Tỉ số bất biến trong cấu hình hai tiếp tuyến
Tổ chức chuỗi chứng minh từ tiếp tuyến–vuông góc–song song–đồng dạng để đưa hai tỉ số về cùng mẫu và xác nhận giá trị bất biến 1 bằng mô hình tọa độ tổng…
Chuyên đề hình học chứng minh · THCS
Tỉ số bất biến trong cấu hình hai tiếp tuyến
Một biểu thức đầy độ dài lại luôn bằng 1. Chìa khóa là nối ba “cầu”: bán kính vuông góc tiếp tuyến, hai tiếp tuyến từ một điểm bằng nhau và đường song song tạo tỉ số.
Lớp 9 Đường tròn Hai lời giải độc lập Mức độ 4/5 35–45 phút
Kiểm chứng: Kết quả được kiểm tra lại bằng cả suy luận hình học lẫn tọa độ tổng quát.
Sáu mảnh ghép của cấu hình
1 Hai vuông góc EA \perp OA và ED \perp OD vì EA, ED là tiếp tuyến.
2 Hai đoạn bằng EA = ED: hai tiếp tuyến kẻ từ cùng điểm E.
3 Đường phân giác EO phân giác góc tạo bởi hai tiếp tuyến EA và ED.
4 Song song ẩn OM \perp AB và EA \perp AB nên OM \parallel EA.
5 Tam giác cân Góc MOE = MEO, suy ra MO = ME.
6 Bất biến ED/EM - OD/OC = 1, không phụ thuộc bán kính hay vị trí C.
Giải phẫu bài toán trong 5 tầng
1. Đọc hình đúng: mọi quan hệ phải có lí do
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C nằm trên tia đối của tia BA, tức là A, O, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó và C ở ngoài đường tròn về phía B. Từ C kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn tại D. Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng CD tại E. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc AB, cắt CE tại M.
Hình chỉ minh họa quan hệ, không được dùng để suy ra độ dài “trông có vẻ bằng nhau”. Mọi kết luận phải xuất phát từ giả thiết hoặc định lí. Chẳng hạn OD = OA vì đều là bán kính; còn ME = MO cần chứng minh.
P = ED/EM - OD/OC
Kiểm tra mẫu số: M khác E và O khác C trong cấu hình hợp lệ, nên EM > 0 và OC > 0. Hai phân thức đều xác định.
2. Chuỗi hình học: từ tiếp tuyến đến tam giác cân MOE
- EA là tiếp tuyến tại A nên EA \perp OA. Vì OA nằm trên AB, suy ra EA \perp AB.
- OM được dựng vuông góc AB. Hai đường cùng vuông góc AB nên OM \parallel EA.
- EA và ED là hai tiếp tuyến từ E, nên EA = ED. Hai tam giác vuông EAO và EDO có EO chung, OA = OD; vì vậy chúng bằng nhau.
- Từ hai tam giác bằng nhau, \angle AEO = \angle OED. Do M nằm trên ED, \angle OED = \angle MEO.
- Do OM \parallel EA, \angle MOE = \angle AEO. Vậy \angle MOE = \angle MEO, suy ra tam giác MOE cân tại M và MO = ME.
Chuỗi này rất quan trọng: tiếp tuyến → vuông góc → song song → góc bằng → tam giác cân . Nếu bỏ qua một mắt xích, lời giải sẽ trở thành khẳng định không có căn cứ.
Cách nhớ: EO vừa là cạnh huyền chung của hai tam giác vuông EAO, EDO, vừa là đường phân giác góc AED. Đường OM song song EA “chuyển” nửa góc tại E sang góc tại O.
Một hệ quả dùng ngay
Vì EA = ED và MO = ME, ta có:
ED/EM = EA/MO.
Đây là cách đổi phân thức chứa hai đoạn trên tiếp tuyến thành một tỉ số nằm trong cặp tam giác đồng dạng.
3. Lời giải hình học hoàn chỉnh: biến hai phân thức về cùng mẫu
BÀI TOÁN TRỌNG TÂM
Với cấu hình trên, tính P = ED/EM - OD/OC.
