Trò bốc sỏi 2026 viên: tìm vị trí thua, chứng minh chiến thuật thắng
Lập bảng thắng thua, chứng minh quy luật số dư bằng quy nạp và viết chiến thuật để người đi trước luôn thắng trò bốc 1, 3 hoặc 4 viên sỏi từ 2026 viên.
Toán tư duy · Trò chơi hai người · Lớp 8 - 9
Trò bốc sỏi 2026 viên: tìm vị trí thua, chứng minh chiến thuật thắng
Hai bạn lần lượt bốc 1, 3 hoặc 4 viên sỏi từ một đống 2026 viên. Bài này dạy em cách không cần đoán mò: lập bảng từ số nhỏ, tìm quy luật số dư, chứng minh nó đúng với mọi số sỏi, rồi viết thành chiến thuật mà đối thủ không thể phá.
Khoảng 90 phút Mức: khá đến giỏi Số dư · quy nạp · lập bảng
Bạn sẽ học: vị trí thắng - vị trí thua, chứng minh hai chiều bằng quy nạp, viết chiến thuật hoàn chỉnh, đổi luật chơi mà vẫn giải được.
1 Đề bài, luật chơi và những ván thử
Hiểu luật thật chắc, chơi vài ván nhỏ, rồi mới đi tìm quy luật.
Trò chơi bốc sỏi là kiểu bài rất hay gặp trong các bài toán nâng cao Toán lớp 9. Bài học này do LUKATO viết bằng lời riêng: luật chơi như dưới đây, và yêu cầu là tìm chiến thuật để người đi trước luôn thắng.
Đề bài
Ban đầu trên bàn có 2026 viên sỏi . An và Bình lần lượt bốc sỏi, An đi trước. Trong lượt của mình, mỗi bạn phải bốc đúng 1 viên, 3 viên hoặc 4 viên . Người nào đến lượt mà không thể bốc thì thua. Hãy chỉ ra chiến thuật giúp An luôn thắng, bất kể Bình chơi thế nào.
GV
Cô Lukato
Con số 2026 nghe đáng sợ, nhưng em chưa cần đụng tới nó. Việc đầu tiên của người giải trò chơi là thu nhỏ : chơi với 1 viên, 2 viên, 3 viên... và ghi lại điều gì xảy ra. Quy luật thường tự lộ ra ở các số nhỏ.
Trước hết cần hiểu thật chính xác luật chơi, vì mọi lập luận sau này dựa vào nó.
Được làm
- Ở mỗi lượt, bốc đúng 1, 3 hoặc 4 viên.
- Bốc khi số sỏi còn lại đủ số cần bốc. Ví dụ còn 3 viên thì được bốc 1 hoặc 3.
- Hai bạn đều chơi hết sức, không cố tình nhường.
Không được làm
- Không bốc 2 viên, không bốc 5 viên, không bỏ lượt.
- Không bốc nhiều hơn số sỏi còn lại. Còn 2 viên thì không thể bốc 3.
- Không đổi luật giữa chừng.
Ai thua?
Khi nào một người “không thể bốc”? Nước bốc nhỏ nhất là 1 viên, nên chỉ cần còn ít nhất 1 viên là người đó vẫn bốc được. Vậy người thua là người đến lượt khi trên bàn đã hết sỏi (0 viên) . Tức là ai bốc viên cuối cùng thì thắng .
Vài từ ngữ em sẽ gặp nhiều lần trong bài:
- Vị trí là tình huống hiện tại của ván chơi. Ở bài này, vị trí chỉ cần một số: số sỏi còn trên bàn (và biết đang đến lượt ai).
- Nước đi là một lần bốc hợp lệ, làm vị trí chuyển từ số này sang số nhỏ hơn.
- Chiến thuật là một quy tắc nói rõ: gặp vị trí nào thì bốc bao nhiêu. Chiến thuật thắng là chiến thuật mà theo nó, thắng chắc chắn, dù đối thủ đi thế nào.
- Chơi tối ưu nghĩa là nếu có nước đi giúp thắng chắc thì chọn nước đó.
Bây giờ hãy chơi thử. Lấy 10 đồng xu hoặc vẽ 10 chấm trên giấy và chơi với một bạn, hoặc tự chơi hai vai. Trong lúc chơi, chú ý câu hỏi: ai đang nắm thế chủ động? Dưới đây là một ván mẫu để em thấy nước đi đầu tiên quan trọng đến mức nào.
Ví dụ 1 · Ván chơi thử với 5 viên sỏi
An bốc 3 viên , trên bàn còn 5-3=2 viên. Đến lượt Bình.
Nước này hợp lệ vì 3 nằm trong \{1, 3, 4\} và còn đủ sỏi.
Bình chỉ có một lựa chọn: bốc 1 viên (vì còn 2 viên nên không thể bốc 3 hoặc 4). Còn 2-1=1 viên.
