Mô hình hóa bài toán thực tế Toán 9: đặt ẩn, lập hệ, đối chiếu điều kiện
Học cách dịch bài toán lời văn thành phương trình, hệ và bất phương trình: đặt ẩn, điều kiện, làm tròn số nguyên, đối chiếu. Bài luyện do LUKATO soạn theo…
Toán 9 · Ôn tập học kì I
Mô hình hóa bài toán thực tế: từ đoạn văn đến phương trình, hệ và bất phương trình
Bài toán lời văn khó ở chỗ dịch chứ không khó ở chỗ giải. Em sẽ học một quy trình sáu bước để dịch đúng, giải gọn và đối chiếu kết quả với tình huống thật, rồi luyện qua tuổi, hình chữ nhật, tiền, phần trăm, chuyển động và năng suất.
Khoảng 2 giờ học Mức: khá – giỏi Có đề luyện tổng hợp
Bạn sẽ học: đặt ẩn và điều kiện · lập phương trình, hệ, bất phương trình · xử lý đáp án nguyên · tự kiểm tra bằng dịch ngược
1 Sáu bước dịch một bài lời văn
Quy trình chung và bảng dịch các cụm từ dễ nhầm.
GV
Cô Lukato
Chào em! Khi gặp bài lời văn, nhiều bạn nhìn các con số rồi “thử cộng trừ nhân chia cho ra một số đẹp”. Cách đó chạy được vài bài dễ, nhưng sẽ hỏng khi đề đổi bối cảnh. Cô muốn em học cách khác: dịch từng câu chữ thành một quan hệ toán học , rồi mới tính.
Đọc trước khi học
Các bài tập và tình huống trong bài đều do LUKATO tự soạn để luyện theo dạng . Cấu trúc ở trường em có thể khác, nên em hãy đối chiếu thêm với đề cương và thang điểm của trường mình.
Sáu bước của một bài lời văn
- Đọc và gạch chân các đại lượng, đơn vị, và những chữ như “tối đa”, “ít nhất”, “gấp”, “hơn”.
- Đặt ẩn : nói rõ ẩn là gì, đơn vị gì, và viết điều kiện (dương, nguyên, không vượt tổng...).
- Lập quan hệ : mỗi dữ kiện độc lập cho một phương trình hoặc một bất phương trình. Hai ẩn thì cần hai dữ kiện.
- Giải bài toán đại số vừa lập.
- Đối chiếu nghiệm với điều kiện ở bước 2: nhận hay loại.
- Dịch ngược : thay vào từng câu chữ của đề, rồi mới viết câu trả lời có đơn vị.
Trong sáu bước, bước 2 và bước 5 là nơi bài làm hay mất điểm nhất, còn bước 6 là “chìa khóa an toàn”: chỉ mất một phút mà phát hiện được phần lớn sai sót.
Trước hết là danh sách “từ điển” dịch các cụm từ hay gặp. Em không cần học thuộc, nhưng hãy nhìn kĩ những chỗ dễ nhầm, đặc biệt các cụm về phần trăm và các cụm chỉ giới hạn.
- “ Nhiều hơn 5 ” nghĩa là cộng 5; “ gấp 3 lần ” nghĩa là nhân 3. Nếu A hơn B là 5 thì A=B+5, không phải A=5B.
- “ Giảm 15\% ” của giá P cho giá mới P\left(1-0{,}15\right)=0{,}85P; còn “giảm còn 15\%” mới là 0{,}15P. Chỉ một chữ “còn” đã làm đổi hẳn nghĩa.
- “ Tối đa ”, “không quá”, “không vượt quá” dịch là \le; “ tối thiểu ”, “ít nhất”, “không dưới” dịch là \ge.
- “ Vượt quá ”, “lớn hơn hẳn”, “rẻ hơn” (so sánh nghiêm ngặt) dịch là \gt hoặc \lt, không có dấu bằng.
- “ Sau 3 năm nữa ” thì mỗi tuổi cộng 3; “ cách đây 3 năm ” thì mỗi tuổi trừ 3.
- “ Xuôi dòng ” thì vận tốc thực là vận tốc riêng cộng vận tốc dòng nước; “ ngược dòng ” thì trừ.
- “ Cùng làm xong trong 12 giờ ” nghĩa là mỗi giờ hai người làm chung được \dfrac{1}{12} công việc.
Bây giờ em thử một vài câu tự kiểm tra. Đừng lo nếu sai: mục tiêu là biết mình đang nhầm ở đâu.
Một chiếc áo giá P đồng, cửa hàng “giảm 20\%”. Giá sau giảm được viết đúng là
Sai. 0{,}2P là số tiền được giảm, không phải giá sau giảm.
Đúng. Giá sau giảm là P-0{,}2P=0{,}8P.
Sai. Em trừ 20 đồng, nhưng 20\% là phần trăm của P, không phải 20 đồng.
Sai. Đây là giá sau khi tăng 20\%.
Một bạn học sinh dịch các câu sau thành biểu thức toán. Em đánh giá xem bạn dịch có đúng không.
a) “Số bút của Nam nhiều hơn số bút của Lan 4 chiếc” dịch là n=l+4 (n là số bút của Nam, l là của Lan).
Đúng: “nhiều hơn 4” là cộng 4 vào số của người kia.
b) “Ngân sách tối đa 200 nghìn đồng” dịch là chi phí \gt 200.
Sai: “tối đa” nghĩa là không vượt quá, tức chi phí \le 200.
c) “Ít nhất 80 điểm” dịch là điểm \ge 80.
Đúng: “ít nhất” có nghĩa là bằng hoặc lớn hơn giới hạn.
d) “Tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con” dịch là m=c+3.
Sai: “gấp 3 lần” là nhân, nên m=3c. Phép cộng ứng với “hơn 3 tuổi”.
Trong bài lời văn, việc đầu tiên sau khi đọc đề là và viết của ẩn; việc cuối cùng trước khi trả lời là về tình huống thật.
2 Đặt ẩn, điều kiện và hai bài mẫu đầu tiên
Tuổi, chữ số và hình chữ nhật: từ một ẩn đến hai ẩn.
Một bài có thể có nhiều cách đặt ẩn, nhưng có hai nguyên tắc: nếu được thì đặt ẩn chính là đại lượng đề hỏi , và luôn ghi rõ ẩn nghĩa là gì. Câu “Gọi x là tuổi” chưa đủ; em phải ghi “tuổi của con hiện nay, tính bằng năm”.
Ẩn nào, điều kiện nào?
Điều kiện cho ẩn xuất phát từ ý nghĩa thực tế: tuổi, độ dài, số người phải dương; số người, số xe, số sản phẩm phải là số nguyên ; chữ số phải nguyên và từ 0 đến 9 (chữ số hàng chục còn phải khác 0). Điều kiện này được dùng ở bước 5 để loại nghiệm.
Ví dụ 1 · Bài tuổi: một phương trình một ẩn
Tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Sau 8 năm nữa, tuổi mẹ gấp 2{,}5 lần tuổi con lúc đó. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi?
Bước 1. Gọi x là tuổi con hiện nay (năm), điều kiện x\gt 0. Khi đó tuổi mẹ hiện nay là 4x.
Vì sao: chọn tuổi con làm ẩn vì tuổi mẹ biểu diễn được qua nó bằng một phép nhân đơn giản; nếu chọn tuổi mẹ, ta sẽ có phân số.
Bước 2. Sau 8 năm, tuổi con là x+8 và tuổi mẹ là 4x+8. Đề cho 4x+8=2{,}5\left(x+8\right).
Vì sao: “sau 8 năm nữa” nên cộng 8 cho cả hai người; đây là chỗ nhiều bạn chỉ cộng cho một người.
Bước 3. Phá ngoặc: 4x+8=2{,}5x+20, suy ra 1{,}5x=12, nên x=8.
Vì sao: chuyển vế thu gọn về dạng ax=b rồi chia cho hệ số.
Bước 4. Đối chiếu: x=8\gt 0, nhận. Dịch ngược: con 8 tuổi, mẹ 32 tuổi; sau 8 năm con 16, mẹ 40, và 40=2{,}5\cdot 16. Vậy mẹ hiện nay 32 tuổi.
Vì sao: nhớ đề hỏi tuổi mẹ , không phải tuổi con; ta tìm x rồi mới tính 4x.
Bẫy: trả lời sai đại lượng
Ở Ví dụ 1, nhiều bạn giải ra x=8 rồi trả lời “8 tuổi”. Đó là tuổi con! Trước khi viết đáp số, hãy đọc lại câu hỏi cuối của đề và khoanh đại lượng được hỏi.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Cha hơn con 27 tuổi. Sau 5 năm nữa, tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Hỏi hiện nay con bao nhiêu tuổi?
Gợi ý 1. Gọi x là tuổi con hiện nay, khi đó tuổi cha là x+27.
Gợi ý 2. Sau 5 năm: con x+5, cha x+32.
Gợi ý 3. Lập phương trình x+32=4\left(x+5\right).
Chính xác! Con 4 tuổi, cha 31 tuổi; sau 5 năm là 9 và 36, và 36=4\cdot 9.
Đó là tuổi cha hiện nay. Đề hỏi tuổi của con.
Đó là tuổi con sau 5 năm nữa, chưa phải hiện nay. Hãy trừ 5.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Gọi x là tuổi con hiện nay (x\gt 0). Tuổi cha là x+27. Sau 5 năm: x+27+5=4\left(x+5\right), tức x+32=4x+20, suy ra 3x=12, x=4. Thử: cha hiện nay 31, sau 5 năm cha 36, con 9, 36=4\cdot 9.
Ví dụ 2 · Hình chữ nhật: hệ hai phương trình
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm chiều dài đi 2 m thì diện tích tăng thêm 20 m^{2}. Tính các kích thước.
Bước 1. Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng, điều kiện x\gt y\gt 0.
Vì sao: đề hỏi hai đại lượng nên đặt hai ẩn và cần đúng hai dữ kiện độc lập.
Bước 2. Dữ kiện 1: x-y=6. Dữ kiện 2: kích thước mới là x-2 và y+3, nên \left(x-2\right)\left(y+3\right)=xy+20.
Vì sao: diện tích mới bằng diện tích cũ xy cộng 20.
Bước 3. Khai triển dữ kiện 2: xy+3x-2y-6=xy+20, suy ra 3x-2y=26. Từ x=y+6 thế vào: 3y+18-2y=26, nên y=8 và x=14.
Vì sao: số hạng xy triệt tiêu hai vế, nên hệ trở về hệ bậc nhất.
Bước 4. Đối chiếu: 14\gt 8\gt 0, nhận. Dịch ngược: diện tích cũ 14\cdot 8=112, diện tích mới 12\cdot 11=132, hơn 20. Vậy chiều dài 14 m, chiều rộng 8 m.
Vì sao: thử lại theo lời văn, không thử theo phương trình vừa lập, để bắt cả lỗi lập sai.
GV
Cô Lukato
Em để ý: dữ kiện 2 nhìn có tích xy nên dễ tưởng đây là bài bậc hai. Nhưng xy xuất hiện ở cả hai vế nên triệt tiêu. Khi thấy một tích ẩn như vậy, hãy khai triển trước rồi mới kết luận bậc.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Một số có hai chữ số có tổng hai chữ số bằng 11. Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị. Tìm số ban đầu.
Gợi ý 1. Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị. Số ban đầu là 10x+y.
Gợi ý 2. Số mới là 10y+x. Dữ kiện: \left(10y+x\right)-\left(10x+y\right)=27.
Gợi ý 3. Rút gọn về y-x=3, kết hợp với x+y=11.
Chính xác! Số ban đầu là 47; đổi chỗ được 74 và 74-47=27.
Đó là số sau khi đổi chỗ. Đề hỏi số ban đầu, tức số nhỏ hơn.
Đó là tổng hai chữ số, không phải số cần tìm. Hãy ghép chữ số hàng chục và hàng đơn vị.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Gọi x,y là chữ số hàng chục và hàng đơn vị, x,y nguyên, 1\le x\le 9, 0\le y\le 9. Ta có x+y=11 và 10y+x-10x-y=27, tức 9y-9x=27, y-x=3. Cộng hai phương trình: 2y=14, y=7, x=4. Số cần tìm là 47; thử: 74-47=27.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 56 m, chiều dài bằng ba lần chiều rộng cộng thêm 4 m. Nhập cặp (chiều dài; chiều rộng) theo dạng x; y.
Gợi ý 1. Nửa chu vi là 28, nên x+y=28.
Gợi ý 2. Chiều dài x=3y+4.
Gợi ý 3. Thế vào: 3y+4+y=28.
Chính xác! Chiều dài 22 m, chiều rộng 6 m; nửa chu vi 28, và 22=3\cdot 6+4.
Em đảo thứ tự. Ta đặt x là chiều dài nên phải viết chiều dài trước: 22; 6.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Gọi x,y (m) là chiều dài và chiều rộng, x\gt y\gt 0. Chu vi 56 nên x+y=28; lại có x=3y+4. Thế: 4y+4=28, y=6, x=22. Đối chiếu: 22\gt 6\gt 0; thử chu vi 2\left(22+6\right)=56.
Sắp xếp các bước làm bài lời văn theo thứ tự hợp lí (từ trên xuống).
Các bước (bấm để chọn)
Chuỗi của bạn
Trong Ví dụ 2, nếu đặt x là chiều rộng và y là chiều dài thì điều kiện đúng cho hai ẩn là
Sai. Chiều dài lớn hơn chiều rộng nên với cách đặt này phải là y\gt x.
Đúng. Chiều dài y hơn chiều rộng x là 6 m, nên y\gt x\gt 0.
Sai. Độ dài không thể âm.
Sai. Đề nói chiều dài hơn chiều rộng 6 m nên hai số khác nhau.
3 Bất phương trình: ngân sách, chỉ tiêu và so sánh hai phương án
Chọn đúng chiều dấu và làm tròn đúng phía.
Khi đề nói “tối đa”, “ít nhất”, “không quá”, ta lập bất phương trình chứ không phải phương trình. Có hai việc mới so với phương trình: chọn đúng chiều dấu, và xử lý điều kiện nguyên của đáp án.
Ba loại giới hạn thường gặp
- Ngân sách : tổng chi phí \le số tiền có. Tìm số lượng lớn nhất , nên làm tròn xuống .
- Chỉ tiêu : tổng điểm hoặc sản lượng \ge mức cần đạt. Tìm số lượng nhỏ nhất , nên làm tròn lên .
- So sánh hai phương án : chi phí A \lt chi phí B. Nghiệm cho biết từ mức nào phương án A có lợi.
Ví dụ 3 · Ngân sách: làm tròn xuống
Một sân chơi thu phí vào cổng 42 nghìn đồng và 12 nghìn đồng mỗi giờ chơi. Bạn Minh có 150 nghìn đồng. Hỏi Minh chơi tối đa mấy giờ (chỉ tính giờ nguyên)?
Bước 1. Gọi x là số giờ chơi, x nguyên, x\ge 0. Chi phí là 42+12x (nghìn đồng).
Vì sao: chi phí gồm một phần cố định 42 và một phần tỉ lệ với số giờ 12x.
Bước 2. “Có 150 nghìn đồng” nghĩa là chi phí không vượt quá 150: 42+12x\le 150.
Vì sao: được phép tiêu đúng 150, nên dùng \le chứ không dùng \lt.
Bước 3. Suy ra 12x\le 108, nên x\le 9. Vì x nguyên, giá trị lớn nhất là 9.
Vì sao: chia cho 12 là số dương nên giữ nguyên chiều dấu.
Bước 4. Dịch ngược: 9 giờ tốn 42+108=150 nghìn đồng, vừa đủ; 10 giờ tốn 162 nghìn đồng, vượt. Minh chơi tối đa 9 giờ.
Vì sao: kiểm tra cả giá trị biên 9 và giá trị liền sau 10 để chắc chắn không nhầm phía.
Hình 1. Các số nguyên thỏa 42+12x\le 150. Đây là tập nghiệm nguyên chứ không phải cả một khoảng số thực.
Ví dụ 4 · Chỉ tiêu: làm tròn lên
Một bài kiểm tra có 30 câu, mỗi câu đúng được 4 điểm, mỗi câu sai bị trừ 1 điểm, không bỏ trống câu nào. Bạn Hà được cộng 6 điểm ưu tiên và cần ít nhất 80 điểm. Hà phải làm đúng ít nhất mấy câu?
Bước 1. Gọi x là số câu đúng, x nguyên, 0\le x\le 30. Số câu sai là 30-x.
Vì sao: không bỏ trống nên số câu sai được tính từ số câu đúng, chỉ cần một ẩn.
Bước 2. Tổng điểm là 6+4x-\left(30-x\right). Cần 6+4x-\left(30-x\right)\ge 80.
Vì sao: chú ý dấu trừ đứng trước cả ngoặc; “ít nhất” nên dùng \ge.
Bước 3. Thu gọn: 5x-24\ge 80, suy ra 5x\ge 104, nên x\ge 20{,}8. Vì x nguyên nên x\ge 21.
Vì sao: với giới hạn dưới, số nguyên nhỏ nhất thỏa x\ge 20{,}8 là 21, không phải 20.
Bước 4. Dịch ngược: 21 câu đúng, 9 câu sai cho 6+84-9=81 điểm, đạt. 20 câu đúng, 10 câu sai cho 6+80-10=76 điểm, chưa đạt. Hà cần đúng ít nhất 21 câu.
Vì sao: kiểm tra hai số nguyên kề nhau quanh nghiệm để chắc chắn đã làm tròn đúng chiều.
Bẫy: làm tròn theo thói quen
Nếu đề yêu cầu ít nhất 77 điểm thì 6+4x-30+x\ge 77 cho 5x\ge 101, tức x\ge 20{,}2. Nhiều bạn làm tròn xuống thành 20 “cho gần nhất”, nhưng 20 câu chỉ được 76 điểm, thiếu 1 điểm. Quy tắc: giới hạn trên thì làm tròn xuống, giới hạn dưới thì làm tròn lên, không bao giờ làm tròn “cho gần”.
Ví dụ 5 · So sánh hai phương án
Phòng tập có hai cách trả phí. Cách 1: thẻ tháng 300 nghìn đồng, sau đó mỗi giờ tập trả thêm 20 nghìn. Cách 2: không mua thẻ, mỗi giờ trả 45 nghìn. Từ bao nhiêu giờ tập mỗi tháng thì cách 1 rẻ hơn?