Căn thức và giá trị tuyệt đối: rút gọn, căn lồng, phương trình chứa căn và kiểm tra nghiệm
Bài luyện Toán 9 giữa kì: căn của bình phương và giá trị tuyệt đối, rút gọn, căn lồng, phương trình chứa căn, điều kiện xác định, kèm 26 bài có gợi ý.
Toán 9 · Đại số · Căn thức bậc hai
Căn thức và giá trị tuyệt đối: rút gọn, căn lồng, phương trình chứa căn và kiểm tra nghiệm
Em sẽ giải trọn một đề đại số kiểu giữa kì: rút gọn căn, căn lồng, hai phương trình chứa căn và một biểu thức có điều kiện xác định. Chìa khóa của cả đề chỉ là một câu: căn của một bình phương bằng giá trị tuyệt đối. Bài học giúp em dùng câu đó đúng lúc và không bao giờ quên kiểm nghiệm.
110 phút Lớp 9 Mức: khá – giỏi
Em sẽ học: điều kiện có nghĩa của căn · căn của bình phương và giá trị tuyệt đối · đưa thừa số ra ngoài, trục căn · căn lồng · phương trình chứa căn và loại nghiệm ngoại lai · rút gọn biểu thức có điều kiện
1 Bài toán trung tâm và bản đồ bài học
Ta bắt đầu bằng một đề gồm bốn bài, sẽ được giải dần trong suốt bài học. Em đọc kĩ, tự đoán xem bài nào cần dùng giá trị tuyệt đối.
Đề dưới đây do LUKATO soạn, mô phỏng dạng đề đại số giữa kì Toán 9 về căn thức bậc hai. Mọi đáp số và mọi bước biến đổi đều đã được thử lại bằng máy tính, kể cả việc thay nghiệm vào phương trình gốc.
Đề bài
Bài toán trung tâm.
- Bài 1. Rút gọn a) A=\sqrt{12}+3\sqrt{27}-2\sqrt{75}; b) B=\sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}}.
- Bài 2. Giải phương trình a) \sqrt{4x^{2}-4x+1}-x=2; b) \sqrt{x-5}+x=7.
- Bài 3. Với x>0 và x\ne 4, cho P=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right)\cdot\dfrac{x-4}{2\sqrt{x}}. a) Rút gọn P. b) Tính P khi x=16.
- Bài 4. Chứng minh Q=\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{5-\sqrt{21}}-\sqrt{6}=0.
Nhìn lướt qua, bốn bài có vẻ rời rạc, nhưng chúng cùng dựa vào ba ý: (1) căn chỉ có nghĩa khi biểu thức dưới căn không âm; (2) \sqrt{A^{2}}=|A|, tức là căn của một bình phương luôn cho ra số không âm; (3) bình phương hai vế là phép biến đổi có thể sinh thêm nghiệm, nên phải kiểm nghiệm. Hình 1 cho em thấy ý (2) bằng mắt.
Hình 1. Căn của x bình phương luôn nằm trên hoặc chạm trục hoành: đó là đường chữ V y = |x|. Tại x = -3 giá trị là 3 (chấm xanh), không phải -3 (vòng đỏ).
Đường chữ V là đồ thị của y=\sqrt{x^{2}}. Nó trùng với đường thẳng y=x ở nửa bên phải, nhưng ở nửa bên trái nó “bật lên” thành y=-x. Chính chỗ “bật lên” này là nguồn gốc của phần lớn lỗi sai trong đề căn thức.
GV
Cô Lukato
Cô hay đố lớp: \sqrt{(-3)^{2}} bằng bao nhiêu? Nhiều bạn đáp -3 vì “căn và bình phương triệt tiêu nhau”. Hình 1 cho thấy điểm (-3;\,3) nằm trên chữ V, còn (-3;\,-3) thì không. Từ giờ, mỗi lần thấy căn của một bình phương, em hãy dừng lại một nhịp và hỏi: biểu thức trong ngoặc mang dấu gì?
