
Tự phản biện · Lời giải này sai ở dòng nào? · 6
Điều kiện · Kết luận này đúng với những số nào? · 7
GV
Cô Lukato
Cô có một quy ước với lớp: mỗi lần em viết "chia hai vế cho", em phải viết ngay một dòng nhỏ bên cạnh: "biểu thức này khác 0 vì...". Nếu không viết được dòng đó thì đừng chia, hãy đặt nhân tử chung. Đây là thói quen đơn giản nhất mà cũng cứu được nhiều điểm nhất.
Ba câu kiểm tra nhanh dưới đây cho em biết mình đang ở đâu. Chưa cần đúng hết.
Sau khi khai triển và rút gọn, một phương trình trở thành 0\cdot x=5. Điều nào đúng?
Sai. Thay x=0 vào: 0\cdot 0=0, không bằng 5.
Đúng. Với mọi x, vế trái luôn bằng 0, không bao giờ bằng 5; nên không có số nào thỏa phương trình.
Sai. Vô số nghiệm xảy ra khi hai vế luôn bằng nhau, tức khi được 0\cdot x=0.
Sai. 5 là vế phải, không phải nghiệm; nhân với 0 thì x nào cũng cho 0.
Xét các phương trình sau khi đã rút gọn hai vế.
a) x+2=x+2 có vô số nghiệm.
Đúng: hai vế giống hệt nhau nên số thực nào cũng thỏa.
b) 3x=3x+1 có đúng một nghiệm.
Sai: chuyển vế được 0=1, vô lí; phương trình vô nghiệm.
c) 0\cdot x=0 có nghiệm x=0 và không có nghiệm nào khác.
Sai: mọi số thực đều thỏa 0\cdot x=0, nên có vô số nghiệm.
d) 2x=8 có đúng một nghiệm x=4.
Đúng: hệ số của x khác 0 nên chia được hai vế cho 2 một cách hợp lệ.
Với (x-7)(x+3)=(x-7)\cdot 2x: nếu x=7 thì hai vế đều bằng . Vậy x=7 thỏa phương trình, còn chia cả hai vế cho x-7 đã làm mất nghiệm x= .
2 Nhìn ra phần triệt tiêu trước khi khai triển
Hai tích có cùng phần bậc cao thì hiệu của chúng chỉ còn bậc thấp; kỹ năng là dự đoán được điều đó và đổi dấu đúng.
Nhiều phương trình nhìn rất đáng sợ vì có tích của nhiều nhân tử, nhưng lại rất hiền: sau khi khai triển, các hạng tử bậc cao triệt tiêu và chỉ còn một phương trình bậc nhất. Kỹ năng đầu tiên là nhìn ra điều đó trước khi khai triển, để biết mình sắp gặp gì.
Dự đoán trước
Dự đoán bằng hệ số cao nhất. Trước khi khai triển, so sánh phần bậc cao nhất của hai tích. Nếu chúng giống nhau (cùng hệ số, cùng bậc) thì khi trừ cho nhau chúng biến mất. Với tích (x+a)(x+b), phần bậc hai luôn là x^{2}; phần bậc nhất luôn là (a+b)x; phần còn lại là số ab.
Hình 1 cho thấy điều đó bằng diện tích. Hai hình chữ nhật (x+5)(x+2) và (x+3)(x+4) có cùng hình vuông x\cdot x và cùng tổng các dải 7x; chúng chỉ khác nhau ở phần góc nhỏ (10 và 12). Cho nên hiệu của hai diện tích luôn bằng 10-12=-2, dù x là bao nhiêu.
Hình 1. Vẽ với x = 4 cho dễ nhìn: cả hai hình đều có phần x bình phương và 7x; chỉ khác phần góc (10 và 12). Vì vậy hiệu của chúng bằng -2 với mọi x, không còn chữ x.
Ví dụ 1 · Hai tích có cùng hệ số cao nhất
Giải (x+4)(x-3)-(x-2)(x+5)=6. Trước hết dự đoán: cả hai tích đều có phần bậc hai là x^{2}, nên x^{2} sẽ triệt tiêu và ta chờ một phương trình bậc nhất.
