Nhân tử và nghiệm: tìm cấu trúc, kiểm tra và biết khi dừng
Chứng minh mối liên hệ giữa nghiệm và nhân tử, phân biệt hệ số nguyên với nghiệm thực, nhận nghiệm lặp qua dấu và phân tích tổng nhiều hạng mà không mất miền.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Nhân tử và nghiệm: tìm cấu trúc, kiểm tra và biết khi dừng
Chứng minh mối liên hệ giữa nghiệm và nhân tử, phân biệt hệ số nguyên với nghiệm thực, nhận nghiệm lặp qua dấu và phân tích tổng nhiều hạng mà không mất miền.
1. Phân tích thành nhân tử giúp trả lời câu hỏi gì?
Viết một đa thức thành tích không chỉ nhằm làm biểu thức ngắn hơn. Dạng tích cho biết khi nào đa thức bằng không, dấu của nó ở từng miền và những nhân tử nào lặp lại. Ngược lại, một nghiệm đã biết có thể giúp tìm một nhân tử. Hai chiều liên hệ này tạo nên một phương pháp có kiểm chứng.
Phân tích thành nhân tử nghĩa là viết một đa thức thành tích các đa thức đơn giản hơn, thường có bậc dương. Ví dụ x^2-1=(x-1)(x+1). Việc viết x^2-1=1\cdot(x^2-1) đúng nhưng không làm lộ cấu trúc mới.
Còn câu “phân tích đến hết” phải đi cùng loại hệ số được phép. Trên hệ số nguyên, x^2-2 không tách được thành hai nhân tử bậc nhất hệ số nguyên. Trên hệ số thực, nó tách được thành (x-\sqrt2)(x+\sqrt2). Không có mâu thuẫn: hai yêu cầu khác nhau.
Bài học nối ba câu hỏi: tìm nhân tử bằng cách nào; nhân tử cho những nghiệm và dấu nào; và có lí do gì để dừng phân tích trên hệ số đang xét? Ta không cần giải một danh sách dài để hiểu ba mối liên hệ ấy.
2. Vì sao một nghiệm tạo ra một nhân tử?
Với số nguyên dương n, phép nhân phân phối cho
x^n-r^n=(x-r)(x^{n-1}+x^{n-2}r+\cdots+r^{n-1}).
Các hạng ở giữa triệt tiêu khi nhân. Đẳng thức đúng với mọi số thực x,r, kể cả x=r, vì không có phép chia cho x-r. Khi n=1, tổng trong ngoặc chỉ là 1.
Cho đa thức P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0. Hiệu P(x)-P(r) là tổng các biểu thức a_k(x^k-r^k), nên đều có nhân tử x-r. Vì vậy tồn tại đa thức Q sao cho
P(x)=(x-r)Q(x)+P(r).
Từ đây suy ra tiêu chuẩn hai chiều:
\boxed{P(r)=0\quad\Longleftrightarrow\quad P(x)\text{ có nhân tử }x-r}.
Chiều thuận: số dư P(r) bằng không. Chiều ngược: thay x=r vào tích. Khi kiểm tra P(r) và thấy khác không, ta đã loại nhân tử x-r; khi thấy bằng không, vẫn cần tìm và kiểm tra thương Q.
Nếu r bằng không thì có cần công thức riêng không?
Không. Khi r=0, P(0)=a_0. Hằng số bằng không khi và chỉ khi mỗi hạng còn lại đều có ít nhất một thừa số x, tức có thể đặt x ra ngoài. Đây là trường hợp đơn giản nhất của cùng một tiêu chuẩn.
3. Tìm nghiệm hữu tỉ bằng một tập ứng viên có lí do
Xét đa thức hệ số nguyên, hệ số cao nhất bằng 1, chẳng hạn x^3+ax^2+bx+c. Mọi nghiệm hữu tỉ của nó phải là số nguyên. Ta chứng minh điều này thay vì thử phân số vô hạn.
Giả sử nghiệm là r=p/q, với p,q nguyên, q>0, phân số tối giản. Nhân phương trình với q^n: hạng đầu là p^n, mọi hạng khác đều chia hết cho q. Vì thế p^n chia hết cho q. Nếu q>1, một số nguyên tố chia q cũng chia p^n, nên chia p, trái với tính tối giản. Do đó q=1.