Bước A — tam giác đồng dạng
Xét tam giác CMO và CEA. Ta có \angle MCO = \angle ECA vì CM, CE cùng một đường thẳng và CO, CA cùng một đường thẳng; đồng thời \angle CMO = \angle CEA vì OM \parallel EA. Do đó:
\triangle CMO \sim \triangle CEA \Rightarrow EA/MO = CE/CM = CA/CO.
Từ ED = EA và EM = MO, suy ra ED/EM = CE/CM.
Bước B — đổi phân thức còn lại
OD = OA vì đều là bán kính. Từ đồng dạng ở trên, OA/OC = ME/MC. Có thể thấy điều này qua CA/CO = CE/CM: vì CA = CO + OA và CE = CM + ME, trừ 1 ở hai vế ta được OA/CO = ME/CM. Vì vậy:
OD/OC = OA/OC = ME/MC.
Bước C — trừ
Do C, M, E thẳng hàng và M nằm giữa C, E nên CE = CM + ME. Khi đó:
P = CE/CM - ME/CM = (CE - ME)/CM = CM/CM = 1.
Kết quả: ED/EM - OD/OC = 1. Giá trị không phụ thuộc bán kính đường tròn và không phụ thuộc C cách O bao xa, miễn C nằm ngoài đường tròn đúng như giả thiết.
Điểm tinh tế: không viết ngay OD/OC = ME/MC nếu chưa chỉ ra OD = OA và quan hệ từ hai tam giác đồng dạng. Một dòng ngắn vẫn phải đủ căn cứ.
4. Kiểm chứng tọa độ tổng quát: không dựa vào cảm giác hình vẽ
Đặt O(0,0), bán kính r > 0, A(-r,0), B(r,0), C(c,0) với c > r. Gọi s = \sqrt{c^2 - r^2} > 0. Tiếp điểm phía trên là D(r^2/c, rs/c). Đường CD có hệ số góc -r/s, nên phương trình có thể viết y = -r(x - c)/s.
Tiếp tuyến tại A là x = -r. Thay vào phương trình CD:
E(-r, r(c + r)/s).
Đường qua O vuông góc AB là x = 0; giao với CD:
M(0, rc/s).
Tính độ dài bằng công thức khoảng cách. Vì E, M, D cùng nằm trên một đường có hệ số góc -r/s, độ dài ứng với độ chênh hoành độ \Delta x bằng |\Delta x|\sqrt{1 + r^2/s^2} = |\Delta x|c/s.
- EM: |0 - (-r)|c/s = rc/s.
- ED = EA = r(c + r)/s, dùng tính chất hai tiếp tuyến hoặc tính trực tiếp.
- OD = r và OC = c.
ED/EM = (c + r)/c = 1 + r/c; OD/OC = r/c.
Do đó P = (1 + r/c) - r/c = 1 . Đây là phép kiểm tra độc lập trên mọi r > 0 và c > r, không phải một hình cụ thể.
r · c · ED/EM · OD/OC · Hiệu
3 · 5 · 8/5 · 3/5 · 1
5 · 13 · 18/13 · 5/13 · 1
8 · 17 · 25/17 · 8/17 · 1
Ý nghĩa của “bất biến”: từng phân thức thay đổi theo r/c, nhưng cùng chứa phần r/c. Phép trừ làm phần phụ thuộc cấu hình triệt tiêu, chỉ còn 1.
5. Bài luyện biến thể, đáp án đầy đủ và bảng tự kiểm chứng minh
BÀI 1 · NHẬN DẠNG
Trong cấu hình gốc, giải thích vì sao EO là phân giác của góc AED mà không viện dẫn định lí “hai tiếp tuyến” như một hộp đen.
Giải: \triangle EAO và \triangle EDO vuông tại A, D; có EO chung và OA = OD. Hai tam giác bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông, nên \angle AEO = \angle OED. Vậy EO là phân giác.
BÀI 2 · ĐỔI DỮ KIỆN
Cho bán kính r = 5 cm, OC = 13 cm. Tính riêng ED/EM và kiểm tra hiệu P.