Vì sao làm vậy: biết trước kết cục giúp em phát hiện ngay nếu tính sai.
Khai triển từng tích riêng: (x+4)(x-3)=x^{2}+x-12 và (x-2)(x+5)=x^{2}+3x-10.
Vì sao làm vậy: khai triển riêng từng tích rồi mới trừ, để không lẫn dấu.
Trừ hai kết quả, nhớ đổi dấu tất cả các hạng tử của tích thứ hai: x^{2}+x-12-x^{2}-3x+10=-2x-2.
Vì sao làm vậy: dấu trừ đứng trước cả nhóm nên tác động lên từng hạng tử trong nhóm.
Phương trình trở thành -2x-2=6, suy ra -2x=8, tức x=-4. Thay lại: (0)(-7)-(-6)(1)=6. Đúng.
Vì sao làm vậy: thay nghiệm vào phương trình gốc là phép kiểm tra rẻ nhất và mạnh nhất.
Bẫy thường gặp
Sai lầm điển hình: viết (x+4)(x-3)-(x-2)(x+5)=x^{2}+x-12-x^{2}+3x-10, tức chỉ đổi dấu hạng tử đầu của tích thứ hai. Khi đó em được 4x-22=6 và x=7, một nghiệm sai. Dấu trừ đứng trước một tích đã được khai triển phải được áp dụng cho cả ba hạng tử của nó. Cách chống lỗi: đặt tích thứ hai trong ngoặc, viết x^{2}+x-12-(x^{2}+3x-10), rồi mới bỏ ngoặc.
Ví dụ 2 · Đổi dấu trước ngoặc và có dấu trừ ở nhiều nơi
Giải 3x(2x-1)-2x(3x+4)=5x+2. Hai tích có phần bậc hai lần lượt là 6x^{2} và 6x^{2}; ta dự đoán chúng triệt tiêu.
Vì sao làm vậy: hệ số cao nhất 3\cdot 2 và 2\cdot 3 bằng nhau.
3x(2x-1)=6x^{2}-3x và 2x(3x+4)=6x^{2}+8x. Vế trái: (6x^{2}-3x)-(6x^{2}+8x)=-11x.
Vì sao làm vậy: -3x-8x=-11x; phần bậc hai đã biến mất.
Phương trình còn -11x=5x+2. Chuyển vế: -16x=2, do đó x=-\dfrac{1}{8}.
Vì sao làm vậy: chuyển 5x sang trái đổi dấu thành -5x, cộng với -11x được -16x.
Kiểm tra: 3x(2x-1)=3\cdot\left(-\dfrac{1}{8}\right)\cdot\left(-\dfrac{5}{4}\right)=\dfrac{15}{32} và 2x(3x+4)=2\cdot\left(-\dfrac{1}{8}\right)\cdot\dfrac{29}{8}=-\dfrac{29}{32}. Hiệu bằng \dfrac{15}{32}+\dfrac{29}{32}=\dfrac{11}{8}, và vế phải 5x+2=-\dfrac{5}{8}+2=\dfrac{11}{8}. Đúng.
Vì sao làm vậy: nghiệm phân số dễ tính nhầm; kiểm tra từng tích riêng rồi mới trừ.
Nghiệm là phân số không có gì đáng sợ: hệ số của x khác 0 thì phương trình bậc nhất luôn có đúng một nghiệm, dù nghiệm đó lẻ.
Ví dụ 3 · Ba nhân tử và bậc ba triệt tiêu
Giải (x-1)(x+2)(x+4)-x^{2}(x+5)=10. Vế trái có bậc ba: phần cao nhất của tích thứ nhất là x^{3}, của tích thứ hai cũng là x^{3}. Ta chờ x^{3} triệt tiêu, và mong x^{2} cũng vậy.
Vì sao làm vậy: khi có ba nhân tử, phải kiểm tra cả bậc hai chứ không chỉ bậc ba.
(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2; nhân với x+4: (x^{2}+x-2)(x+4)=x^{3}+5x^{2}+2x-8.
Vì sao làm vậy: nhân từng bước hai nhân tử một, rồi nhân với nhân tử thứ ba.
x^{2}(x+5)=x^{3}+5x^{2}. Hiệu =x^{3}+5x^{2}+2x-8-x^{3}-5x^{2}=2x-8.
Vì sao làm vậy: cả x^{3} lẫn 5x^{2} đều triệt tiêu; ta chỉ còn phần bậc nhất.
Từ 2x-8=10 suy ra x=9. Kiểm tra bằng số: 8\cdot 11\cdot 13-81\cdot 14=1144-1134=10. Đúng.
Vì sao làm vậy: số lớn chỉ là phép nhân thông thường; máy tính hay giấy nháp đều được.
Bẫy về bậc của phương trình
Sai lầm điển hình: thấy x^{3} và kết luận "đây là phương trình bậc ba, phải dùng công thức phức tạp". Bậc của phương trình chỉ được xác định sau khi khai triển và gom các hạng tử đồng dạng. Ở Ví dụ 3, bậc ba nằm ngay trong đề nhưng biến mất ngay sau bước thứ ba.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Giải phương trình 3(x-2)-2(x+1)=5.
Gợi ý 1. Bỏ ngoặc: nhân 3 với từng hạng tử, nhân -2 với từng hạng tử.
Gợi ý 2. Gom các hạng tử chứa x, rồi các số.
Chính xác! 3x-6-2x-2=x-8=5 nên x=13.
Từ x-8=5 bạn đã chuyển -8 sang vế phải mà không đổi dấu, thành x=5-8. Chuyển vế phải đổi dấu: x=5+8=13.
Bạn đã đổi dấu sai ở -2(x+1), viết thành -2x+2 nên được x-4=5. Nhân -2 với 1 cho -2, không phải +2.
Đây là hệ số của x trong 3(x-2), không phải nghiệm.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
3(x-2)=3x-6 và -2(x+1)=-2x-2. Cộng lại: x-8=5, suy ra x=13.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Giải phương trình x(x+4)-x(x-3)=21.
Gợi ý 1. Hai tích có cùng phần x^{2}.
Gợi ý 2. Khai triển: x^{2}+4x-x^{2}+3x.
Chính xác! 7x=21 nên x=3.
Bạn đã viết -x(x-3)=-x^{2}-3x nên còn 4x-3x=x=21. Khi bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước: -x\cdot(-3)=+3x, nên đúng là 7x=21.
Bạn đã lấy 21-7. Từ 7x=21 phải chia hai vế cho 7, không trừ đi 7.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
x(x+4)-x(x-3)=x^{2}+4x-x^{2}+3x=7x. Phương trình thành 7x=21, nên x=3.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Giải phương trình (x+2)(x-5)-(x-1)(x-6)=8.
Gợi ý 1. Dự đoán: x^{2} sẽ triệt tiêu.
Gợi ý 2. (x+2)(x-5)=x^{2}-3x-10 và (x-1)(x-6)=x^{2}-7x+6.
Chính xác! Hiệu bằng 4x-16, và 4x-16=8 cho x=6.
Bạn đã quên đổi dấu +6 khi bỏ ngoặc có dấu trừ nên được 4x-4=8. Đúng là -10-6=-16, không phải -10+6=-4.
Từ 4x-16=8 bạn đã chuyển -16 sang vế phải mà không đổi dấu, thành 4x=-8. Đúng là 4x=8+16=24.
Khi x=1 thì vế trái là 3\cdot(-4)-0=-12, không bằng 8.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
x^{2}-3x-10-(x^{2}-7x+6)=4x-16. Từ 4x-16=8 suy ra x=6. Thay lại: 8\cdot 1-5\cdot 0=8. Đúng.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Giải phương trình 2x(3x-4)-3x(2x-1)=x-12.
Gợi ý 1. 6x^{2} ở hai tích triệt tiêu.
Gợi ý 2. Vế trái còn -8x+3x=-5x.
Chính xác! -5x=x-12 nên -6x=-12, x=2.
Từ -6x=-12 chia hai vế cho -6 được 2, không phải -2.
Đây là số ở vế phải; còn phải giải phương trình.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
2x(3x-4)=6x^{2}-8x, 3x(2x-1)=6x^{2}-3x. Hiệu =-5x. Từ -5x=x-12 suy ra x=2.
