Xác suất không đếm trùng
Chuẩn hóa không gian mẫu, phân biệt thứ tự và hoàn lại, tách trường hợp rời nhau, dùng biến cố đối và kiểm đếm hai đường để tránh bỏ sót hoặc đếm lặp.
TOÁN 9 · XÁC SUẤT VÀ TỔ HỢP
Xác suất không đếm trùng
Mọi sai lầm lớn đều bắt đầu từ việc chọn sai “một kết quả”. Ta chuẩn hóa không gian mẫu, quyết định có thứ tự hay không, dùng biến cố đối và cây quyết định để mỗi kết quả chỉ được đếm đúng một lần.
THCS · Lớp 9 Không gian mẫu Mức 2–4/5 40–55 phút Đếm có kiểm soát
Cây ba lần tung xu có đúng tám lá. HNN và NHN khác thứ tự nhưng đều chỉ có một H.
Chuẩn năng lực: mô tả phép thử và \Omega; xác định biến cố, biến cố đối; phân biệt kết quả có thứ tự với lựa chọn không thứ tự; tính xác suất cổ điển trên các kết quả đồng khả năng; kiểm tra đếm đủ, không trùng.
Sáu khóa chống đếm trùng
1 Đơn vị kết quả Một kết quả là chuỗi, cặp, nhóm hay con số?
2 Thứ tự AB và BA khác nhau hay là cùng một nhóm?
3 Lặp lại Đã chọn rồi có được chọn lại không?
4 Đồng khả năng Chỉ dùng số thuận lợi chia tổng khi các kết quả ngang khả năng.
5 Biến cố đối “Ít nhất một” thường dễ tính bằng 1 trừ “không có”.
6 Kiểm tổng Các trường hợp tách ra phải rời nhau và phủ hết.
Năm lớp dựng một phép đếm sạch
Có thứ tự và không thứ tự. Đổi vị trí có tạo kết quả mới hay không là câu hỏi khóa.
1. Không gian mẫu: tên đúng từng kết quả trước khi đếm
Ít nhất một bi đỏ bằng biến cố đối. Không hoàn lại làm mẫu số giảm sau lần lấy thứ nhất.
Tung đồng xu ba lần, quy ước H là mặt ngửa và N là mặt sấp. Mỗi kết quả là một chuỗi ba kí tự theo thời gian, không phải “số lần ngửa”. HNN và NHN khác nhau dù cùng có một mặt ngửa.
Cây tám kết quả của ba lần tung đồng xu. Mỗi lần tách thành H hoặc N; ba tầng tạo đúng tám chuỗi HHH, HHN, HNH, HNN, NHH, NHN, NNH, NNN, không trùng nhau.
\Omega={HHH,HHN,HNH,HNN,NHH,NHN,NNH,NNN}, |\Omega|=8.
Nếu xu cân bằng và các lần độc lập, tám chuỗi đồng khả năng. Biến cố “đúng hai mặt ngửa” là {HHN,HNH,NHH}, nên xác suất 3/8.
Bẫy gom nhóm: bốn giá trị “0,1,2,3 mặt ngửa” không đồng khả năng, nên không thể lấy một trong bốn rồi nói xác suất 1/4.
2. Có thứ tự hay không: hai con xúc xắc và một nhóm hai người
Số chẵn ba chữ số không lặp. Chữ số 0 cần được xử lý riêng ở hàng đơn vị.
Hai xúc xắc phân biệt
Kết quả là cặp có thứ tự (a,b), trong đó a là xúc xắc thứ nhất. Có 6\cdot 6=36 kết quả đồng khả năng. Tổng bằng 8 có đúng năm cặp:
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \Rightarrow P=5/36.
(2,6) và (6,2) khác nhau vì đổi kết quả giữa hai xúc xắc. Nếu viết cặp không thứ tự rồi chia cho 21, các nhóm đôi và nhóm lặp không có cùng xác suất; phép chia đó sai.
Chọn hai người từ năm người
Ngược lại, nhóm {An,Bình} giống {Bình,An}. Liệt kê theo quy tắc “tên đứng trước trong danh sách” cho 4+3+2+1=10 nhóm, tức C(5,2)=10. Nếu đếm 5\cdot 4=20, mỗi nhóm bị đếm hai lần.
