Tối ưu diện tích tứ giác MNPQ trong hình vuông
Biến một tứ giác xoay trong hình vuông thành hàm bậc hai bằng chiến lược phần bù, kiểm soát miền 0 < x < 6 và chứng minh diện tích nhỏ nhất bằng hai cách độc…
Chuyên đề hình học tối ưu · THCS
Tối ưu diện tích tứ giác MNPQ trong hình vuông
Không “đoán điểm giữa”. Ta biến một hình xoay trong hình vuông thành hàm bậc hai, chứng minh miền giá trị và giải thích vì sao cấu hình cân bằng tạo ra diện tích nhỏ nhất.
Lớp 9 Hình học + đại số Mức độ 3/5 25–35 phút Đáp án tự kiểm
Phạm vi: mô hình hình vuông cạnh 6 cm và bốn điểm chạy cách đều. Các bài luyện thêm bên dưới là ví dụ mới, được tính lại độc lập.
Bản đồ 6 ý phải nắm
1 Miền của biến Điểm nằm trong cạnh nên luôn ghi 0 < x < 6 .
2 Phần bù MNPQ khó chia trực tiếp; bốn tam giác ở góc lại rất dễ tính.
3 Bốn tam giác bằng nhau Mỗi tam giác vuông có hai cạnh góc vuông x và 6 - x.
4 Hàm diện tích S(x) = 36 - 2x(6 - x), đơn vị cm^{2}.
5 Bình phương hoàn chỉnh S(x) = 2(x - 3)^{2} + 18 nên S \ge 18.
6 Kiểm tra dấu bằng x = 3 thuộc miền; bốn điểm là trung điểm các cạnh.
Học theo 5 lớp suy luận
1. Dựng mô hình: nhìn phần bù thay vì nhìn tứ giác xoay
Cho hình vuông ABCD cạnh 6 cm. M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA và AM = BN = CP = DQ = x cm. Vì mỗi điểm nằm giữa hai đầu cạnh, điều kiện hình học của biến là 0 < x < 6 . Từ AM = x suy ra MB = 6 - x; ba cạnh còn lại cũng xuất hiện cùng cặp độ dài x và 6 - x.
Hình vuông được tách đúng thành năm phần không chồng lấn: tứ giác MNPQ và bốn tam giác vuông AMQ, BMN, CNP, DPQ. Mỗi tam giác có diện tích \frac{1}{2}x(6 - x) . Đây là bước then chốt: ta không cần chứng minh MNPQ là hình gì mới tính được diện tích.
S MNPQ = S ABCD - 4S mỗi tam giác góc
Bẫy thường gặp: viết mỗi tam giác có diện tích x(6 - x), quên hệ số \frac{1}{2}; hoặc chỉ trừ hai tam giác. Hãy đếm đủ bốn góc trước khi rút gọn.
2. Từ hình sang hàm: ba cách đọc cùng một công thức
- Diện tích hình vuông: 6^{2} = 36 cm^{2}.
- Tổng diện tích bốn tam giác: 4 · \frac{1}{2}x(6 - x) = 2x(6 - x) cm^{2}.
- Diện tích còn lại: S(x) = 36 - 2x(6 - x).
- Khai triển: S(x) = 2x^{2} - 12x + 36.
- Hoàn thành bình phương: S(x) = 2(x - 3)^{2} + 18.
Dạng 36 - 2x(6 - x) cho ta thấy ý nghĩa hình học: lấy toàn bộ trừ phần bù. Dạng 2x^{2} - 12x + 36 cho thấy đây là hàm bậc hai có hệ số đầu dương. Dạng 2(x - 3)^{2} + 18 đọc ngay được giá trị nhỏ nhất.
x (cm) · x(6 - x) · S(x) (cm^{2}) · Nhận xét
1 · 5 · 26 · Cấu hình lệch
2 · 8 · 20 · Tiến gần cân bằng
3 · 9 · 18 · Nhỏ nhất
4 · 8 · 20 · Đối xứng với x = 2
5 · 5 · 26 · Đối xứng với x = 1
Bảng còn cho thấy tính đối xứng S(3 - t) = S(3 + t) . Hai vị trí cách x = 3 cùng một khoảng tạo diện tích bằng nhau. Đó là dấu vết đại số của việc đổi x với 6 - x trong hình.