Đây là điểm mấu chốt: bị đẩy vào thế chỉ còn một lựa chọn là dấu hiệu của vị trí bất lợi.
An bốc nốt 1 viên, trên bàn còn 0 viên. Đến lượt Bình mà không còn sỏi, Bình không thể bốc nên Bình thua. An thắng.
Vì An bốc viên cuối cùng.
Thử lại từ đầu với một nước khác: nếu An bốc 1 viên (còn 4), Bình bốc luôn 4 viên, hết sạch, và Bình thắng.
Cùng 5 viên, chỉ đổi nước đầu mà kết quả đảo ngược. Vì vậy bài toán là tìm nước đi đúng , không phải nước đi bất kì.
Bẫy thường gặp
Nhiều bạn kết luận: “Có nhiều sỏi thì người đi trước lợi hơn” hoặc ngược lại. Ví dụ trên cho thấy điều này sai: với 5 viên An thắng, nhưng với 2 viên An lại thua (chỉ bốc được 1, để lại 1 viên cho Bình bốc nốt). Số sỏi nhiều hay ít tự nó không quyết định ai thắng.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Trên bàn có 4 viên sỏi và An đi trước. An có đúng một nước đi để thắng chắc. Đó là bốc bao nhiêu viên?
Gợi ý 1. Với 4 viên, An có ba nước: bốc 1, bốc 3 hoặc bốc 4. Hãy xem mỗi nước để lại bao nhiêu viên cho Bình.
Gợi ý 2. Nước nào khiến Bình đến lượt mà trên bàn không còn viên nào?
Chính xác! Bốc 4 viên thì trên bàn còn 0, Bình không bốc được nên thua ngay.
Bốc 1 để lại 3 viên. Bình chỉ cần bốc cả 3 viên là thắng ngay, nên đây là nước thua.
Bốc 3 để lại 1 viên. Bình bốc viên cuối cùng và thắng, nên đây là nước thua.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Xét từng nước của An:
- Bốc 1, còn 3 viên: Bình bốc cả 3 và thắng.
- Bốc 3, còn 1 viên: Bình bốc nốt 1 viên và thắng.
- Bốc 4, còn 0 viên: Bình không thể bốc nên thua.
Vậy nước thắng duy nhất là bốc 4 .
Với đúng 2 viên sỏi trên bàn và đến lượt An, điều nào sau đây đúng?
Sai: chính Bình mới là người bốc viên cuối cùng, nên An chưa thắng. Sai lầm ở chỗ nhìn “chỉ còn 1 viên” thành lợi thế của người vừa bốc.
Sai: không được bốc 3 viên khi trên bàn chỉ có 2 viên (không bốc quá số sỏi còn lại).
Đúng: với 2 viên, nước hợp lệ duy nhất là bốc 1. Còn 1 viên, Bình bốc nốt, đến lượt An thì hết sỏi và An thua.
Sai: luật chỉ cho bốc 1, 3 hoặc 4 viên; bốc 2 viên không được phép.
2 Hai nhãn đủ để giải cả trò chơi
Gán nhãn thắng - thua cho từng số sỏi, bắt đầu từ 0 và đi dần lên.
Chơi thử cho ta cảm giác, nhưng muốn chắc chắn thì cần một công cụ. Công cụ đó rất đơn giản: gán mỗi vị trí đúng một trong hai nhãn.
Hai nhãn của trò chơi
Vị trí thua : người đến lượt ở vị trí này thua, nếu đối thủ chơi tối ưu. Vị trí thắng : người đến lượt ở vị trí này thắng, nếu chơi tối ưu.
Hai nhãn được xác định từ 0 trở lên theo hai quy tắc:
- 0 viên là vị trí thua (đến lượt mà hết sỏi thì thua).
- Một vị trí là thắng nếu có ít nhất một nước đi tới một vị trí thua.
- Một vị trí là thua nếu mọi nước đi đều tới vị trí thắng.
Nghe có vẻ vòng vo, nhưng hãy để ý: nhãn của số n chỉ phụ thuộc nhãn của các số nhỏ hơn n (là n-1, n-3, n-4). Vì vậy ta có thể tính lần lượt 0, 1, 2, 3,\dots không bị mắc kẹt. Hãy tự làm trước khi xem: điền nhãn cho các số từ 0 đến 10.
Ví dụ 2 · Lập bảng nhãn từ 0 đến 10
n=0: hết sỏi nên thua . n=1: chỉ bốc được 1 viên, tới 0 là vị trí thua, nên 1 là thắng .
Có một nước tới vị trí thua là đủ để thắng.
n=2: chỉ bốc được 1 viên (không thể 3 hay 4), tới 1 là vị trí thắng. Mọi nước đều tới vị trí thắng nên 2 là thua . n=3: được bốc 1 (tới 2, thua) hoặc bốc 3 (tới 0, thua), nên 3 là thắng .