Giải: từ kiểm chứng tổng quát, ED/EM = 1 + r/c = 1 + 5/13 = 18/13; OD/OC = 5/13. Do đó P = 13/13 = 1.
BÀI 3 · ĐẢO SUY LUẬN
Nếu biết ED/EM = 7/4, hãy tìm OD/OC.
Giải: vì ED/EM - OD/OC = 1 nên OD/OC = 7/4 - 1 = 3/4. Giá trị này nhỏ hơn 1, phù hợp với OD = r < OC vì C ở ngoài đường tròn.
BÀI 4 · PHÁT HIỆN LỖI
Một bạn viết “OM \parallel AE nên \triangle OME \sim \triangle AOE”. Hãy chỉ ra lỗi.
Giải: hai tam giác OME và AOE không có cặp cạnh tương ứng nằm trên cùng hai đường theo cách đủ để suy ra đồng dạng; hơn nữa điểm M nằm trên CE chứ không nằm trên OE. Cặp đúng là \triangle CMO và \triangle CEA.
Bốn lỗi hay mất điểm
Lỗi · Vì sao sai · Sửa thế nào
OA \parallel OC · Chúng cùng một đường thẳng, không gọi là song song phân biệt. · Viết A, O, C thẳng hàng.
ED = EM · Không có định lí nào cho hai đoạn này bằng nhau. · Đúng là ED = EA và EM = MO.
Quên thứ tự điểm · Không thể viết CE - ME = CM nếu M không nằm giữa. · Xác nhận M thuộc đoạn CE từ cấu hình.
Chia cho đoạn 0 · Tỉ số cần mẫu khác 0. · Nêu EM, OC, CM đều dương.
Checklist 60 giây
□ Đã dùng bán kính vuông góc tiếp tuyến
□ Đã chứng minh EA = ED
□ Đã chỉ ra OM \parallel EA
□ Đã chứng minh EM = OM
□ Cặp đồng dạng là CMO và CEA
□ Hai phân thức đã về cùng mẫu CM
Câu chốt để nhớ: Với một biểu thức hình học “trừ hai tỉ số”, đừng tính từng độ dài trước. Hãy tìm cách đưa hai tỉ số về cùng mẫu để phần phụ thuộc hình vẽ tự triệt tiêu.
Lời giải rút gọn thứ ba — đi thẳng qua tỉ số trên đường thẳng AC:
Từ \triangle CMO \sim \triangle CEA, ta có EA/MO = CA/CO. Kết hợp ED = EA và EM = MO suy ra ED/EM = CA/CO. Mặt khác OD = OA vì cùng là bán kính. Do A, O, C thẳng hàng theo thứ tự A–O–C nên CA = CO + OA. Vì thế:
P = CA/CO - OA/OC = (CA - OA)/OC = CO/OC = 1.
Lời giải này và lời giải “cùng mẫu CM” dùng chung hai nền móng — hai tiếp tuyến bằng nhau và cặp tam giác đồng dạng — nhưng kết thúc trên hai đường khác nhau. Nếu một lời giải bị nhầm thứ tự C–M–E, cách dùng CA = CO + OA vẫn cho một phép đối chiếu độc lập.
Kiểm tra điều kiện của bất biến
- C phải nằm ngoài đường tròn, nên OC > OD = r và các tiếp tuyến từ C mới tồn tại.
- M là giao điểm xác định của CE với đường qua O vuông góc AB; trong cấu hình đã cho, M nằm giữa C và E.
- Các mẫu EM, OC, CM đều dương; không có phép chia cho 0.
- Khi r hoặc OC thay đổi, hai tỉ số riêng lẻ thay đổi nhưng phần OA/OC xuất hiện ở cả hai và bị triệt tiêu.
Câu tự luận 90 giây: Hãy viết đúng ba dòng gồm “cặp tam giác đồng dạng”, “hai đoạn bằng nhau” và “thứ tự A–O–C”. Nếu thiếu một trong ba, kết luận 1 chưa được bảo vệ đầy đủ.
Năng lực đích: tổ chức chứng minh thành chuỗi định lí có căn cứ, phát hiện đại lượng bất biến và xác nhận kết quả bằng mô hình tọa độ tổng quát.