Kiểm tra nhanh: khi x tiến rất gần 0 hoặc 6, phần bốn tam giác tiến gần 0, nên S tiến gần 36 cm^{2}. Công thức cũng cho đúng giới hạn này.
3. Bài toán gốc: lời giải chuẩn và kiểm chứng độc lập
BÀI TOÁN TRỌNG TÂM
Trong hình vuông ABCD cạnh 6 cm, lấy M, N, P, Q như mô tả và 0 < x < 6. Hãy lập công thức diện tích MNPQ và tìm giá trị nhỏ nhất.
Lời giải 1 — phần bù và bình phương
Bốn tam giác góc cùng có diện tích \frac{1}{2}x(6 - x). Vì vậy:
S(x) = 36 - 4 · \frac{1}{2}x(6 - x) = 2(x - 3)^{2} + 18.
Do (x - 3)^{2} \ge 0 nên S(x) \ge 18. Dấu bằng xảy ra khi x = 3, và 3 thỏa 0 < x < 6. Vậy diện tích nhỏ nhất là 18 cm^{2} , đạt được khi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh.
Lời giải 2 — tối đa hóa phần bị trừ
Ta có x(6 - x) = 9 - (x - 3)^{2} \le 9. Tổng phần bị trừ là 2x(6 - x) \le 18. Muốn phần còn lại nhỏ nhất thì phần bị trừ phải lớn nhất, nên x = 3 và S min = 36 - 18 = 18 cm^{2}.
Kiểm chứng bằng tọa độ
Đặt A(0,6), B(6,6), C(6,0), D(0,0). Khi đó M(x,6), N(6,6 - x), P(6 - x,0), Q(0,x). Công thức dây giày cho tứ giác MNPQ thu được |2x^{2} - 12x + 36|. Trên 0 < x < 6, biểu thức bằng 2(x - 3)^{2} + 18 > 0, nên đúng bằng diện tích đã tính.
Kết luận: S(x) = 36 - 2x(6 - x) = 2(x - 3)^{2} + 18 cm^{2}; S nhỏ nhất bằng 18 cm^{2} tại x = 3 cm.
4. Luyện tập nâng cấp: đổi cạnh, thêm điều kiện, đảo câu hỏi
BÀI 1 · ỨNG DỤNG
Hình vuông cạnh 10 cm, bốn điểm được lấy cùng quy tắc với AM = BN = CP = DQ = x, 0 < x < 10. Tìm diện tích nhỏ nhất.
Giải: S = 100 - 2x(10 - x) = 2(x - 5)^{2} + 50. Do đó S min = 50 cm^{2} tại x = 5 cm.
BÀI 2 · ĐẢO
Trong hình vuông cạnh 6 cm, diện tích MNPQ bằng 20 cm^{2}. Tìm x.
Giải: 2(x - 3)^{2} + 18 = 20 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 1 \Rightarrow x = 2 hoặc x = 4. Cả hai đều thuộc (0,6). Có hai cấu hình đối xứng, vì vậy bỏ một nghiệm là sai.
BÀI 3 · MIỀN HẸP
Vẫn là hình vuông cạnh 6 cm nhưng 0 < x \le 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
Giải: đỉnh x = 3 không thuộc miền. Với 0 < x \le 2, khoảng cách |x - 3| nhỏ nhất tại x = 2. S(2) = 20, nên giá trị nhỏ nhất là 20 cm^{2} . Không được dùng máy móc đáp án 18.
BÀI 4 · TỔNG QUÁT
Thay cạnh 6 cm bằng a cm, a > 0. Chứng minh diện tích nhỏ nhất bằng a^{2}/2.
Giải: S = a^{2} - 2x(a - x) = 2(x - a/2)^{2} + a^{2}/2. Vì 0 < a/2 < a, dấu bằng đạt tại x = a/2. Kết quả a^{2}/2 chính là một nửa diện tích hình vuông.
Chiến lược thi: nếu miền chứa đỉnh, dùng bình phương hoàn chỉnh. Nếu miền không chứa đỉnh, so khoảng cách từ hai đầu miền đến đỉnh hoặc xét chiều biến thiên của (x - a/2)^{2}.
5. Đáp án tự kiểm, lỗi điển hình và bảng tự kiểm 60 giây
Tự kiểm nhanh
- Vì sao MB = 6 - x? — Vì AB = 6 và AM + MB = AB.
- Mỗi tam giác góc có diện tích bao nhiêu? — \frac{1}{2}x(6 - x) cm^{2}.
- Tại sao hệ số trước x(6 - x) là 2? — Có bốn tam giác và mỗi tam giác mang hệ số \frac{1}{2}.
- S = 18 xảy ra khi nào? — Khi (x - 3)^{2} = 0, tức x = 3.
- S = 34 có nghiệm trong miền không? — 2(x - 3)^{2} + 18 = 34 \Rightarrow |x - 3| = 2\sqrt{2}, cho hai nghiệm 3 \pm 2\sqrt{2}; cả hai thuộc (0,6).
Lỗi · Dấu hiệu · Cách sửa
Quên miền · Không ghi 0 < x < 6 · Dịch điều kiện điểm nằm trên cạnh ngay đầu bài.
Nhầm đơn vị · Kết quả ghi cm · Diện tích phải là cm^{2}.
Quên kiểm tra dấu bằng · Chỉ viết S \ge 18 · Nêu x = 3 và xác nhận x thuộc miền.
Loại nhầm nghiệm đối xứng · Bài S = k chỉ có một x · Giải phương trình bình phương và kiểm cả hai nghiệm.
Checklist trước khi nộp
□ Đã ghi miền của x
□ Đã đếm đủ bốn tam giác
□ Công thức mang đơn vị cm^{2}
□ Đã hoàn thành bình phương đúng
□ Đã kiểm tra điểm đạt dấu bằng
□ Kết luận gồm cả giá trị và vị trí
Một câu chốt: Khi một hình bên trong khó tính trực tiếp nhưng phần còn lại được chia thành các hình quen thuộc, hãy tính bằng toàn phần - phần bù .
Tự thử thêm: thay x bằng 6 - x trong công thức và giải thích trên hình vì sao diện tích không đổi. Nếu em chứng minh được S(x) = S(6 - x), em đã nhận ra trục đối xứng x = 3 trước cả khi hoàn thành bình phương.
Kiểm chứng hình học thứ ba — MNPQ thật ra là một hình vuông:
Trong hệ tọa độ đã dùng ở trên, ta có M(x,6), N(6,6 - x), P(6 - x,0), Q(0,x). Khi đi từ M đến N, độ dời là (6 - x; -x); khi đi từ N đến P, độ dời là (-x; -(6 - x)). Hai cạnh liên tiếp có cùng bình phương độ dài:
MN^{2} = NP^{2} = (6 - x)^{2} + x^{2}.
Tích của hai cặp độ dời bằng (6 - x)(-x) + (-x)(-(6 - x)) = 0, nên MN vuông góc NP. Tương tự cho các cạnh còn lại; do đó MNPQ là hình vuông. Diện tích của nó bằng bình phương một cạnh:
S = MN^{2} = x^{2} + (6 - x)^{2} = 2(x - 3)^{2} + 18.
Cách này không dùng phần bù mà vẫn cho đúng cùng một hàm. Nó còn giải thích trực tiếp vì sao x và 6 - x tạo cùng diện tích: hai số chỉ đổi vai trong tổng hai bình phương.
Bốn câu bảo vệ lời giải
- Vì sao không thể chỉ nhìn hình rồi gọi MNPQ là hình vuông? — Hình minh họa không phải chứng minh; phải chỉ ra cạnh bằng và góc vuông.
- Điều gì bảo đảm giá trị 18 đạt được? — x = 3 thuộc miền 0 < x < 6.
- Nếu x tiến gần 0 thì S tiến đến đâu? — Tiến đến 36 cm^{2} nhưng không bằng 36 vì hai đầu miền không được lấy.
- Ba phép kiểm độc lập là gì? — Phần bù, tọa độ–dây giày và bình phương cạnh của hình vuông MNPQ.
Exit ticket: Không nhìn lại bài, hãy viết đủ miền của x, một công thức diện tích có ý nghĩa hình học, dạng bình phương hoàn chỉnh và điều kiện đạt dấu bằng. Bốn mảnh phải dẫn đến cùng kết luận 18 cm^{2} tại x = 3 cm; thiếu miền hoặc vị trí đạt cực trị thì đáp án chưa hoàn chỉnh.
Năng lực đích: chuyển mô hình hình học thành hàm số, kiểm soát miền, tối ưu bằng bình phương hoàn chỉnh và tự kiểm bằng một phương pháp độc lập.