Nếu hằng số c\ne0 và r là nghiệm nguyên, từ P(r)=0 ta có c=-r nhân với một số nguyên. Vậy r phải là ước nguyên của c. Điều kiện này tạo một danh sách ứng viên hữu hạn; nó không nói mọi ước đều là nghiệm.
Ứng dụng chọn lọc:
P(x)=x^3-4x^2-12x+27.
Nghiệm hữu tỉ, nếu có, nằm trong \{\pm1,\pm3,\pm9,\pm27\}. Ta nhận thấy P(-3)=-27-36+36+27=0, nên x+3 là một nhân tử. Để tìm thương, tách hạng theo cùng nhân tử:
P(x)=x^2(x+3)-7x(x+3)+9(x+3)\boxed{P(x)=(x+3)(x^2-7x+9)}.
Nhân ngược cho x^3+(3-7)x^2+(-21+9)x+27, đúng đa thức gốc. Một nghiệm tìm được đã mở ra phép phân tích; tính đúng cho mọi x được bảo đảm bằng phép nhân này.
4. Dừng trên hệ số nguyên không có nghĩa hết nghiệm thực
Nhân tử x^2-7x+9 không tách được thành hai nhân tử bậc nhất hệ số nguyên. Nếu có (x-a)(x-b) với a,b nguyên, ta cần a+b=7,ab=9. Các cặp ước dương của 9 chỉ cho tổng 10 hoặc 6; các cặp âm cho tổng âm. Không có cặp phù hợp.
Vì đây là đa thức bậc hai hệ số cao nhất 1, mọi phân tích thành hai nhân tử bậc nhất hệ số nguyên, kể cả hệ số đầu -1,-1, đều có thể đưa về dạng vừa xét bằng đổi đồng thời hai dấu. Nên lập luận đã xét đủ.
Nhưng trên số thực, hoàn thành bình phương cho
x^2-7x+9=\left(x-\frac72\right)^2-\frac{13}{4}.
Nó có hai nghiệm thực phân biệt (7-\sqrt{13})/2 và (7+\sqrt{13})/2. Vì vậy đa thức bậc ba ban đầu có đúng ba nghiệm thực:
-3,\quad\frac{7-\sqrt{13}}2,\quad\frac{7+\sqrt{13}}2.
Cả hai nghiệm sau đều dương vì \sqrt{13}<7, nên khác -3. Chúng không hữu tỉ: nếu \sqrt{13} hữu tỉ thì, theo lập luận đa thức hệ số cao nhất 1 ở phần trước, nó là số nguyên; nhưng 3^2<13<4^2. Điều kiện “hệ số nguyên” và câu hỏi “nghiệm thực” cần được giữ tách biệt.
5. Không có nghiệm thực vẫn có thể phân tích được
Với đa thức bậc hai, không có nghiệm thực thì không có nhân tử bậc nhất thực. Nhưng một đa thức bậc bốn vẫn có thể là tích hai đa thức bậc hai không có nghiệm thực. Xét ví dụ chọn lọc x^4+4, luôn dương với mọi x.
Thêm và bớt cùng một lượng để tạo hiệu hai bình phương:
x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2\boxed{x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}.
Hai nhân tử đều dương:
x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0,\qquad x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0.
Vì vậy đa thức phân tích được trên hệ số nguyên nhưng không có nghiệm thực. Thêm bớt không được chọn tùy tiện: 4x^2 được thêm để tạo (x^2+2)^2, và phần bớt chính là bình phương (2x)^2.
Đổi mô hình bằng một tham số thực a, cùng cách làm cho
x^4+4a^4=(x^2-2ax+2a^2)(x^2+2ax+2a^2).
Nếu a\ne0, hai nhân tử là (x-a)^2+a^2 và (x+a)^2+a^2, đều dương. Nếu a=0, chúng trở thành x^2,x^2, và có nghiệm x=0. Kết luận “luôn dương” phải loại trường hợp suy biến ấy, dù hằng đẳng thức vẫn đúng.
6. Nhân tử lặp làm thay đổi cách đa thức đi qua nghiệm
Ví dụ chọn lọc
F(x)=x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^2-1)\boxed{F(x)=(x-1)^2(x+1)}.
Các nghiệm phân biệt là 1,-1. Nhân tử x-1 xuất hiện hai lần, nên 1 gọi là nghiệm bội hai; x+1 xuất hiện một lần, nên -1 là nghiệm đơn. Bội khác số lượng nghiệm phân biệt: không đếm 1 thành hai giá trị khác nhau.