Bản đồ bài học
Mục · Việc cần làm · Công cụ
2 · Điều kiện có nghĩa và \sqrt{A^{2}}=|A| · Xét dấu biểu thức trong căn
3 · Rút gọn Bài 1a · Đưa thừa số ra, gom căn, trục căn
4 · Căn lồng: Bài 1b · Hằng đẳng thức bình phương của tổng và hiệu hai căn
5 · Phương trình chứa căn: Bài 2 · Xét dấu, điều kiện hai vế, kiểm nghiệm
6 · Biểu thức có điều kiện: Bài 3 · Điều kiện xác định, quy đồng, rút gọn
7 · Chứng minh Bài 4 · Bình phương một hiệu, so sánh hai căn
8 · Luyện tập tổng hợp · Số liệu mới, cùng cấu trúc
9 · Thách thức: căn lồng có tham số · Đổi biến, chia hai nhánh
10 · Trình bày bài thi và tự kiểm tra · Thang tự chấm, bảng kiểm
Ba câu khởi động dưới đây giúp em biết mình đang đứng ở đâu. Sai cũng không sao, mỗi phương án đều có giải thích.
Giá trị của \sqrt{(-5)^{2}} là:
Sai. Căn bậc hai số học của một số không âm luôn là số không âm; -5 âm nên không thể là kết quả.
Đúng. (-5)^{2}=25 và \sqrt{25}=5. Nói gọn: \sqrt{(-5)^{2}}=|-5|=5.
Sai. Dấu \pm chỉ xuất hiện khi giải phương trình x^{2}=25; còn kí hiệu \sqrt{25} chỉ một giá trị, đó là 5.
Sai. (-5)^{2}=25\ge 0 nên căn có nghĩa và bằng 5.
Xét các biểu thức căn sau đây, với x là số thực.
a) \sqrt{x-3} có nghĩa khi và chỉ khi x\ge 3.
Đúng: cần x-3\ge 0.
b) \sqrt{7-2x} có nghĩa với mọi x\ge \dfrac{7}{2}.
Sai: cần 7-2x\ge 0, tức x\le \dfrac{7}{2}. Bất đẳng thức đổi chiều khi chia cho số âm.
c) \sqrt{x^{2}+1} có nghĩa với mọi x.
Đúng: x^{2}+1\ge 1>0 với mọi x.
d) \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} có nghĩa khi x\ge 1.
Sai: căn nằm ở mẫu nên cần x-1>0, tức x>1; x=1 làm mẫu bằng 0.
Vì 27=9\cdot 3 nên \sqrt{27}= \sqrt{3}.
Sau bài học, em có thể tự đánh giá theo ba mức:
- Tối thiểu: em rút gọn được Bài 1 và giải được Bài 2b với đầy đủ điều kiện và kiểm nghiệm.
- Tốt: em giải được Bài 2a bằng cách xét dấu, rút gọn được P với điều kiện xác định, và giải thích được vì sao \sqrt{A^{2}}=|A|.
- Xuất sắc: em chứng minh được Bài 4 bằng hai cách và tự giải được một biểu thức căn lồng có tham số như ở mục 9.
2 Điều kiện có nghĩa và hằng đẳng thức căn của bình phương
Trước khi biến đổi bất kì căn nào, em phải trả lời hai câu hỏi: căn này có nghĩa không, và số bên trong căn có phải là một bình phương không.
Điều kiện có nghĩa
Căn bậc hai số học \sqrt{A} chỉ có nghĩa khi A\ge 0, và khi đó \sqrt{A}\ge 0. Điều kiện này gọi là điều kiện xác định (ĐKXĐ). Khi căn nằm ở mẫu thì cần thêm A>0.
Biểu thức · Điều kiện · Vì sao
\sqrt{x-5} · x\ge 5 · x-5\ge 0
\sqrt{7-2x} · x\le \dfrac{7}{2} · 7-2x\ge 0
\dfrac{1}{\sqrt{x-2}} · x>2 · Căn ở mẫu: phải khác 0
\sqrt{(x-1)(x-3)} · x\le 1 hoặc x\ge 3 · Hai thừa số cùng dấu
\sqrt{x^{2}+1} · Mọi x · x^{2}+1>0
Ghi nhớ
Hằng đẳng thức. Với mọi biểu thức A: \sqrt{A^{2}}=|A|. Cụ thể: \sqrt{A^{2}}=A khi A\ge 0, và \sqrt{A^{2}}=-A khi A\lt 0.
Vì sao đúng? Số |A| không âm và |A|^{2}=A^{2}. Căn bậc hai số học của A^{2} là số không âm duy nhất có bình phương bằng A^{2}, tức là |A|.
Bẫy thường gặp
Viết \sqrt{x^{2}}=x mà không xét dấu. Đẳng thức chỉ đúng khi x\ge 0. Với x=-3: vế trái bằng 3, vế phải bằng -3. Bất cứ khi nào bạn “bỏ dấu căn cùng bình phương”, hãy viết ngay dấu giá trị tuyệt đối rồi mới quyết định bỏ hay không.
Để bỏ giá trị tuyệt đối, em xét dấu biểu thức bên trong. Bảng dưới đây gom các dạng thường gặp; hai dòng cuối dùng số vô tỉ nên cần so sánh trước.
Biểu thức · Kết quả · Lí do
\sqrt{(-7)^{2}} · 7 · |-7|=7
\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}} · \sqrt{5}-2 · \sqrt{5}>2 nên 2-\sqrt{5}\lt 0, lấy số đối
\sqrt{(3-\sqrt{10})^{2}} · \sqrt{10}-3 · \sqrt{10}>3 nên 3-\sqrt{10}\lt 0
\sqrt{(x-2)^{2}} khi x\lt 2 · 2-x · x-2\lt 0
\sqrt{4x^{2}-4x+1} · |2x-1| · 4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}
Ví dụ mẫu: rút gọn \sqrt{(3-\sqrt{10})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{10}-4)^{2}}
Bước 1. Viết dạng giá trị tuyệt đối: |3-\sqrt{10}|+|\sqrt{10}-4|.
Vì \sqrt{A^{2}}=|A| với mọi A.
Bước 2. So sánh \sqrt{10} với 3 và 4: 9\lt 10\lt 16 nên 3\lt \sqrt{10}\lt 4.
Muốn biết dấu của một hiệu có căn, đưa hai số về cùng dạng căn: 3=\sqrt{9}, 4=\sqrt{16}.
Bước 3. Suy ra 3-\sqrt{10}\lt 0 và \sqrt{10}-4\lt 0.
Cả hai biểu thức trong dấu tuyệt đối đều âm.
Bước 4. Bỏ dấu tuyệt đối: |3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3 và |\sqrt{10}-4|=4-\sqrt{10}.
Biểu thức âm thì lấy số đối.
Bước 5. Cộng lại: (\sqrt{10}-3)+(4-\sqrt{10})=1.
Hai căn \sqrt{10} triệt tiêu, còn lại số nguyên: kết quả “đẹp” là dấu hiệu tốt.
GV
Cô Lukato
Kết quả bằng 1 không phải ngẫu nhiên. Với hai số a\lt b, tổng |x-a|+|x-b| bằng b-a khi x nằm giữa a và b. Ở đây x=\sqrt{10} nằm giữa 3 và 4, và 4-3=1. Đây là mẹo kiểm tra nhanh, em sẽ dùng lại ở mục 9.
Bây giờ em thử sức. Ba bài đầu tăng dần độ khó; nếu kẹt, hãy mở gợi ý từng nấc thay vì xem thẳng lời giải.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tính \sqrt{(-7)^{2}}.
Gợi ý 1. Tính (-7)^{2} trước, rồi lấy căn.
Gợi ý 2. Nhớ: \sqrt{A^{2}}=|A|.
Chính xác! \sqrt{(-7)^{2}}=|-7|=7.
Căn bậc hai số học không bao giờ âm. Bạn đã “triệt tiêu” căn với bình phương; hãy tính (-7)^{2}=49 rồi lấy căn.
49=(-7)^{2}, chưa lấy căn. Còn phải tính \sqrt{49}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
(-7)^{2}=49 và \sqrt{49}=7. Cũng có thể viết \sqrt{(-7)^{2}}=|-7|=7.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Rút gọn \sqrt{(3-\sqrt{10})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{10}-4)^{2}}. Nhập một số.
Gợi ý 1. Viết hai căn thành hai giá trị tuyệt đối rồi xét dấu từng biểu thức.
Gợi ý 2. 3\lt \sqrt{10}\lt 4, nên cả hai biểu thức trong dấu tuyệt đối đều âm.
Chính xác! (\sqrt{10}-3)+(4-\sqrt{10})=1.
Bạn giữ nguyên dấu (3-\sqrt{10})+(4-\sqrt{10}); nhưng 3-\sqrt{10} âm nên phải lấy số đối.
Bạn đã lấy số đối của 3-\sqrt{10} nhưng giữ nguyên \sqrt{10}-4; biểu thức thứ hai cũng âm nên cũng phải lấy số đối.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3 và |\sqrt{10}-4|=4-\sqrt{10}. Cộng lại được 1.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Với x\lt 3, biểu thức \sqrt{x^{2}-6x+9}+x luôn bằng cùng một hằng số. Hằng số đó là bao nhiêu?
Gợi ý 1. x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
Gợi ý 2. Vì x\lt 3 nên x-3\lt 0, do đó |x-3|=3-x. Thử x=0 để kiểm tra: \sqrt{9}+0=3.
Chính xác! |x-3|+x=(3-x)+x=3.
Thử x=0: \sqrt{9}+0=3, không phải -3. Có lẽ bạn nhầm dấu khi bỏ trị tuyệt đối.
Thử x=0: \sqrt{9}+0=3, không phải 0. Bạn có thể đã viết \sqrt{(x-3)^{2}}=-x thay vì 3-x.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\sqrt{x^{2}-6x+9}=\sqrt{(x-3)^{2}}=|x-3|. Với x\lt 3: |x-3|=3-x. Vậy tổng bằng (3-x)+x=3. Với x=0: \sqrt{9}+0=3; với x=2: \sqrt{1}+2=3.
Với x\lt 0, \sqrt{x^{2}} bằng:
Sai. Với x\lt 0, x là số âm còn căn thì không âm.
Đúng. \sqrt{x^{2}}=|x|=-x khi x\lt 0, và -x là số dương.
Sai. Kí hiệu căn chỉ cho một giá trị không âm, không cho hai giá trị.
Sai. x^{2} là biểu thức trong căn; căn của nó là |x|. Thử x=-2: \sqrt{4}=2, còn x^{2}=4.
Đánh giá các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa).
a) \sqrt{(-5)^{2}}=-5.
Sai: \sqrt{25}=5.
b) \sqrt{9}=\pm 3.
Sai: \sqrt{9}=3. Phương trình x^{2}=9 mới có hai nghiệm \pm 3.
c) \sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5}-2.
Đúng: 2-\sqrt{5}\lt 0 nên lấy số đối.
d) \sqrt{x^{2}}=x khi x\ge 0.
Đúng: khi x\ge 0 thì |x|=x.
3 Rút gọn căn: đưa thừa số ra ngoài, gom căn đồng dạng, trục căn
Bài 1a là bài “khởi động” của mọi đề căn thức. Nó chỉ cần ba kĩ thuật, nhưng em phải làm gọn, đúng và không nhảy bước.
