Từ ba giá trị đến công thức: hiểu các hiệu liên tiếp
Dùng hằng đẳng thức để khôi phục đa thức bậc không quá hai, kiểm tra giá trị thứ tư và phân biệt dữ liệu phù hợp với một quy luật đã được chứng minh.
TOÁN 8 · CÁCH ĐỀU, KHÔI PHỤC VÀ KIỂM TRA
Từ ba giá trị đến công thức: hiểu các hiệu liên tiếp
Dùng hằng đẳng thức để khôi phục đa thức bậc không quá hai, kiểm tra giá trị thứ tư và phân biệt dữ liệu phù hợp với một quy luật đã được chứng minh.
1. Từ công thức sang mức thay đổi
Biết một đa thức rồi thay số là bài toán thuận. Bài toán ngược hỏi: từ một vài giá trị, có khôi phục được đa thức không? Câu trả lời phụ thuộc vào điều ta biết trước về dạng của nó. Ba số đo chính xác có thể xác định duy nhất một đa thức bậc không quá hai, nhưng không thể xác định một hàm bất kì.
Bài học dùng hằng đẳng thức để giải thích các hiệu liên tiếp . Ta gọi hiệu của hai giá trị liên tiếp là hiệu lần một; lấy hiệu của hai hiệu lần một liên tiếp được hiệu lần hai. Mọi số và hệ số trong bài đều là số thực.
Dự đoán. Một bảng giá trị có các hiệu lần một tăng đều thì các giá trị ban đầu có tăng đều không? Thử dãy 1,4,9,16: các mức tăng là 3,5,7, không bằng nhau, nhưng mỗi mức tăng sau lớn hơn mức trước đúng 2.
Để dùng quy luật này, các đầu vào phải cách đều. Chọn điểm xuất phát x_0 và bước h\ne0. Các đầu vào là x_0,x_0+h,x_0+2h,\ldots. Bước có thể âm: khi đó ta đọc bảng theo chiều giảm của đầu vào. Điều thiết yếu là cùng một bước khác không.
2. Vì sao hiệu lần hai của tam thức là hằng số?
Xét đa thức bậc không quá hai
Q(x)=ax^2+bx+c.
Cách viết này cho phép a=0, kể cả trường hợp a=b=c=0. Từ (x+h)^2=x^2+2xh+h^2, ta có
Q(x+h)-Q(x)=2ahx+ah^2+bh.
Hiệu lần một là một biểu thức bậc không quá một theo x. Thay x bằng x+h trong hiệu ấy rồi trừ đi hiệu cũ:
\boxed{Q(x+2h)-2Q(x+h)+Q(x)=2ah^2.}
Đây là một đẳng thức đúng với mọi x, không chỉ là nhận xét từ một bảng số. Nó cho biết hiệu lần hai không phụ thuộc vị trí xuất phát. Vì h^2>0, dấu của hiệu lần hai cũng là dấu của a.
- Nếu a\ne0, đa thức có bậc đúng bằng hai và hiệu lần hai khác không.
- Nếu a=0,b\ne0, đa thức bậc nhất; hiệu lần một bằng bh\ne0, hiệu lần hai bằng không.
- Nếu a=b=0, đa thức là hằng số; cả hai loại hiệu đều bằng không. Đa thức không vẫn được xét trong họ này, dù không gán bậc cho nó.
Hiệu lần hai âm có buộc các giá trị đang giảm không?
Không. Với Q(x)=-x^2+10x, tại x=0,1,2 ta được 0,9,16: các giá trị tăng, nhưng các mức tăng 9,7 đang giảm. Hiệu lần hai là -2. Cần phân biệt dấu của mức thay đổi với dấu của sự thay đổi giữa các mức.
3. Khôi phục công thức từ ba giá trị
Giả sử biết chính xác y_0,y_1,y_2 ứng với ba đầu vào x_0,x_0+h,x_0+2h, trong đó h\ne0. Đặt
d=y_1-y_0,\qquad e=y_2-2y_1+y_0,\qquad t=\frac{x-x_0}{h}.
Biến t đo số bước tính từ điểm xuất phát. Tại ba đầu vào, nó lần lượt bằng 0,1,2. Ta dựng
\boxed{Q(x)=y_0+dt+\frac e2t(t-1),\qquad t=\frac{x-x_0}{h}.}
Chiều tồn tại: công thức thật sự khớp cả ba giá trị
Tại t=0, kết quả là y_0. Tại t=1, kết quả là y_0+d=y_1. Tại t=2, kết quả là
y_0+2d+e=y_0+2(y_1-y_0)+(y_2-2y_1+y_0)=y_2.
Vì t là biểu thức bậc nhất theo x, công thức dựng được là một đa thức bậc không quá hai. Như vậy mọi bộ ba số thực đều có một đa thức trong họ ấy đi qua ba giá trị đã cho.
Chiều duy nhất: không còn một đa thức thứ hai trong họ
Giả sử Q_1,Q_2 đều có bậc không quá hai và khớp ba giá trị. Hiệu của chúng, viết theo t, có dạng ut^2+vt+w, và bằng không tại t=0,1,2. Từ đó
w=0,\qquad u+v=0,\qquad4u+2v=0.
Lấy phương trình cuối trừ hai lần phương trình giữa cho 2u=0. Suy ra u=v=w=0, nên Q_1=Q_2 với mọi x. Chứng minh này dùng đủ ba điểm phân biệt, không cần đoán công thức từ hình dạng của bảng.
Đọc đúng mức bậc. Hệ số của x^2 trong công thức là e/(2h^2). Vì thế bậc đúng bằng hai khi và chỉ khi e\ne0. Khi e=0,d\ne0, hệ số của x là d/h\ne0, nên bậc nhất. Khi e=d=0, công thức là hằng số y_0, có thể bằng không.
4. Giá trị thứ tư là một phép kiểm tra mô hình
Ba giá trị luôn khớp một đa thức bậc không quá hai, nên chỉ ba giá trị chưa kiểm tra được giả thiết về dạng. Nếu biết thêm giá trị chính xác y_3 tại x_0+3h, công thức vừa dựng dự đoán
Q(x_0+3h)=y_0+3d+3e=3y_2-3y_1+y_0.
Do đó, tồn tại một đa thức bậc không quá hai khớp cả bốn giá trị khi và chỉ khi
\boxed{y_3-3y_2+3y_1-y_0=0.}
Chiều cần: hai hiệu lần hai phải bằng nhau, tức y_3-2y_2+y_1=y_2-2y_1+y_0, chính là điều kiện trên. Chiều đủ: dựng đa thức duy nhất từ ba giá trị đầu; điều kiện cho giá trị thứ tư bằng đúng dự đoán của nó.
Nếu điều kiện không thỏa, không có đa thức bậc không quá hai khớp toàn bộ bốn giá trị chính xác. Nếu thỏa, dữ liệu phù hợp với mô hình ấy. Đây chưa phải bằng chứng rằng một hàm chưa biết thực sự là đa thức bậc không quá hai.
Một ứng dụng chọn lọc từ biểu thức nguồn
Với F(x)=(3x-5)^2, hằng đẳng thức cho F(x)=9x^2-30x+25. Tại x=0,1,2, các giá trị là 25,4,1. Khi ấy d=-21,e=18, nên khôi phục được
Q(x)=25-21x+9x(x-1)=9x^2-30x+25.
Với bước h=1, hiệu lần hai 18 cũng cho hệ số bậc hai 18/2=9. Giá trị tiếp theo được dự đoán là 3\cdot1-3\cdot4+25=16, đúng bằng F(3)=(9-5)^2.
Mỗi số ở hàng dưới bằng số phía trên bên phải trừ số phía trên bên trái. Hàng I ghi hiệu lần một, hàng II ghi hiệu lần hai, hàng III ghi hiệu lần ba. Hai hiệu lần hai cùng bằng 18; hiệu lần ba bằng không.
5. Kéo dài một dãy: điều kiện nào đủ?
Giả sử một dãy y_0,y_1,y_2,\ldots được cho tại các bước nguyên n\ge0. Phát biểu chính xác là:
Mọi hiệu lần hai của dãy cùng bằng e khi và chỉ khi, với d=y_1-y_0,
y_n=y_0+nd+\frac{n(n-1)}2e\qquad(n=0,1,2,\ldots).
Chứng minh chiều thuận. Đặt d_n=y_{n+1}-y_n. Giả thiết cho d_{n+1}-d_n=e, nên từ d_0=d, lần lượt có d_n=d+ne. Với n\ge1, cộng các hiệu liên tiếp làm các giá trị ở giữa triệt tiêu:
y_n-y_0=d_0+d_1+\cdots+d_{n-1}
=nd+e(0+1+\cdots+n-1)=nd+\frac{n(n-1)}2e.
Công thức tổng số nguyên cuối được kiểm tra bằng cách cộng dãy theo hai chiều: mỗi cặp có tổng n-1, có n cặp, rồi chia đôi. Với n=0, công thức của y_n cho trực tiếp y_0.
Chứng minh chiều đảo. Từ công thức của y_n, trừ hai số hạng liên tiếp được y_{n+1}-y_n=d+ne. Lấy hiệu hai mức liên tiếp cho đúng e. Do đó hai phát biểu tương đương.
Kiểm tra vài hiệu đầu bằng nhau không đồng nghĩa với giả thiết “mọi hiệu lần hai đều bằng nhau”. Muốn kéo dài dãy chắc chắn, phải có quy luật đã được cho hoặc được chứng minh. Ngay cả khi quy luật đúng tại mọi bước nguyên, các giá trị giữa những điểm lấy mẫu vẫn cần một mô hình riêng.
Ví dụ độc lập: từ 2, 5, 12, dự đoán bước tiếp theo
Ta có d=3,e=4. Nếu giả thiết mọi hiệu lần hai bằng 4, thì y_n=2+3n+2n(n-1)=2n^2+n+2. Vì thế y_3=23, y_{10}=212. Nếu không có giả thiết đó, số thứ tư có thể là 23 hoặc một giá trị khác; ba số đầu tự chúng không ép cách tiếp diễn.
6. Lập phương giúp phát hiện giới hạn của mô hình
Để thấy một phép kiểm tra có thể thất bại có ích, xét biểu thức nguồn chọn lọc C(x)=(x+3)^3. Tại x=0,1,2,3, các giá trị là 27,64,125,216. Hiệu lần một là 37,61,91; hiệu lần hai là 24,30. Hai hiệu lần hai khác nhau, nên bốn giá trị này không thể cùng thuộc một đa thức bậc không quá hai.
Đa thức khớp ba giá trị đầu sẽ dự đoán 3\cdot125-3\cdot64+27=210; giá trị thật là 216, chênh 6. Chênh lệch không phải lỗi khai triển: nó là dấu hiệu mô hình bậc hai không phù hợp.
Hằng đẳng thức lập phương giải thích con số ấy. Với P(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D, khai triển tại x,x+h,x+2h,x+3h rồi cộng theo hệ số -1,3,-3,1, các hạng bậc không quá hai triệt tiêu và còn
\boxed{P(x+3h)-3P(x+2h)+3P(x+h)-P(x)=6Ah^3.}
Chẳng hạn với phần x^3, các hệ số của x^3,x^2h,xh^2,h^3 lần lượt là 1-3+3-1=0, 9-18+9=0, 27-36+9=0, 27-24+3=6. Các phần Bx^2+Cx+D có hiệu lần hai không đổi nên hiệu lần ba bằng không.
Nếu đã biết trước hàm là đa thức bậc không quá ba và h\ne0, một hiệu lần ba bằng không buộc A=0, tức bậc không quá hai. Nếu không có giới hạn bậc, suy luận ấy không còn đúng.
7. Ba ranh giới phải giữ khi suy ngược
Bước bằng không hoặc khoảng cách không đều
Nếu h=0, ba đầu vào trùng nhau, biến t không xác định. Các giá trị ghi lại khác nhau thì không có một hàm nhận đủ chúng tại cùng điểm; nếu đều bằng v, vô số đa thức như v+k(x-x_0), với k tùy ý, đều khớp.
Nếu đầu vào không cách đều, không được dùng hiệu thông thường như trên. Với chính hàm x^2, tại 0,1,3,6, các giá trị là 0,1,9,36. Hiệu lần một 1,8,27 cho hiệu lần hai 7,19, dù hàm chắc chắn bậc hai. Thiếu giả thiết về bước làm tiêu chuẩn sai.
Cùng bốn giá trị vẫn có thể khác công thức
Lấy một đa thức Q vừa khôi phục. Với mọi \lambda\ne0, hàm
G(x)=Q(x)+\lambda(x-x_0)(x-x_0-h)(x-x_0-2h)(x-x_0-3h)
có cùng bốn giá trị mẫu: tại mỗi điểm, một nhân tử bằng không. Nhưng tại x=x_0+4h, hiệu là
G(x_0+4h)-Q(x_0+4h)=24\lambda h^4\ne0.
Đó là phản ví dụ cụ thể cho suy luận “bốn giá trị khớp nên hai công thức bằng nhau ở mọi nơi”. Với ví dụ F=(3x-5)^2, đặt G=F+x(x-1)(x-2)(x-3): chúng cùng cho 25,4,1,16, nhưng tại x=4 lần lượt là 49 và 73.
Bảng dùng đúng các giá trị của hai công thức đã nêu. Hai thanh có cùng tỉ lệ: mỗi đơn vị giá trị ứng với ba đơn vị độ dài trong hình.
Số liệu gần đúng không phải đẳng thức chính xác
Nếu mỗi giá trị ghi lại sai lệch không quá \varepsilon\ge0, hiệu lần hai tính từ bảng có thể sai lệch đến 4\varepsilon: tổng độ lớn các hệ số là 1+2+1. Hiệu lần ba có thể sai lệch đến 8\varepsilon, vì tổng ấy là 1+3+3+1.
Cụ thể, nếu các giá trị thật thuộc mô hình bậc không quá hai, đặt giá trị ghi lại là \widehat y_j=y_j+r_j, với |r_j|\le\varepsilon. Khi đó
|\widehat y_3-3\widehat y_2+3\widehat y_1-\widehat y_0|\le8\varepsilon.
Đây là điều kiện cần để không loại mô hình trong giả thiết sai số ấy. Bài học không dùng nó như chứng minh rằng dữ liệu chắc chắn do một tam thức tạo ra. Một hiệu nhỏ khác không có thể chỉ do làm tròn; một hiệu chính xác khác không có ý nghĩa khác.
8. Tự dựng, kiểm tra rồi giải thích
Thử trước khi mở lời giải. Luôn ghi đầu vào, bước, độ chính xác của dữ kiện và giới hạn bậc. Sau đó mới tính các hiệu.
Ba giá trị 7, 3, 7 tại các đầu vào 2, 4, 6 cho công thức nào?
Ở đây x_0=2,h=2,d=-4,e=8, và t=(x-2)/2. Đa thức duy nhất bậc không quá hai là
Q=7-4t+4t(t-1)=4(t-1)^2+3=(x-4)^2+3.
Tại x=8, tức t=3, dự đoán Q(8)=19. Đa thức có bậc đúng bằng hai vì e\ne0, với hệ số x^2 là e/(2h^2)=1.
Các giá trị 5, 2, âm 1 có bắt buộc cho một tam thức bậc hai?
Tại các đầu vào 0,1,2, ta có d=-3,e=0, nên công thức duy nhất bậc không quá hai là Q(x)=5-3x, bậc nhất. Ba giá trị 5,5,5 cho hằng số 5; ba giá trị 0,0,0 cho đa thức không. “Bậc không quá hai” không có nghĩa “luôn có bậc đúng bằng hai”.
Bảng 0, 1, 4, 10 tại các đầu vào 0, 1, 2, 3 sai ở đâu?
Ba giá trị đầu khôi phục Q(x)=x^2, nên giá trị thứ tư phải bằng 9. Hiệu lần ba là 10-3\cdot4+3\cdot1-0=1\ne0. Không có đa thức bậc không quá hai khớp cả bảng chính xác. Nếu các giá trị chỉ gần đúng, phải xét sai số trước khi kết luận.
Bước âm có làm công thức khôi phục đổi dấu hệ số bậc hai không?
Lấy các đầu vào 3,1,-1 của x^2: các giá trị 9,1,1, bước h=-2, hiệu lần hai e=8. Hệ số bậc hai vẫn là e/(2h^2)=8/8=1. Dấu của bước không ảnh hưởng dấu của bình phương bước. Thay t=(x-3)/(-2) vào 9-8t+4t(t-1) cho lại x^2.
Hằng đẳng thức cho công cụ chứng minh quy luật thay đổi. Muốn dùng quy luật để suy ngược, phải giữ đủ ba yếu tố: các đầu vào cách đều với bước khác không, dữ kiện chính xác hay có sai số, và họ công thức mà ta cho phép.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu