Số dư, số nguyên tố và chiến thuật thắng: bốn bài số học cho học sinh giỏi Toán 9
Ba cách nghĩ cho bốn bài số học: chứng minh chia hết cho 72, tìm hai số nguyên tố, tính xác suất theo chẵn lẻ và tìm chiến thuật thắng khi bốc sỏi.
Toán 9 · Bồi dưỡng học sinh giỏi · Số học
Số dư, số nguyên tố và thế thắng: ba cách nghĩ cho bốn bài toán số học
Bài này đi từ một hàng số dư nhỏ xíu đến bốn bài toán khó: chứng minh chia hết cho 72, tìm hai số nguyên tố sao cho hai biểu thức cùng là số chính phương, tính xác suất bằng tính chẵn lẻ và tìm chiến thuật thắng trong trò bốc sỏi. Mỗi bài chỉ cần vài công cụ, nhưng phải dùng đúng lúc và không bỏ sót trường hợp nào.
Khoảng 90 đến 120 phút, có thể chia hai buổi Mức: giỏi, có phần thử thách Số học, xác suất, trò chơi
Em sẽ học: đồng dư và số dư của số chính phương, tách 72 thành 8 nhân 9, tích hai số cách nhau 2, chia trường hợp theo số nguyên tố đặc biệt, xác suất theo tính chẵn lẻ, thế thắng và thế thua.
1 Bốn bài toán, bốn kiểu câu hỏi
Đọc đề trước, nghĩ công cụ sau: mỗi bài hỏi một kiểu khác nhau.
Một bài toán số học khó hiếm khi khó vì phép tính. Nó khó vì có quá nhiều đường đi , và em phải biết chọn đường ngắn, đồng thời không bỏ sót ngã rẽ nào. Trong bài này, ta luyện đúng điều đó trên bốn bài toán số học, xác suất và trò chơi ở mức học sinh giỏi Toán lớp 9.
Bốn bài toán như sau. Em chưa cần giải, chỉ cần đọc để thấy mỗi bài hỏi một kiểu câu hỏi khác nhau.
Bài · Đề bài · Cần làm gì
A · Cho các số nguyên a, b thỏa a^{2}+b^{2}+a+b=3ab. Chứng minh ab(a-2)(b-2) chia hết cho 72. · Chứng minh điều chắc chắn xảy ra với mọi nghiệm (dùng chẵn lẻ, số dư khi chia cho 3)
B · Tìm mọi số nguyên tố p, q sao cho p+3q-2 và 9pq+1 đều là số chính phương. · Tìm tất cả các khả năng có thể xảy ra (chia trường hợp, tích hai số cách nhau 2)
C · Ba hộp thẻ \{1;2;3\}, \{4;6;8\}, \{5;7;9\}. Rút ngẫu nhiên một thẻ từ mỗi hộp. Tính xác suất tổng ba số là số lẻ. · Đếm kết quả ngẫu nhiên (chỉ nhìn chẵn lẻ, không cộng số)
D · Có 2026 viên sỏi. Hai người lần lượt bốc 1, 3 hoặc 4 viên. Ai không bốc được thì thua. Tìm chiến thuật thắng cho người đi trước. · Thắng bất kể đối thủ chơi thế nào (thế thắng, thế thua, số dư khi chia cho 7)
GV
Cô Lukato
Cô thường bắt đầu mỗi bài bằng một câu hỏi: đề đang hỏi kiểu gì? Bài A hỏi "chắc chắn đúng". Bài B hỏi "còn những khả năng nào". Bài C hỏi "tỉ lệ bao nhiêu". Bài D hỏi "có cách nào thắng chắc". Kiểu câu hỏi khác nhau thì cách suy luận khác nhau. Nếu em dùng lối nghĩ của bài C để làm bài D, em sẽ sai, và ở mục 8 cô sẽ cho em thấy vì sao.
Trước khi vào bài, hãy thử sức với ba câu ngắn để cô biết em đang đứng ở đâu. Sai cũng không sao: mỗi phương án đều có giải thích.
Số nguyên n nào dưới đây có n^{2} chia cho 3 dư 2?
Sai. 4^{2}=16=3\cdot 5+1, dư 1.
Sai. 5^{2}=25=3\cdot 8+1, dư 1.
Sai. 6^{2}=36 chia hết cho 3, dư 0.
Đúng. Mọi số nguyên có dạng 3k, 3k+1 hoặc 3k+2. Bình phương của chúng lần lượt chia 3 dư 0, 1, 1. Không bao giờ dư 2. Bạn sẽ dùng sự thật này nhiều lần trong bài.
Một hộp có 5 thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên một thẻ.
a) Xác suất rút được thẻ số 3 là \dfrac{1}{5}.
Đúng: có 5 kết quả đồng khả năng, chỉ 1 kết quả thuận lợi.
b) Xác suất rút được thẻ chẵn là \dfrac{1}{2}.
Sai: thẻ chẵn là 2 và 4, tức 2 trong 5 thẻ, xác suất là \dfrac{2}{5}.
c) Xác suất rút được thẻ có số nhỏ hơn 6 là 1.
Đúng: cả 5 thẻ đều nhỏ hơn 6, đây là biến cố chắc chắn.
d) Xác suất của một biến cố có thể lớn hơn 1.
Sai: xác suất luôn nằm trong đoạn từ 0 đến 1.
Hai người bốc sỏi, mỗi lượt được bốc 1 hoặc 2 viên, ai bốc viên cuối cùng thì thắng. Nếu còn 3 viên mà đến lượt bạn thì bạn thua vì dù bạn bốc 1 hay 2, đối thủ đều bốc được phần còn lại. Vậy nếu còn 4 viên và đến lượt bạn, bạn nên bốc viên để đối thủ rơi vào thế thua, và nếu còn 5 viên thì bạn nên bốc viên.
Nhịp học của cả bài: đọc đề, đoán, thử trên nháp, mở gợi ý, rồi mới đối chiếu lời giải . Mỗi mục có bài tập chấm điểm tại chỗ; bảng tổng kết cuối bài gom điểm theo kỹ năng để em biết nên ôn phần nào.
2 Công cụ nền: đồng dư và số dư của số chính phương
Thay số to bằng số dư nhỏ, rồi liệt kê hết các khả năng.
Gần như mọi lời giải trong bài đều bắt đầu từ một ý rất nhỏ: thay vì làm việc với số to, hãy làm việc với số dư của nó . Số dư chỉ nhận vài giá trị, nên ta có thể liệt kê hết.
Đồng dư, nói cho gọn
Ta viết a \equiv b \ (\mathrm{mod}\ m) và đọc "a đồng dư với b theo môđun m" khi a và b có cùng số dư trong phép chia cho m, tức là m chia hết hiệu a-b. Ví dụ 17 \equiv 2 \ (\mathrm{mod}\ 5) vì 17-2=15 chia hết cho 5.
Điều tiện lợi: có thể cộng, trừ, nhân hai vế đồng dư với nhau, và nâng cả hai vế lên cùng một lũy thừa. Vì thế, để biết số dư của một biểu thức, ta thay từng số bằng số dư của nó rồi mới tính.
Vì sao "thay số bằng số dư" được phép? Lấy a=3k+r. Khi bình phương, a^{2}=9k^{2}+6kr+r^{2}=3(3k^{2}+2kr)+r^{2}. Phần đầu chia hết cho 3, nên a^{2} và r^{2} có cùng số dư. Lập luận này đúng cho mọi môđun, không cần học thuộc.
Bảng dưới đây liệt kê số dư có thể có của một số chính phương theo vài môđun. Các dòng này được kiểm tra bằng chương trình; em nên tự thử bằng cách bình phương các số dư 0; 1; 2; \dots rồi lấy dư.
m · Dư của n^{2} · Không xuất hiện
3 · 0 hoặc 1 · 2
4 · 0 hoặc 1 · 2 và 3
5 · 0, 1 hoặc 4 · 2 và 3
7 · 0, 1, 2 hoặc 4 · 3, 5 và 6
8 · 0, 1 hoặc 4 · 2, 3, 5, 6 và 7
Ghi nhớ: dùng bảng số dư để loại nhanh
Muốn chứng minh một số không phải số chính phương, hãy tìm một môđun m sao cho số đó có số dư nằm ngoài danh sách của m. Ví dụ số chia 4 dư 2 hoặc dư 3 không thể là số chính phương; số chia 3 dư 2 cũng vậy.
Hai dạng số dư hay dùng khác:
- Số lẻ có dạng 2k+1, nên (2k+1)^{2}=4k(k+1)+1. Vì k(k+1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên chẵn, ta có bình phương của số lẻ luôn chia 8 dư 1 .
- Với t nguyên, biểu thức t^{2}+t=t(t+1) là tích hai số nguyên liên tiếp. Nó luôn chẵn. Khi chia cho 3, nó dư 0 nếu t \equiv 0 hoặc t \equiv 2, và dư 2 nếu t \equiv 1. Ta sẽ dùng bảng nhỏ này ở Bài A.
t dư · t^{2} dư · t^{2}+t dư
0 · 0 · 0
1 · 1 · 2
2 · 1 · 0
Ví dụ 1 · Số n^{2}+n+2 có bao giờ chia hết cho 3 không?
Lập bảng số dư: với n chia 3 dư 0, 1, 2 thì n^{2}+n chia 3 dư lần lượt 0, 2, 0 (bảng ở trên). Cộng thêm 2 ta được các dư 2, 4 và 2, tức 2, 1 và 2 sau khi rút gọn.
Vì sao làm vậy: mọi số nguyên đều thuộc một trong ba lớp số dư, nên chỉ cần xét đúng ba trường hợp.
Trong ba trường hợp, số dư của n^{2}+n+2 là 2, 1, 2. Không có trường hợp nào dư 0.
Vì sao làm vậy: để một số chia hết cho 3, số dư phải bằng 0. Ta kiểm tra xem có trường hợp nào cho dư 0 hay không.
Kết luận: n^{2}+n+2 không bao giờ chia hết cho 3, với mọi số nguyên n. Thử lại: n=1 cho 4, n=2 cho 8, n=3 cho 14, đều không chia hết cho 3.
Vì sao làm vậy: phép thử vài số chỉ để tự tin; điều làm nên chứng minh là ba trường hợp đã phủ kín mọi số nguyên.
Bẫy thường gặp
Nhiều em thấy 2 \cdot 2 = 4 \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 4) rồi kết luận "tích chia hết cho 4 thì một trong hai thừa số chia hết cho 4". Sai: 2 và 2 đều không chia hết cho 4 nhưng tích 4 thì có. Quy tắc "tích chia hết cho m thì một thừa số chia hết cho m" chỉ đúng khi m là số nguyên tố.
Bẫy: đồng dư của bình phương
Từ a^{2} \equiv b^{2} không suy ra được a \equiv b. Chẳng hạn 1^{2} \equiv 2^{2} \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 3) nhưng 1 và 2 khác số dư. Đảo lại, từ a \equiv b thì chắc chắn a^{2} \equiv b^{2}.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Số nguyên n có bình phương n^{2} chia 4 nhận được bao nhiêu giá trị số dư khác nhau? (Nhập một số.)
Gợi ý 1. Liệt kê n=0;1;2;3 và tính n^{2} chia 4.
Gợi ý 2. Số dư của n^{2} chỉ phụ thuộc số dư của n khi chia 4.
Chính xác! Các số dư là 0 (khi n chẵn) và 1 (khi n lẻ), tức 2 giá trị.
Bạn đang đếm số dư có thể có của n, chứ không phải của n^{2}. Hãy bình phương rồi mới lấy dư.
Số dư 2 và 3 không bao giờ xuất hiện ở số chính phương khi chia cho 4.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Số dư của n khi chia 4 là 0, 1, 2 hoặc 3, và n^{2} khi đó lần lượt dư 0;\ 1;\ 4=0;\ 9=1. Vậy chỉ có hai giá trị 0 và 1.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Tìm số dư khi chia 2026^{2}+2026 cho 3.
Gợi ý 1. Tìm số dư của 2026 khi chia cho 3.
Gợi ý 2. Dùng bảng: t \equiv 1 thì t^{2}+t dư bao nhiêu?
Chính xác! 2026 = 3 \cdot 675 + 1 nên 2026 \equiv 1, suy ra 2026^{2}+2026 \equiv 1+1=2.
Bạn có thể đã nghĩ 2026^{2}+2026=2026\cdot 2027, tích hai số liên tiếp, luôn chia hết cho 3. Không đúng: tích hai số liên tiếp chỉ chắc chắn chia hết cho 2; phải là tích ba số liên tiếp mới chắc chắn chia hết cho 3 (và cho 6). Ở đây 2026 chia 3 dư 1, 2027 chia 3 dư 2, nên tích chia 3 dư 2.
Hãy cộng đủ hai số dư: 1^{2} cộng 1.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
2026 = 3\cdot 675+1, nên 2026 \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 3). Khi đó 2026^{2}+2026 \equiv 1^{2}+1 = 2 \ (\mathrm{mod}\ 3).
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Tính số dư khi chia 1^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}+9^{2} cho 8.
Gợi ý 1. Mọi số lẻ đều có dạng 2k+1.
Gợi ý 2. Bình phương của số lẻ luôn chia 8 dư 1.
Chính xác! Mỗi số hạng dư 1, có 5 số hạng, tổng dư 5.
Bạn quên cộng: có tới 5 số hạng, mỗi số dư 1.
Tổng 165 không chia hết cho 8. Hãy kiểm tra lại.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Vì (2k+1)^{2}=4k(k+1)+1 và k(k+1) chẵn nên mỗi bình phương số lẻ dư 1 khi chia 8. Có 5 số hạng nên tổng dư 5. Kiểm tra: 1+9+25+49+81=165=8\cdot 20+5.
Số nào dưới đây không thể là số chính phương?
Sai chỗ nghi ngờ: 2500=50^{2}.
Sai chỗ nghi ngờ: 6561=81^{2}.
Đúng: chữ số cuối là 2 nên số này chia 4 dư 2 (hai chữ số cuối là 02, và 02 chia 4 dư 2). Số chia 4 dư 2 không thể là số chính phương.
Sai chỗ nghi ngờ: 1000000=1000^{2}.
3 Bài A: vì sao lại là 72?
Tách 72 thành 8 nhân 9, rồi lấy tính chẵn lẻ và số dư khi chia cho 3 ra làm việc.
Bài A. Cho các số nguyên a, b thỏa mãn a^{2}+b^{2}+a+b=3ab. Chứng minh rằng N=ab(a-2)(b-2) chia hết cho 72.
Trước khi làm, hãy hỏi: có nghiệm nguyên nào không? Nếu không có nghiệm nào thì bài toán rỗng. Thử vài số nhỏ: (a;b)=(0;0) thỏa, (2;3) thỏa vì 4+9+2+3=18=3\cdot 6, và (3;6) thỏa vì 9+36+3+6=54=3\cdot 18. Bảng dưới cho giá trị của N ở các nghiệm này (tính bằng chương trình).
(a;b) · N · N:72
(0;0) · 0 · 0
(2;3) · 0 · 0
(3;6) · 72 · 1
(6;14) · 4032 · 56
(14;35) · 194040 · 2695
Ở mọi nghiệm, N chia hết cho 72, và ở (3;6) thì N bằng đúng 72. Như vậy con số 72 vừa đúng, vừa không thể thay bằng số lớn hơn. Nhưng vài nghiệm nhỏ chưa phải chứng minh: ta cần một lập luận đúng cho mọi nghiệm nguyên, kể cả số âm.
GV
Cô Lukato
Câu hỏi đáng hỏi là: 72 từ đâu ra? Hãy phân tích 72=8\cdot 9. Hai thừa số này nguyên tố cùng nhau. Nếu chứng minh được 8 \mid N và 9 \mid N riêng rẽ thì 72 \mid N. Chia một nhiệm vụ khó thành hai nhiệm vụ dễ, đó là hướng nghĩ của bài này.
Ghi nhớ: tách thành hai nguyên tố cùng nhau
Nếu m và n nguyên tố cùng nhau, cùng chia hết N thì tích mn chia hết N. Vì \gcd(8;9)=1, ta chỉ cần chứng minh 8 \mid N và 9 \mid N.
Viết lại N=\big[a(a-2)\big]\cdot\big[b(b-2)\big]. Mỗi ngoặc là tích của hai số nguyên cách nhau 2. Đề bài cho ta điều kiện a^{2}+b^{2}+a+b=3ab; ta sẽ khai thác nó bằng hai cách: nhìn chẵn lẻ để lấy thừa số 8, nhìn số dư khi chia cho 3 để lấy thừa số 9.
Ví dụ 2 · Chứng minh trọn vẹn Bài A
Thừa số 8. Ta có a^{2}+a=a(a+1) và b^{2}+b=b(b+1) đều là tích hai số nguyên liên tiếp nên đều chẵn. Từ đề bài, 3ab=(a^{2}+a)+(b^{2}+b) là tổng hai số chẵn, nên chẵn. Vì 3 lẻ, suy ra ab chẵn, tức ít nhất một trong hai số a, b chẵn.
Vì sao làm vậy: ta cần một số chẵn để có thừa số 2, và đề bài không cho trực tiếp; nó nằm ẩn trong đẳng thức.
Giả sử a chẵn, a=2k. Khi đó a(a-2)=2k(2k-2)=4k(k-1). Vì k(k-1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên chẵn, ta có a(a-2) chia hết cho 8. Nếu b chẵn thì lập luận y hệt cho b(b-2). Nhân với thừa số nguyên còn lại, N chia hết cho 8.
Vì sao làm vậy: hai số chẵn cách nhau 2 chứa thêm một số chẵn nữa bên trong, nên tích của chúng chia hết cho 2\cdot 4=8.
Thừa số 9. Lấy đẳng thức theo môđun 3: vế phải 3ab \equiv 0, nên (a^{2}+a)+(b^{2}+b) \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 3). Theo bảng ở mục 2, mỗi t^{2}+t chỉ dư 0 hoặc 2 khi chia 3 (dư 2 khi t \equiv 1). Tổng hai số dư thuộc \{0;2\}: 0+0=0, 0+2=2, 2+0=2, 2+2=4 \equiv 1. Chỉ có 0+0 cho tổng \equiv 0.
Vì sao làm vậy: tổng cần chia hết cho 3 là ràng buộc rất chặt lên số dư, chặt tới mức chỉ còn một khả năng.
Vậy cả a^{2}+a \equiv 0 và b^{2}+b \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 3), tức a và b đều chia 3 dư 0 hoặc 2. Nếu a \equiv 0 thì 3 \mid a; nếu a \equiv 2 thì 3 \mid a-2. Trong cả hai trường hợp 3 \mid a(a-2). Tương tự 3 \mid b(b-2). Nhân lại: 9 \mid N.