Tình huống · AB và BA · Cách đếm
Xếp hai vị trí nhất–nhì · Khác · 5\cdot 4
Chọn đội hai người · Giống · 5\cdot 4/2
Tung hai xúc xắc phân biệt · Khác · 6\cdot 6
Lấy hai thẻ cùng lúc · Thường giống · Liệt kê nhóm hoặc tổ hợp
Câu hỏi vàng: đổi vị trí hai đối tượng có tạo một kết quả mới theo đề không? Câu trả lời quyết định có chia cho số hoán vị hay không.
3. Biến cố đối: tính “ít nhất một” bằng một đường ngắn
Cộng hai biến cố phải trừ phần giao. Số 15 chỉ được đếm một lần.
BÀI MẪU
Tung đồng xu cân bằng ba lần. Tính xác suất xuất hiện ít nhất một mặt ngửa.
Biến cố đối là “không có mặt ngửa”, chỉ có chuỗi NNN. Vì P(NNN)=1/8:
P(ít nhất một H)=1-P(NNN)=1-1/8=7/8.
Nếu cộng trực tiếp các trường hợp có 1,2,3 mặt ngửa cũng được: 3/8+3/8+1/8=7/8. Hai cách độc lập trùng nhau.
LẤY BI
Hộp có 4 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc. Xác suất có ít nhất một bi đỏ?
Tổng số cặp C(7,2)=21. Biến cố đối là cả hai xanh: C(3,2)=3. Xác suất cần tìm 1-3/21=6/7.
Điều kiện không hoàn lại: sau lần chọn thứ nhất, số vật còn lại thay đổi. Không dùng (3/7)^{2} cho hai bi xanh; đúng theo thứ tự là 3/7\cdot 2/6=1/7, trùng 3/21.
Biến cố đối hữu ích khi phần “không xảy ra lần nào” chỉ có một cấu trúc, còn “ít nhất một” gồm nhiều trường hợp rời nhau.
4. Tách trường hợp rời nhau: lập số chẵn không lặp
Hai đường đếm cho cùng 4/7. Hai biến cố đối khác màu và cùng màu cộng đúng 1.
MỨC 4/5
Dùng các chữ số {0,1,2,3,4} lập ngẫu nhiên một số có ba chữ số khác nhau. Tính xác suất số đó chẵn.
Mẫu số
Hàng trăm có 4 lựa chọn 1–4. Hàng chục có 4 lựa chọn còn lại, kể cả 0 nếu chưa dùng. Hàng đơn vị có 3 lựa chọn. Tổng 4\cdot 4\cdot 3=48 số.
Tử số: tách theo chữ số cuối
- Cuối là 0: hàng trăm 4 cách, hàng chục 3 cách \Rightarrow 12.
- Cuối là 2: hàng trăm chọn trong {1,3,4}, có 3 cách; hàng chục 3 cách \Rightarrow 9.
- Cuối là 4: tương tự 9.
N chẵn =12+9+9=30; P=30/48=5/8.
Ba trường hợp rời nhau vì một số chỉ có một chữ số cuối. Chúng phủ hết mọi số chẵn vì chữ số cuối chẵn chỉ có thể là 0,2,4.
Kiểm đếm độc lập: số lẻ có cuối 1 hoặc 3. Mỗi trường hợp có 3 lựa chọn hàng trăm khác 0 và khác chữ số cuối, rồi 3 lựa chọn hàng chục, tổng 18. Ta có 30+18=48, phủ đúng toàn bộ mẫu.
5. Luyện tập và checklist “đủ–rời–đồng khả năng”
Năm lỗi đếm trùng thường gặp. Mọi lỗi đều bắt đầu từ định nghĩa sai một kết quả sơ cấp.
BÀI 1
Tung hai xúc xắc. Xác suất hai mặt bằng nhau?
Giải: sáu cặp (1,1),…,(6,6) trên 36 kết quả, nên 1/6.
BÀI 2
Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 6 học sinh, trong đó có Lan. Xác suất Lan được chọn?
Giải: tổng C(6,2)=15. Cặp có Lan: chọn thêm 1 trong 5, có 5. Xác suất 1/3.
BÀI 3
Rút một thẻ từ 1 đến 20. Xác suất số rút được chia hết cho 3 hoặc 5?
Giải: bội 3 có 6, bội 5 có 4, giao là bội 15 có 1. Số thuận lợi 6+4-1=9, nên 9/20.
BÀI 4
Một túi có 5 bi trắng, 5 bi đen. Lấy 1 bi. Có được coi hai màu đồng khả năng không?
Giải: Có, nếu mọi viên có cơ hội như nhau: mỗi màu 5/10=1/2. Nhưng hai màu không tự động đồng khả năng nếu số lượng khác.
□ Đã định nghĩa một kết quả sơ cấp
□ Đã quyết định thứ tự có ý nghĩa không
□ Đã ghi có hoàn lại hay không
□ Các trường hợp tách ra không giao nhau
□ Tổng trường hợp con bằng toàn bộ mẫu
□ Chỉ chia khi các kết quả đồng khả năng
Phép kiểm cuối: xác suất nằm trong [0,1]; biến cố lớn hơn phải có xác suất không nhỏ hơn biến cố con; tử số không vượt mẫu số.
Phòng thí nghiệm đếm: hai đường độc lập cho cùng kết quả
Hai màu, lấy hai bi không hoàn lại
Hộp có 4 bi đỏ và 3 bi xanh, lấy đồng thời 2 bi. Xác suất hai bi khác màu là C(4,1)C(3,1)/C(7,2)=12/21=4/7. Kiểm bằng thứ tự: đỏ rồi xanh có xác suất 4/7\cdot 3/6=2/7; xanh rồi đỏ có 3/7\cdot 4/6=2/7. Hai nhánh rời nhau nên tổng 4/7.
Phép kiểm còn lại: cùng màu có C(4,2)+C(3,2)=6+3=9 cặp, xác suất 9/21=3/7. Hai biến cố đối nhau và 4/7+3/7=1.
Nguyên tắc cộng và phần giao
Chọn ngẫu nhiên một số từ 1 đến 12. Biến cố A: chia hết cho 2 có 6 số. B: chia hết cho 3 có 4 số. Hai số 6,12 thuộc cả hai, nên:
|A\cup B|=6+4-2=8; P(A\cup B)=8/12=2/3.
Nếu cộng 6+4 mà không trừ phần giao, 6 và 12 bị đếm hai lần. Đây là cùng một lỗi với việc coi AB và BA là hai nhóm khác nhau khi chọn đội.
Đếm bằng chỗ trống
Lập mật mã gồm hai chữ cái khác nhau từ {A,B,C,D} rồi một chữ số từ {1,2,3}. Hai vị trí chữ có thứ tự: 4 cách rồi 3 cách; vị trí số có 3 cách. Tổng 36 mật mã. Nếu yêu cầu hai chữ không xét thứ tự thì đối tượng không còn là “mật mã theo vị trí” và phải đổi mô hình.
Biến cố đối nhiều bước
Tung xúc xắc cân bằng ba lần. Xác suất xuất hiện ít nhất một mặt 6 là 1-(5/6)^{3}=1-125/216=91/216. Ba lần độc lập nên xác suất không có 6 là tích; không dùng 1-3\cdot(1/6) vì các biến cố “lần 1 ra 6”, “lần 2 ra 6”, “lần 3 ra 6” có phần giao.
Lỗi · Dấu hiệu · Cách sửa
Đếm đôi phần giao · P cộng vượt hợp lý · Trừ A\cap B
Nhầm có thứ tự · Kết quả gấp 2!,3! · Hỏi đổi vị trí có tạo kết quả mới không
Mẫu không đồng khả năng · Gom theo số lần xảy ra · Quay về chuỗi kết quả sơ cấp
Quên chữ số đầu · Cho số nhiều chữ bắt đầu bằng 0 · Tách vị trí đầu riêng
Quên không hoàn lại · Mẫu số không giảm · Cập nhật số vật còn lại
Chứng nhận một phép đếm tốt: nêu được quy tắc sinh từng kết quả, chứng minh mỗi kết quả sinh đúng một lần và tổng các trường hợp bù đúng bằng toàn bộ mẫu.
Xưởng kiểm đếm: ba bài có hai lời giải độc lập
Rút hai thẻ và xét tính chẵn của tổng
Có chín thẻ ghi 1 đến 9, chọn đồng thời hai thẻ. Tổng chẵn khi hai số cùng tính chẵn lẻ. Có 4 số chẵn và 5 số lẻ, nên số cặp thuận lợi là C(4,2)+C(5,2)=6+10=16; mẫu có C(9,2)=36 cặp.
P(tổng chẵn)=16/36=4/9.
Kiểm bằng biến cố đối: tổng lẻ khi chọn một chẵn và một lẻ, có 4\cdot 5=20 cặp, xác suất 20/36=5/9. Hai xác suất cộng đúng 1. Nếu chọn theo thứ tự, tử số thành 32 và mẫu thành 72, vẫn cho 4/9; điều bắt buộc là tử và mẫu dùng cùng một mô hình.
Đúng một lần ra mặt 6
Tung xúc xắc ba lần. Để có đúng một mặt 6, chọn vị trí xuất hiện 6 theo ba cách; tại vị trí đó xác suất 1/6, hai vị trí còn lại mỗi vị trí có xác suất 5/6. Ba nhánh “6 ở lần một”, “6 ở lần hai”, “6 ở lần ba” rời nhau.
P(đúng một mặt 6)=3\cdot(1/6)\cdot(5/6)^{2}=75/216=25/72.
Kiểm bằng đếm chuỗi: mẫu có 6^{3}=216 chuỗi. Chọn vị trí của số 6 có 3 cách, mỗi vị trí khác có 5 lựa chọn, nên có 3\cdot 5^{2}=75 chuỗi thuận lợi. Cách xác suất và cách đếm cho cùng phân số.
Chọn ban cán sự có chức danh
Từ 6 học sinh chọn một lớp trưởng và một lớp phó. Hai chức danh khác nhau nên kết quả là cặp có thứ tự: 6 lựa chọn cho lớp trưởng, rồi 5 lựa chọn cho lớp phó, tổng 30. Nếu chỉ chọn một nhóm hai bạn không gán chức danh, có C(6,2)=15 nhóm. Hệ số 2 xuất hiện vì mỗi nhóm có hai cách gán hai chức danh.
Khi các kết quả không đồng khả năng
Một vòng quay có ba miền màu đỏ, xanh, vàng nhưng diện tích các miền lần lượt chiếm 1/2, 1/3 và 1/6. Ba “tên màu” không đồng khả năng, nên không thể chia số màu thuận lợi cho 3. Nếu hỏi xác suất không vào đỏ, phải cộng 1/3+1/6=1/2. Phép đếm cổ điển chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả sơ cấp được xác lập đồng khả năng.
Câu hỏi trước phép đếm · Nếu trả lời “có” · Nếu trả lời “không”
Đổi thứ tự có đổi kết quả? · Dùng chuỗi hoặc cặp thứ tự · Dùng nhóm, tránh đếm hoán vị
Có hoàn lại sau mỗi lần? · Số lựa chọn có thể giữ nguyên · Cập nhật mẫu số và số vật
Các kết quả ngang khả năng? · Có thể lấy số thuận lợi chia tổng · Dùng xác suất từng nhánh
Các trường hợp có giao? · Trừ phần giao hoặc tách lại · Cộng trực tiếp
Quy tắc kết sổ: trước khi chốt phân số, hãy đếm biến cố đối hoặc đổi mô hình từ tổ hợp sang thứ tự. Hai kết quả trùng nhau là bằng chứng mạnh rằng không bỏ sót và không đếm lặp.
Phạm vi kiến thức: chuyên đề xác suất THCS gồm phép thử, \Omega, biến cố, biến cố đối, đếm có hoặc không thứ tự và hệ bài luyện. Các ví dụ đã được chuẩn hóa theo kết quả sơ cấp để tránh đếm trùng.
Chứng nhận một phép đếm sạch. Chỉ chia số thuận lợi cho mẫu khi toàn bộ cửa kiểm đã qua.
Năng lực đích: trước mọi phép chia, mô tả được mẫu là gì, vì sao đủ, vì sao không trùng và vì sao các kết quả đang dùng là đồng khả năng.