Cực trị có ràng buộc xy bằng 12: gom biến, điểm rơi và kiểm tra dấu bằng
Bài luyện Toán 9 giữa kì: tìm giá trị nhỏ nhất khi xy bằng 12 bằng cách gom biến, đặt ẩn phụ, tìm điểm rơi Cô-si và kiểm tra dấu bằng, kèm 20 bài có gợi ý.
Toán 9 · Cực trị · Bất đẳng thức Cô-si
Cực trị có ràng buộc: từ điều kiện xy bằng 12 đến giá trị nhỏ nhất, không cần đạo hàm
Em sẽ giải trọn vẹn một bài cực trị hai biến ở cuối bài kiểm tra giữa kì, theo hai cách, rồi học cách nghĩ ra lời giải chứ không chỉ chép lời giải.
120 phút Lớp 9 Mức: khá – giỏi
Em sẽ học: gom hai biến thành một đại lượng có cận · tìm điểm rơi · chứng minh giá trị nhỏ nhất không cần đạo hàm · kiểm tra dấu bằng có thật sự xảy ra
1 Bài toán trung tâm và bản đồ bài học
Trước khi học công cụ, ta nhìn thẳng vào bài toán sẽ được giải xuyên suốt. Em chưa cần biết làm, chỉ cần đọc kĩ và đoán.
Bài học này xoay quanh một câu cực trị rất điển hình của các bài kiểm tra Toán 9: cho điều kiện ràng buộc về tích hai số , yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa phân thức. Đây là bài luyện của LUKATO mô phỏng dạng câu cuối đề giữa kì I.
Đề bài
Bài toán trung tâm. Cho x>0,\ y>0 thỏa mãn xy=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=\dfrac{2}{x}+\dfrac{6}{y}+\dfrac{9}{3x+y}.
Nhìn qua, ba phân thức này có vẻ rời rạc: hai phân thức đầu có mẫu x và y, phân thức thứ ba có mẫu 3x+y. Một phản xạ rất phổ biến là áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho từng phân thức một. Ta sẽ thấy vì sao phản xạ đó dẫn tới ngõ cụt, và cách nhìn nào mới mở được đường.
GV
Cô Lukato
Em thử tính nhanh P tại x=3,\ y=4 (vì 3\cdot 4=12). Con số nhận được là một cận trên cho giá trị nhỏ nhất: giá trị nhỏ nhất chắc chắn không lớn hơn bất kì giá trị nào mà P đã đạt. Cứ giữ con số đó, ở mục 4 ta sẽ tính chính xác và đặt nó cạnh các con số khác.
Bản đồ bài học
Mục · Việc cần làm · Công cụ chính
2 · Nắm chắc bất đẳng thức Cô-si và điều kiện dấu bằng · a+b\ge 2\sqrt{ab}
3 · Học kĩ thuật ghép cặp để tích hai hạng tử là hằng số · Ghép cặp, thêm bớt hằng số
4 · Dùng ràng buộc xy=12 để đọc cấu trúc của P · Thế biến, bảng giá trị, đối xứng
5 · Giải bài toán trung tâm theo Cách 1 · Đặt T=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}
6 · Giải theo Cách 2, gọn hơn nhiều · Đặt s=3x+y
7 · Vì sao các hướng “tự nhiên” thất bại · Phản ví dụ, chiều của bất đẳng thức
8 · Điểm rơi và miền cho phép của ẩn phụ · Tách hệ số, xét chiều biến thiên
9 · Luyện tập phân bậc · Bài tập có chấm điểm
10 · Thách thức: thay hệ số 9 bằng tham số · Phân tích hai trường hợp
11 · Trình bày bài thi và tự kiểm tra · Bảng tiêu chí, bảng kiểm
Khởi động với ba câu về Cô-si và điểm rơi. Sai câu nào, phần giải thích đi kèm sẽ chỉ ra đúng chỗ em hiểu lệch.
Với x>0, giá trị nhỏ nhất của x+\dfrac{9}{x} là
Sai. 3 là giá trị của x tại điểm rơi, không phải giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Đúng. x+\dfrac{9}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\dfrac{9}{x}}=6, dấu bằng khi x=\dfrac{9}{x}, tức x=3.
Sai. 9 là tích hai hạng tử; cận dưới phải là 2\sqrt{9}, không phải chính tích đó.
Sai. Đây là 2\cdot 9: quên lấy căn bậc hai của tích.
Xét các số thực a,b và bất đẳng thức a+b\ge 2\sqrt{ab}.
a) Bất đẳng thức đúng với mọi cặp số dương a,b.
Đúng: nó tương đương (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\ge 0.
b) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Đúng: (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=0 khi \sqrt{a}=\sqrt{b}.
c) Bất đẳng thức vẫn đúng khi a=-2 và b=-8.
Sai: khi đó ab=16, vế phải là 2\cdot 4=8, còn vế trái là -10. Số âm làm hỏng bất đẳng thức.
d) Nếu a+b\ge 2\sqrt{ab} thì giá trị nhỏ nhất của a+b luôn bằng 2\sqrt{ab}.
Sai: nếu ab thay đổi thì 2\sqrt{ab} không phải hằng số; và nếu không thể có a=b thì dấu bằng không đạt được.
Với a>0, ta có a+\dfrac{16}{a}\ge và dấu bằng xảy ra khi a= .
Sau bài học, em có thể tự đánh giá theo ba mức:
- Tối thiểu: em tự giải được bài toán trung tâm và giải thích được từng bước.
- Tốt: em nhận ra ngay khi nào một cận dưới “trông có vẻ đúng” nhưng không đạt được.
- Xuất sắc: em tự tạo được một bài cực trị mới cùng cấu trúc, có đáp án đẹp.
2 Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm
Mọi lời giải trong bài đều dựa trên một bất đẳng thức rất ngắn. Hiểu vì sao nó đúng sẽ giúp em nhớ đúng điều kiện áp dụng.
Trực giác: chu vi và diện tích
Có hai que gỗ dài a và b (đơn vị: dm). Ghép chúng làm hai cạnh liền kề của một hình chữ nhật thì nửa chu vi là a+b, còn diện tích là ab. Với nửa chu vi cố định , hình vuông có diện tích lớn nhất; ngược lại, với diện tích cố định , hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Bất đẳng thức Cô-si chính là phát biểu chính xác của hai câu này.
Ghi nhớ
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số. Với mọi a\ge 0,\ b\ge 0: a+b\ge 2\sqrt{ab}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Vì sao đúng
Vì a,b\ge 0 nên viết được a=(\sqrt{a})^{2} và b=(\sqrt{b})^{2}. Khi đó a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a})^{2}-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\ge 0. Bình phương của một số thực luôn không âm, và nó bằng 0 đúng khi \sqrt{a}=\sqrt{b}, tức a=b.
Để ý: chứng minh dùng \sqrt{a} và \sqrt{b}, nên bắt buộc a,b\ge 0. Đó là lí do điều kiện “không âm” không phải chuyện hình thức.
Ba cách đọc cùng một bất đẳng thức, mỗi cách dùng cho một dạng bài:
Đề bài cho · Ta tìm · Kết luận
Tích ab=k không đổi (k>0) · Giá trị nhỏ nhất của tổng · a+b\ge 2\sqrt{k}
Tổng a+b=m không đổi · Giá trị lớn nhất của tích · ab\le \dfrac{m^{2}}{4}
Hai hạng tử có tích là một hằng số · Giá trị nhỏ nhất của tổng hai hạng tử · Tổng không nhỏ hơn hai lần căn bậc hai của tích
Dòng thứ hai suy ra từ dòng đầu: từ a+b\ge 2\sqrt{ab}, bình phương hai vế (cả hai vế không âm) được (a+b)^{2}\ge 4ab, tức ab\le \dfrac{(a+b)^{2}}{4}.
Ví dụ 1 · Giá trị nhỏ nhất của x+\dfrac{9}{x} với x>0
Kiểm tra hai hạng tử x và \dfrac{9}{x} có dương không. Vì x>0 nên cả hai đều dương, được phép dùng Cô-si.
Vì sao làm bước này: điều kiện áp dụng là hai số không âm; kiểm tra trước, kẻo áp dụng sai chỗ.
Tính tích hai hạng tử: x\cdot\dfrac{9}{x}=9. Đây là một hằng số , không còn chứa x.