Ba kĩ thuật cơ bản
Kĩ thuật · Công thức
Đưa thừa số ra ngoài căn · \sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b} với a,\ b\ge 0. Ví dụ \sqrt{75}=5\sqrt{3}
Gom căn đồng dạng · m\sqrt{c}+n\sqrt{c}=(m+n)\sqrt{c}. Ví dụ 2\sqrt{3}+9\sqrt{3}=11\sqrt{3}
Trục căn thức ở mẫu · \dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}. Ví dụ \dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=2(\sqrt{5}+\sqrt{2})
Vì sao trục căn thức được? Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp \sqrt{a}+\sqrt{b} không đổi giá trị của phân số, và ở mẫu ta có hằng đẳng thức (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b, không còn căn.
Ví dụ mẫu: Bài 1a, rút gọn A=\sqrt{12}+3\sqrt{27}-2\sqrt{75}
Bước 1. Phân tích từng số dưới căn thành tích có một thừa số chính phương: 12=4\cdot 3, 27=9\cdot 3, 75=25\cdot 3.
Ba số cùng chứa thừa số 3: đó là dấu hiệu các căn sẽ đồng dạng.
Bước 2. Đưa thừa số ra ngoài: \sqrt{12}=2\sqrt{3}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}, \sqrt{75}=5\sqrt{3}.
\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b} với a\ge 0.
Bước 3. Thay vào: A=2\sqrt{3}+3\cdot 3\sqrt{3}-2\cdot 5\sqrt{3}=2\sqrt{3}+9\sqrt{3}-10\sqrt{3}.
Chú ý các hệ số 3 và 2 đứng ngoài, nhân với số vừa đưa ra.
Bước 4. Gom căn đồng dạng: A=(2+9-10)\sqrt{3}=\sqrt{3}.
Cộng các hệ số trước căn: 1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}.
Bẫy thường gặp
Cộng hai căn bằng cách cộng số dưới căn: \sqrt{18}+\sqrt{50}=\sqrt{68}. Sai, vì \sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b} nói chung. Đúng phải đưa thừa số ra ngoài trước: \sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}. Thử số cho chắc: \sqrt{18}+\sqrt{50}\approx 4{,}24+7{,}07=11{,}31 còn \sqrt{68}\approx 8{,}25.
Bài 4 Mức 1 · Nhận biết
Rút gọn \sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{32}, viết kết quả dạng a\sqrt{2}. Nhập kết quả (ví dụ 3sqrt(2)).
Gợi ý 1. 18=9\cdot 2, 50=25\cdot 2, 32=16\cdot 2.
Gợi ý 2. \sqrt{18}=3\sqrt{2}, \sqrt{50}=5\sqrt{2}, \sqrt{32}=4\sqrt{2}.
Chính xác! (3+5-4)\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
6=\sqrt{18+50-32}=\sqrt{36}: bạn đã gộp các số dưới căn, điều không được phép.
12=3+5+4: bạn đã cộng cả \sqrt{32}, nhưng đề trừ căn thứ ba.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\sqrt{18}=3\sqrt{2}, \sqrt{50}=5\sqrt{2}, \sqrt{32}=4\sqrt{2}. Do đó tổng bằng (3+5-4)\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Bài 5 Mức 2 · Vận dụng
Tính \dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-2\sqrt{2}. Nhập kết quả dạng a\sqrt{b} (ví dụ 3sqrt(7)).
Gợi ý 1. Nhân tử và mẫu của phân số với \sqrt{5}+\sqrt{2}.
Gợi ý 2. Mẫu trở thành 5-2=3, nên phân số bằng 2(\sqrt{5}+\sqrt{2}).
Chính xác! 2\sqrt{5}+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{5}.
Đó là giá trị của phân số. Đề còn yêu cầu trừ 2\sqrt{2}.
Bạn đã cộng 2\sqrt{2} thay vì trừ.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
\dfrac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\dfrac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}=2\sqrt{5}+2\sqrt{2}. Trừ 2\sqrt{2} còn lại 2\sqrt{5}.