Bài 5 Mức 3 · Thách thức
Giải phương trình (x+2)(x-3)(x+1)-x^{3}=8.
Gợi ý 1. (x+2)(x-3)=x^{2}-x-6.
Gợi ý 2. Nhân với x+1: x^{3}+x^{2}-x^{2}-x-6x-6.
Chính xác! Vế trái bằng x^{3}-7x-6-x^{3}=-7x-6; từ -7x-6=8 suy ra x=-2.
Từ -7x=14 suy ra x=-2; bạn có thể đã bỏ dấu âm.
Đây là giá trị của -7x (vì -7x=14) chứ chưa phải x; còn phải chia hai vế cho -7.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
(x^{2}-x-6)(x+1)=x^{3}+x^{2}-x^{2}-x-6x-6=x^{3}-7x-6. Trừ x^{3}: -7x-6=8, suy ra -7x=14, x=-2.
Phương trình nào sau khi khai triển và rút gọn chắc chắn chỉ còn bậc nhất (hoặc mất luôn x)?
Đúng. Cả hai vế có phần x^{2} với cùng hệ số 1, nên khi chuyển vế x^{2} biến mất.
Sai. Vế phải có 2x^{2}, vế trái chỉ có x^{2}; còn lại -x^{2} sau khi chuyển vế nên vẫn bậc hai.
Sai. Vế trái có x^{2}, vế phải có 3x^{2}; chuyển vế còn -2x^{2}+3x=0, bậc hai.
Sai. Vế trái có x^{2}, vế phải có x^{2}+2x^{2}=3x^{2}; chuyển vế còn -2x^{2}+4=0, vẫn bậc hai.
3 Ba kết cục: một nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm
Sau khi rút gọn, hệ số của x và số ở vế còn lại quyết định tất cả.
Một phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax=b. Sau khi rút gọn, chỉ có ba kết cục, và kết cục nào xảy ra chỉ phụ thuộc vào hệ số a và số b.
Sau rút gọn · Điều kiện · Kết luận
ax=b · a\ne 0 · Đúng một nghiệm x=\dfrac{b}{a}
0\cdot x=b · b\ne 0 · Vô nghiệm
0\cdot x=0 · không có · Vô số nghiệm
Hình 2 vẽ ba kết cục đó như ba đường thẳng trên mặt phẳng, với vế trái trừ vế phải là hàm số y của x. Nghiệm của phương trình chính là hoành độ giao điểm của đường thẳng với trục hoành. Đường xiên cắt trục đúng một lần; đường ngang cách trục một khoảng không cắt lần nào; đường ngang nằm trùng trục thì mọi điểm đều là giao điểm.
Hình 2. Sau khi khai triển và rút gọn, mỗi phương trình có dạng (biểu thức) = 0. Nghiệm là hoành độ giao điểm của đường thẳng với trục hoành.
Đọc kết cục
Cách đọc nhanh. Chuyển tất cả về một vế để được dạng ax+c=0 (hệ số của x đã rút gọn là a). Nếu a\ne 0: một nghiệm. Nếu a=0: nhìn số c; c\ne 0 thì vô nghiệm, c=0 thì vô số nghiệm. Đừng đọc kết luận từ dạng ban đầu của đề, hãy đọc từ dạng đã rút gọn.
Ví dụ 4 · Cùng đề, ba đáp án khác nhau
Giải 3(x-1)=2x+5. Khai triển: 3x-3=2x+5. Chuyển vế: x=8. Hệ số của x sau rút gọn là 1, khác 0: đúng một nghiệm.
Vì sao làm vậy: hệ số của x sau rút gọn quyết định kết cục.
Giải (x+3)^{2}-x(x+6)=12. Khai triển: x^{2}+6x+9-x^{2}-6x=9. Phương trình trở thành 9=12, tức 0\cdot x=-3. Vô nghiệm.
Vì sao làm vậy: cả x^{2} lẫn 6x đều biến mất, chỉ còn hai số khác nhau.
Giải (2x+1)^{2}-4x(x+1)=1. Khai triển: 4x^{2}+4x+1-4x^{2}-4x=1. Phương trình trở thành 1=1, luôn đúng: vô số nghiệm.