Vì sao: chỉ khi tích là hằng số thì “hai lần căn của tích” mới là một con số cụ thể để làm cận dưới.
Áp dụng: x+\dfrac{9}{x}\ge 2\sqrt{9}=6.
Đây mới là bước “cho cận dưới”. Chưa được kết luận giá trị nhỏ nhất, vì chưa biết dấu bằng có xảy ra không.
Kiểm tra dấu bằng: x=\dfrac{9}{x} suy ra x^{2}=9; mà x>0 nên x=3. Tại x=3, biểu thức bằng 3+3=6.
Vì sao: có một giá trị x cụ thể làm biểu thức đạt đúng cận dưới thì cận dưới mới là giá trị nhỏ nhất .
Kết luận: giá trị nhỏ nhất của x+\dfrac{9}{x} là 6, đạt được khi x=3.
Luôn viết “đạt được khi …”. Thiếu vế này, bài làm thường bị trừ điểm.
Bẫy thường gặp: quên điều kiện dương
Bạn Lan làm bài “tìm giá trị nhỏ nhất của x+\dfrac{9}{x}” cho x\lt 0 và vẫn viết x+\dfrac{9}{x}\ge 6. Thử x=-1: biểu thức bằng -1-9=-10, nhỏ hơn 6 rất nhiều. Khi x\lt 0, cả hai hạng tử đều âm nên Cô-si (dành cho số không âm) không dùng được; thực tế lúc đó x+\dfrac{9}{x}\le -6.
Bẫy thường gặp: tích không phải hằng số
Bạn Minh viết: với x>0, x+\dfrac{1}{x^{2}}\ge 2\sqrt{\dfrac{x}{x^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}, nên “giá trị nhỏ nhất là \dfrac{2}{\sqrt{x}}”. Vế phải còn chứa x và tiến về 0 khi x lớn, nên nó không cho ta một cận dưới hằng số nào. Thật ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức này khoảng 1{,}89, đạt tại x=\sqrt[3]{2}. Muốn Cô-si cho cận dưới có ích, tích hai hạng tử phải là hằng số .
GV
Cô Lukato
Hai bẫy trên có chung một nguồn: dùng Cô-si như một câu thần chú mà quên kiểm tra hai điều kiện .: hai số không âm, và tích (hoặc tổng) của chúng là hằng số.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Với x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của x+\dfrac{25}{x}.
Gợi ý 1. Tích hai hạng tử x\cdot\dfrac{25}{x} bằng bao nhiêu?
Gợi ý 2. Cận dưới là hai lần căn của tích; tính rồi kiểm tra dấu bằng x=\dfrac{25}{x}.
Chính xác! x+\dfrac{25}{x}\ge 2\sqrt{25}=10, dấu bằng khi x=5.
5 là giá trị của x tại điểm rơi, không phải giá trị nhỏ nhất.
Bạn quên lấy căn: cận dưới là 2\sqrt{25}, không phải 2\cdot 25.
25 là tích hai hạng tử; cận dưới là hai lần căn của tích.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Ta có x\cdot\dfrac{25}{x}=25, hằng số. Cô-si cho x+\dfrac{25}{x}\ge 2\sqrt{25}=10. Dấu bằng khi x=\dfrac{25}{x}, tức x^{2}=25, x=5 (vì x>0). Tại x=5: 5+5=10. Vậy giá trị nhỏ nhất là 10.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Với x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của 4x+\dfrac{1}{x}.
Gợi ý 1. Hai hạng tử là 4x và \dfrac{1}{x}. Tích của chúng là bao nhiêu?
Gợi ý 2. Áp dụng a+b\ge 2\sqrt{ab} với a=4x,\ b=\dfrac{1}{x}, rồi tìm x để dấu bằng xảy ra.
Chính xác! 4x+\dfrac{1}{x}\ge 2\sqrt{4}=4, dấu bằng khi 4x=\dfrac{1}{x}, tức x=\dfrac{1}{2}.
Bạn lấy \sqrt{4} mà quên nhân 2: cận dưới là 2\sqrt{4}=4.
5 là giá trị của biểu thức tại x=1, một điểm không phải điểm rơi.