Ở n=2 chỉ có một nước, và nước đó dẫn đến vị trí thắng của đối thủ.
n=4: bốc 4 tới 0 (thua) nên thắng . n=5: bốc 3 tới 2 (thua) nên thắng . n=6: bốc 4 tới 2 (thua) nên thắng .
Chỉ cần tìm được MỘT nước tới vị trí thua.
n=7: các nước tới 6, 4, 3. Cả ba đều là vị trí thắng, nên 7 là thua . n=8: bốc 1 tới 7 (thua) nên thắng .
Thua nghĩa là không còn đường thoát: mọi nước đều trao cho đối thủ một vị trí thắng.
n=9: các nước tới 8, 6, 5 đều là thắng, nên 9 là thua . n=10: bốc 1 tới 9 (thua) nên thắng .
Kết quả: các vị trí thua từ 0 đến 10 là 0, 2, 7, 9.
Hình 1. Bảng 0 đến 20 chia thành bảy cột theo số dư khi chia cho 7. Hai cột dư 0 và dư 2 là các vị trí thua.
Hình 1 xếp các số 0, 1, 2, ... thành từng hàng bảy số. Nhìn theo cột , em thấy hai cột dư 0 và dư 2 toàn là ô đỏ. Ta chưa được phép kết luận điều đó đúng mãi mãi, mới chỉ là quan sát. Đây là chỗ mà nhiều bạn dừng lại quá sớm.
GV
Cô Lukato
Em vừa nhìn ra một dự đoán rất đẹp: vị trí thua là những số chia 7 dư 0 hoặc dư 2 . Trong toán, dự đoán từ 20 con số chưa phải là chứng minh. Phần 3 sẽ chứng minh nó đúng cho mọi số sỏi, kể cả 2026.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Theo Hình 1 (từ 0 đến 20), có bao nhiêu số là vị trí thua?
Gợi ý 1. Đếm các ô đỏ ở cả ba hàng.
Gợi ý 2. Mỗi hàng có hai ô đỏ, nhưng hàng cuối cùng chỉ chạy đến 20.
Chính xác! Các vị trí thua là 0, 2, 7, 9, 14, 16: tổng cộng 6 số.
Có thể bạn đã đếm cả số 21 (chia 7 dư 0) dù bảng chỉ đến 20.
Bạn có thể đã bỏ sót một ô đỏ. Mỗi hàng đủ bảy ô đều có hai ô đỏ.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Hàng thứ nhất (0 đến 6): các ô 0 và 2. Hàng thứ hai (7 đến 13): 7 và 9. Hàng thứ ba (14 đến 20): 14 và 16. Tổng cộng 2+2+2=6 số.
Chú ý: số 21 cũng là vị trí thua nhưng nó vượt quá 20 nên không tính.
Bài 3 Mức 1 · Nhận biết
Người đi trước nên bốc bao nhiêu viên để thắng chắc khi trên bàn có 25 viên? (Hãy nhập một số. Với 25 viên, chỉ có đúng một nước thắng.)
Gợi ý 1. Tìm số dư của 25 khi chia cho 7.
Gợi ý 2. Từ dư đó, muốn tới dư 0 hoặc dư 2 thì cần trừ bao nhiêu, và số đó có nằm trong \{1, 3, 4\} không?
Chính xác! 25=7\cdot 3+4, bốc 4 viên còn 21, chia hết cho 7 nên là vị trí thua của đối thủ.
Bốc 1 còn 24, chia 7 dư 3: đó là vị trí thắng của Bình.
Bốc 3 còn 22, chia 7 dư 1: đó là vị trí thắng của Bình.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
25 = 7\cdot 3 + 4, tức dư 4. Ba nước có thể: bốc 1 còn 24 (dư 3), bốc 3 còn 22 (dư 1), bốc 4 còn 21 (dư 0). Chỉ có dư 0 là vị trí thua, nên nước duy nhất là bốc 4 .
Điều nào sau đây là định nghĩa đúng của “vị trí thua”?
Sai: số sỏi bốc trong một lượt không liên quan đến việc thắng thua, chỉ quan trọng là trao cho đối thủ vị trí nào.
Đúng: đây chính là định nghĩa. Nếu vẫn có một nước tới vị trí thua thì người đến lượt đã thắng, nên vị trí đó không thể là vị trí thua.
Sai: 2 là số chẵn và thua, nhưng 4 cũng chẵn mà lại thắng (bốc 4 hết sỏi).
Sai: vị trí 7 cho phép bốc 4 nhưng vẫn thua; vị trí 3 không bốc được 4 mà lại thắng.
Điền vào chỗ trống: vị trí 7 tới được 6, 4, 3 đều là vị trí thắng, nên 7 là vị trí thua. Vị trí 8 bốc viên để tới 7 nên là vị trí thắng. Vị trí 9 tới 8, 6, 5 đều thắng nên 9 là vị trí thua; vị trí 10 bốc viên để tới 9.
Mở rộng: vì sao hai nhãn này mô tả đúng chuyện thắng - thua thật?
Ta cần chứng minh: nếu ai đó ở vị trí “thắng” thì có cách chơi để chắc chắn thắng. Dùng quy nạp theo số sỏi n.
Ở vị trí thắng, có nước đi tới vị trí thua m\lt n. Theo giả thiết quy nạp, người ở vị trí thua m (là đối thủ) không thể thắng nếu ta tiếp tục chơi đúng. Ngược lại, ở vị trí thua, mọi nước đi đều tới vị trí thắng, mà người kia có cách thắng chắc từ đó. Với n=0, người đến lượt không bốc được nên thua ngay: đúng. Vì số sỏi luôn giảm, ván chơi không kéo dài vô hạn, nên lập luận này khép kín.
3 Từ quan sát đến chứng minh
Dự đoán “dư 0 hoặc 2” đúng cho mọi số sỏi. Ta chứng minh cả hai chiều.
Ta đã có dự đoán: vị trí thua là các số chia 7 dư 0 hoặc dư 2 . Để biến dự đoán thành định lí, ta phải chứng minh hai điều, giống như chứng minh một tập hợp bằng một tập hợp khác.
Điều cần chứng minh
Định lí. Số sỏi n là vị trí thua khi và chỉ khi n chia 7 dư 0 hoặc dư 2.
- Chiều thứ nhất (không thoát được). Từ một số dư 0 hoặc dư 2, mọi nước đi đều tới số có dư khác 0 và khác 2.
- Chiều thứ hai (luôn có đường tới). Từ một số có dư khác 0 và khác 2, luôn có một nước đi hợp lệ tới số dư 0 hoặc dư 2.
GV
Cô Lukato
Vì sao cần cả hai chiều? Chiều thứ nhất nói rằng người đang ở vị trí “dư 0 hoặc 2” không thể tự cứu mình. Chiều thứ hai nói rằng ai ở vị trí còn lại thì luôn cứu được mình. Thiếu một chiều là lập luận hở.
Hình 2. Từ mỗi dư thắng có mũi tên tới một dư thua; số ghi là số viên bốc (dấu trừ nghĩa là số sỏi giảm). Dư 3 có hai nước tốt: bốc 1 (nét liền) hoặc bốc 3 (nét đứt).
Hình 2 gói cả chiều thứ hai vào một bức tranh: mỗi dư thắng có mũi tên tới một dư thua. Ta viết lại thành bảng để dễ tra và dễ kiểm tra.
Dư của n · Số viên bốc · Dư còn lại
1 · 1 · 0
3 · 1 hoặc 3 · 2 hoặc 0
4 · 4 · 0
5 · 3 · 2
6 · 4 · 2
Chiều thứ hai đọc trực tiếp từ bảng. Chỉ còn phải kiểm tra bốc được thật: số sỏi n ít nhất bằng số dư của nó, mà số dư đều không nhỏ hơn số viên cần bốc (dư 1 bốc 1; dư 3 bốc 1 hoặc 3; dư 4 bốc 4; dư 5 bốc 3; dư 6 bốc 4). Do đó nước đi luôn đủ sỏi.
Chiều thứ nhất ta kiểm tra bằng cách trừ 1, 3, 4 từ dư 0 và dư 2 (có thể phải cộng thêm 7 để ra dư từ 0 đến 6):
Dư hiện tại · Bốc 1 · Bốc 3 · Bốc 4
0 · dư 6 · dư 4 · dư 3
2 · dư 1 · dư 6 · dư 5
Không có ô nào là dư 0 hoặc dư 2. Vậy người ở dư 0 hoặc dư 2 chỉ có thể đưa đối thủ tới một dư từ tập \{1, 3, 4, 5, 6\}, là những vị trí thắng.
Ví dụ 3 · Chứng minh định lí bằng quy nạp mạnh
Gọi mệnh đề P(n): “n là vị trí thua khi và chỉ khi n chia 7 dư 0 hoặc 2”. Kiểm tra n=0: 0 chia 7 dư 0 và 0 là vị trí thua. P(0) đúng.
Quy nạp mạnh nghĩa là ta được dùng P(m) cho mọi m\lt n, không chỉ m=n-1, vì nước đi có thể nhảy xuống n-1, n-3 hoặc n-4.
Giả sử P(m) đúng với mọi 0\le m\lt n. Trường hợp 1 : n chia 7 dư 0 hoặc 2 (và n\ge 2). Mọi nước đi tới m\lt n; theo chiều thứ nhất m có dư khác 0 và khác 2, nên theo P(m), m là vị trí thắng.