Khi x\ne1, (x-1)^2>0, nên dấu của F đúng bằng dấu của x+1. Vì thế F<0 khi x<-1, F>0 khi -1<x<1 và khi x>1; tại hai nghiệm thì F=0.
Trong ví dụ này, nghiệm -1 có bội lẻ nên hai phía trái dấu; nghiệm 1 có bội chẵn nên hai phía cùng dương. Chấm đặc ghi giá trị bằng không, không biểu diễn việc một bất phương trình nhận hay loại điểm.
Tổng quát, nếu F(x)=(x-r)^kG(x) và G không bằng không, giữ cùng một dấu ở hai phía gần r, thì nhân tử (x-r)^k đổi dấu khi k lẻ, giữ dấu khi k chẵn. Đây là lí do chẵn lẻ của bội quan trọng. Ta phải kiểm tra dấu của các nhân tử còn lại trong miền đang xét, không áp một khẩu quyết mà bỏ phần G.
7. Tổng nhiều hạng: phân tích bằng nhóm, không tạo lỗ miền
Xét tổng chọn lọc có mười hai hạng:
S(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{11}.
Có thể viết (x-1)S=x^{12}-1, nhưng nếu chia cho x-1 ta phải loại x=1 trong biểu thức phân thức. Một cách phân tích trực tiếp giữ đẳng thức đa thức đúng với mọi x:
S=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10})=(1+x)(1+x^2+x^4)(1+x^6).
Mỗi phép nhân cho đúng các số mũ đã nhóm: bước đầu ghép số mũ chẵn và lẻ; bước sau ghép một nhóm với chính nhóm ấy nhân x^6. Tiếp tục:
1+x^2+x^4=(x^2+x+1)(x^2-x+1),1+x^6=(x^2+1)(x^4-x^2+1).
Đẳng thức thứ nhất là (x^2+1)^2-x^2; đẳng thức thứ hai là tổng lập phương của x^2 và 1. Kết quả:
S=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1).
Phân tích này đúng cả tại x=1: tích bằng 2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot1=12, đúng số hạng. Ta chưa khẳng định mọi nhân tử cuối là không phân tích được trên mọi loại hệ số; mục tiêu ở đây là tìm dấu và nghiệm thực.
Bốn nhân tử sau x+1 đều dương vì
x^2\pm x+1=\left(x\pm\frac12\right)^2+\frac34>0,x^2+1>0,\qquad x^4-x^2+1=\left(x^2-\frac12\right)^2+\frac34>0.
Vậy S có đúng một nghiệm thực là -1, và dấu của S cùng dấu với x+1. Một tổng bậc cao đã được hiểu bằng cấu trúc nhân tử và dấu, không cần tìm mười một nghiệm hình thức.
8. Tự kiểm tra một kết luận về nhân tử
Thấy P bằng không tại 2 có đủ để khẳng định chỉ có một nghiệm là 2 không?
Không. Điều đó chỉ chứng minh có nhân tử x-2. Ví dụ (x-2)(x+3) còn nghiệm -3, còn (x-2)^2 chỉ có một nghiệm phân biệt nhưng nhân tử lặp. Phải kiểm tra thương còn lại.
Vì sao x bình phương cộng 1 không tách thành hai nhân tử bậc nhất hệ số thực?
Nếu có một nhân tử bậc nhất thực ax+b, với a\ne0, thì x=-b/a phải là nghiệm thực của đa thức. Nhưng x^2+1>0 với mọi số thực, nên điều ấy không thể. Lập luận này nói về nhân tử bậc nhất, không bác bỏ khả năng phân tích bậc hai nhân bậc hai của một đa thức bậc bốn.
Với tổng từ 1 đến x mũ mười một, công thức phân thức có đúng tại x bằng 1 không?
Đẳng thức (x-1)S=x^{12}-1 đúng tại 1, cả hai vế bằng không. Nhưng S=(x^{12}-1)/(x-1) chỉ có nghĩa khi x\ne1. Giá trị S(1)=12 phải đọc từ tổng hoặc dạng tích đa thức, không từ phép chia cho không.
Phân tích đáng tin cậy gồm tìm cấu trúc, nhân ngược để chứng minh, xét thương còn lại và nêu rõ loại hệ số hoặc miền nghiệm. Nghiệm gợi nhân tử; nhân tử cho nghiệm và dấu; điều kiện quyết định kết luận nào được phép.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện