Đa thức trong mô hình thực tế: đại lượng, đơn vị và miền hợp lệ
Lập đa thức từ diện tích và dòng vào–ra; hiểu ý nghĩa từng hạng tử, đổi đơn vị, phân biệt bậc với đơn vị vật lí, kiểm chi phí và miền sử dụng của mô hình.
Toán THCS • Mô hình hóa bằng đa thức
Đa thức trong mô hình thực tế: đại lượng, đơn vị và miền hợp lệ
Một biểu thức có thể thu gọn đúng nhưng mô tả sai hình, sai đơn vị hoặc sai điều kiện thực tế. Bắt đầu từ đại lượng cần tính, rồi mới chọn phép toán.
Mục tiêu: xây đa thức từ cấu trúc diện tích và dòng vào–ra; đổi đơn vị đúng; phân biệt bậc đại số với đơn vị vật lí; xác định miền mà mô hình còn có nghĩa.
01 • Đại lượng trước, biểu thức sau
Mỗi biến cần tên, đơn vị và điều kiện
Trước khi viết công thức, ghi đại lượng cần tìm và đơn vị của nó. Với mỗi biến, xác định nó là số đo của độ dài, thời gian, lưu lượng hay giá tiền. Trong bài này, các biến chỉ giá trị số đo theo đơn vị đã ghi ; đơn vị của kết quả được viết riêng để dễ kiểm tra.
Ví dụ tự xây dựng: một hình chữ nhật có chiều dài L mét, chiều rộng W mét; mở rộng phía trên và bên phải thêm t mét.
Điều kiện: L>0,\ W>0,\ t\ge 0. Diện tích mới là (L+t)(W+t) mét vuông. Ta cộng được L với t vì cả hai đều là số đo độ dài theo mét.
Ba câu hỏi: đang tính cái gì; các số đo đã cùng đơn vị chưa; dữ kiện nào cho phép cộng, nhân hoặc trừ? Không cộng diện tích với độ dài, dù các con số đều dương.
“Biểu thức là đa thức” là nhận xét về dạng đại số. “Biểu thức mô tả đúng thực tế” còn cần kiểm cấu trúc, đơn vị và giả thiết. Hai yêu cầu này phải được kiểm riêng.
02 • Diện tích và phép phân phối
Đọc từng hạng tử như một phần của hình
Sơ đồ chia hình khi t>0, minh họa cấu trúc, không dùng để đo độ dài. Phần gốc, hai dải và ô góc không chồng nhau; trường hợp t=0 thì các phần thêm có diện tích bằng không.
Tính cả hình một lần cho biểu thức tích; cộng các phần cho dạng tổng. Hai cách mô tả cùng một diện tích nên ta có:
S=(L+t)(W+t)=LW+Lt+Wt+t^2.
- LW: phần hình chữ nhật ban đầu.
- Lt: dải phía trên, chưa gồm ô góc.
- Wt: dải bên phải, chưa gồm ô góc.
- t^2: ô góc được thêm đúng một lần.
Diện tích tăng thêm, tính bằng mét vuông:
\Delta S=S-LW=(L+W)t+t^2.
Nếu chiều dài ban đầu là 12 mét và chiều rộng là 8 mét, ta được S=t^2+20t+96 và \Delta S=t^2+20t, theo mét vuông. Với t=2, hình mới có kích thước 14 mét và 10 mét: diện tích 140 mét vuông, tăng 44 mét vuông. Cộng các phần thêm cũng cho 24+16+4=44.
Lỗi cấu trúc: chỉ cộng hai dải thì thiếu ô góc; tính dải trên dài L+t rồi dải phải cao W+t thì ô góc bị tính hai lần. Hãy chỉ rõ ranh giới từng phần trước khi khai triển.
03 • Bậc và đơn vị là hai khái niệm
Diện tích không nhất thiết là đa thức bậc hai theo một biến
Bậc của đơn thức là tổng số mũ của các biến trong đơn thức. Bậc của đa thức khác không, sau khi thu gọn, là bậc lớn nhất của những đơn thức có hệ số khác không. Bậc phụ thuộc vào việc đang xem những đại lượng nào là biến.
Một hình vuông cạnh a mét được mở rộng để cạnh mới là a+h mét. Diện tích tăng thêm:
A=(a+h)^2-a^2=2ah+h^2.
Nếu a,h đều là biến, đa thức này có bậc 2. Nếu giữ h=3, nó trở thành A=6a+9, bậc 1 theo a, nhưng vẫn biểu thị diện tích tính bằng mét vuông.
Vì vậy, không thể kết luận “có đơn vị mét vuông thì phải là đa thức bậc hai theo biến đang chọn”. Hệ số số học có thể đã chứa một số đo độ dài cố định. Tương tự, thể tích của hộp có đáy cố định là hàm bậc một theo chiều cao.
Phân biệt với quy tắc phóng to: nếu mọi độ dài của một hình cùng nhân với k>0, diện tích nhân với k^2, thể tích nhân với k^3. Chỉ tăng một độ dài hoặc giữ một kích thước cố định thì không được tự áp quy tắc ấy cho toàn bộ hình.
Trong 1000a^3-20bcd, mỗi đơn thức có bậc 3 theo các biến a,b,c,d. Không cộng bậc của hai đơn thức để gọi đa thức là bậc 6; cũng cần kiểm đơn vị của các số đo trước khi dùng biểu thức này cho thể tích.
04 • Đổi đơn vị theo loại đại lượng
Hệ số đổi độ dài phải được bình phương hoặc lập phương
Từ một mét bằng mười đề-xi-mét, hình vuông cạnh một mét có mỗi cạnh bằng mười đề-xi-mét; khối lập phương cạnh một mét có ba kích thước như vậy. Do đó:
1\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{dm},\qquad 1\,\mathrm{m}^2=100\,\mathrm{dm}^2,\qquad 1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{dm}^3.
1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{L},\qquad 1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{L}.
Đổi mỗi số đo về cùng đơn vị trước khi cộng hoặc trừ . Với thể tích, có thể đổi từng cạnh rồi nhân, hoặc nhân trước rồi đổi thể tích; hai cách phải cho cùng kết quả.
Hộp chữ nhật có kích thước 0{,}6 mét, 0{,}4 mét, 0{,}5 mét. Nhân theo mét cho 0{,}12\,\mathrm{m}^3=120\,\mathrm{L}. Đổi cạnh sang đề-xi-mét trước cho 6\cdot4\cdot5=120\,\mathrm{dm}^3=120\,\mathrm{L}.
Phản ví dụ: đổi 0{,}12\,\mathrm{m}^3 thành 1{,}2\,\mathrm{L} bằng hệ số đổi độ dài là sai. Đơn vị đang đổi là thể tích, nên hệ số là 1000.
Đơn vị giúp phát hiện sai loại phép toán nhưng không bảo đảm mọi hệ số đều đúng. Cả một biểu thức đúng lẫn biểu thức bị thiếu ô góc đều có thể mang đơn vị diện tích; còn phải kiểm cấu trúc hình.
05 • Đại lượng tích lũy và dòng vào–ra
Lượng đang có khác với tốc độ thay đổi
Gọi V_0 là số lít nước ban đầu, q_{\mathrm{in}} và q_{\mathrm{out}} là lưu lượng vào và ra theo lít mỗi phút. Giả sử hai lưu lượng không đổi trong khoảng đang xét. Sau \tau phút:
V(\tau)=V_0+(q_{\mathrm{in}}-q_{\mathrm{out}})\tau.
Lưu lượng nhân thời gian cho thể tích; dòng vào mang dấu cộng, dòng ra mang dấu trừ. Nếu bể chứa tối đa C lít, cần giữ:
\tau\ge 0,\qquad 0\le V(\tau)\le C.
Bể ban đầu có 30 lít, vòi vào 7 lít mỗi phút, vòi ra 2 lít mỗi phút, sức chứa 80 lít. Trong giai đoạn chưa tràn, V(\tau)=30+5\tau. Từ 30+5\tau\le80, khoảng hợp lệ của giai đoạn này là 0\le\tau\le10.
Thay \tau=12 cho 90 không có nghĩa bể 80 lít thật sự giữ được 90 lít. Sau lúc đầy, phải mô tả nước tràn, ngừng vòi hoặc một thay đổi khác tùy điều kiện thực tế.
Nếu lưu lượng ra lớn hơn lưu lượng vào, công thức mô tả quá trình giảm nước chỉ đến khi bể cạn. Nếu lưu lượng thay đổi theo thời gian, không dùng một giá trị cố định cho cả quá trình mà không có giả thiết bổ sung.
06 • Chi phí và giả thiết của giá
Giá theo diện tích khác với phí cố định
Giả sử diện tích cần thi công là A mét vuông, đơn giá không đổi là p đồng mỗi mét vuông và phí cố định là F đồng. Chi phí theo mô hình này:
K=pA+F.
Phần pA thay đổi theo diện tích; F được cộng một lần. Không nhân phí cố định với diện tích. Công thức cần A\ge0,\ p\ge0,\ F\ge0, và không tự bao gồm thuế, hao hụt hay phụ phí chưa được nêu.
Dùng diện tích tăng thêm ở phần 02, với p=120000 và F=300000, ta có:
K(t)=120000(t^2+20t)+300000.
Đơn vị kết quả là đồng. Nếu giữ p,F cố định thì đây là đa thức bậc 2 theo t. Nó mô tả việc thi công theo đơn giá giả định; không phải báo giá ngoài thực tế.
Tại t=0, công thức vẫn cho K=F. Điều đó phù hợp nếu phí được thu khi hợp đồng thực hiện kể cả với diện tích bằng không. Nếu không làm thì không thu phí, phải mô tả trường hợp không thi công riêng. Việc thay số ở biên giúp phát hiện giả thiết chưa rõ.
Nếu đơn giá đổi theo ngưỡng diện tích hoặc có ưu đãi theo mức, một đa thức duy nhất có thể không mô tả được toàn bộ miền; cần nêu từng khoảng áp dụng.
07 • Kiểm ngược và giới hạn
Ba cách kiểm bổ sung cho nhau
Kiểm cấu trúc
Với diện tích: các phần có phủ kín hình và có chồng nhau không? Với dòng vào–ra: dấu có đúng chiều thay đổi không? Với chi phí: phí được cộng đúng số lần không?
Kiểm đơn vị và biên
Mỗi tổng có cùng loại đơn vị không? Khi phần thêm bằng không, có trở lại trạng thái gốc không? Khi thời gian tăng, lượng nước có vượt sức chứa hoặc trở thành số âm không?
Kiểm đại số: khai triển hai cách mô tả và đối chiếu. Với diện tích phần 02, phép phân phối giải thích vì sao dạng tích và dạng tổng bằng nhau với mọi giá trị thỏa điều kiện.
Kiểm số: chọn một bộ số hợp lệ để phát hiện lỗi. Hai biểu thức khác nhau vẫn có thể trùng giá trị tại một điểm; vì vậy việc thay số không chứng minh chúng đồng nhất. Cần phép biến đổi đại số hoặc lập luận cấu trúc.
Một mô hình có thể đúng trong một giai đoạn và sai khi điều kiện thay đổi. Ghi miền hợp lệ là một phần của việc xây mô hình, không phải chú thích thêm sau khi tính xong.
08 • Tự kiểm tra khái niệm
Tập giải thích lựa chọn trước khi tính
Vì sao diện tích tăng thêm có thể là biểu thức bậc một?
Khi chiều tăng h>0 cố định, A=2ah+h^2 là đa thức bậc một theo a. Nếu h=0, biểu thức bằng 0 với mọi a, nên không phải đa thức bậc một. Đơn vị diện tích vẫn được giữ vì hệ số chứa số đo h. Bậc theo một biến và đơn vị vật lí không phải cùng khái niệm.
Nếu hai dải mở rộng đã tính ô góc, phải kiểm điều gì?
Chỉ rõ dải nào có bao gồm ô góc. Ô góc phải xuất hiện đúng một lần trong tổng diện tích. Có thể chia thành các miền không chồng nhau hoặc trừ phần bị tính lặp; hình và biểu thức phải mô tả cùng cách chia.
Vì sao không được dùng công thức bể nước ở mọi thời điểm?
Công thức giả sử lưu lượng không đổi và bể chưa gặp giới hạn làm thay đổi quá trình. Khi đầy hoặc cạn, cần xét trạng thái mới; giá trị đại số vượt giới hạn không tự là thể tích nước thực tế.
Vận dụng tự thiết kế: vẽ một hình chữ nhật rồi chọn cách mở rộng một phía hoặc hai phía. Ghi biến, đơn vị và điều kiện; viết diện tích theo cả hình và theo các phần; kiểm phần tăng bằng không. Sau đó giả định một đơn giá và nêu rõ khi nào phát sinh phí cố định.
Không cần chọn số lớn. Mục tiêu là giải thích mỗi phép toán và mỗi hạng tử, rồi xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Ghi nhớ: đại lượng quyết định đơn vị; cấu trúc quyết định phép toán; cách chọn biến quyết định bậc; điều kiện thực tế quyết định miền sử dụng.
THCS • Toán. Các ví dụ và đơn giá trong bài là tình huống tự xây dựng để học mô hình hóa, không phải lời giải đề thi hoặc báo giá thực tế.