Đó là tích x\cdot\dfrac{1}{x} (bạn quên hệ số 4); đừng bỏ hệ số khi ghép cặp.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Đặt a=4x>0,\ b=\dfrac{1}{x}>0. Tích ab=4, nên a+b\ge 2\sqrt{4}=4. Dấu bằng khi 4x=\dfrac{1}{x}, tức x^{2}=\dfrac{1}{4}, x=\dfrac{1}{2}. Tại đó biểu thức bằng 2+2=4. Vậy giá trị nhỏ nhất là 4.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Cho x>0,\ y>0 và xy=9. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4x+y.
Gợi ý 1. Hai hạng tử là 4x và y. Tích 4x\cdot y bằng bao nhiêu khi xy=9?
Gợi ý 2. Nhờ xy=9, tích 4x\cdot y là hằng số; áp dụng Cô-si rồi tìm điểm rơi từ 4x=y và xy=9.
Chính xác! 4x+y\ge 2\sqrt{4xy}=2\sqrt{36}=12; dấu bằng khi 4x=y, tức x=\dfrac{3}{2},\ y=6.
Bạn đã tính 2\sqrt{xy} và bỏ mất hệ số 4. Tích của hai hạng tử là 4x\cdot y=36, không phải 9.
Bạn quên lấy căn: cận dưới là 2\sqrt{36}, không phải 36.
13 là giá trị tại x=1,\ y=9: 4+9=13, không phải nhỏ nhất.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Vì x,y>0 nên 4x>0,\ y>0. Cô-si: 4x+y\ge 2\sqrt{4x\cdot y}=2\sqrt{4\cdot 9}=12. Dấu bằng khi 4x=y; kết hợp xy=9: 4x^{2}=9, x=\dfrac{3}{2}, y=6. Thử lại: 4\cdot\dfrac{3}{2}+6=12. Vậy giá trị nhỏ nhất là 12.
Khi nào ta được kết luận “cận dưới vừa tìm được chính là giá trị nhỏ nhất”?
Sai. Cận dưới dương hay âm không quyết định gì; ví dụ x^{2}\ge -5 là đúng nhưng -5 không đạt được.
Đúng. Cận dưới chỉ trở thành giá trị nhỏ nhất khi có ít nhất một bộ giá trị hợp lệ của biến làm biểu thức bằng đúng cận dưới.
Sai. Số lần dùng Cô-si không liên quan; dùng đúng một lần vẫn có thể cho cận dưới không đạt được.
Sai. Tính chất số nguyên của cận dưới không chứng minh được điều gì.
3 Kĩ thuật ghép cặp: làm cho tích hai hạng tử thành hằng số
Đề bài hiếm khi cho sẵn hai hạng tử có tích là hằng số. Phần việc của người giải là biến đổi cho đến khi có điều đó.
Bất đẳng thức Cô-si chỉ là “máy cắt”; còn chọn hai hạng tử nào để cắt là nghệ thuật của người giải. Có ba thao tác cơ bản.
Thao tác A: nghịch đảo tự nhiên
Các cặp như x và \dfrac{k}{x}, hoặc ax và \dfrac{b}{x}, có tích là hằng số k hoặc ab. Đây là trường hợp đẹp nhất.
Thao tác B: thêm bớt hằng số
Khi có x và \dfrac{1}{x-1}, tích \dfrac{x}{x-1} không phải hằng số. Viết x=(x-1)+1 rồi ghép (x-1) với \dfrac{1}{x-1}: tích bằng 1.
Thao tác C: dùng ràng buộc để biến tích thành hằng số
Nếu đề cho xy=12 thì các hạng tử như 3x và y có tích 3xy=36: hằng số nhờ ràng buộc. Đây chính là cách ta sẽ dùng cho bài toán trung tâm, nên em hãy ghi nhớ.
Ví dụ 2 · Với x>1, tìm giá trị nhỏ nhất của x+\dfrac{1}{x-1}
Thử ghép thẳng: x\cdot\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}, không phải hằng số. Vậy Cô-si trực tiếp chưa dùng được.
Vì sao: nhận ra sớm điều này giúp em khỏi sa vào một cận dưới “giả” như ở bẫy thứ hai của mục 2.
Thêm bớt: x+\dfrac{1}{x-1}=(x-1)+\dfrac{1}{x-1}+1.
Vì sao: ta muốn hai hạng tử có mẫu và tử “khử” nhau; x-1 và \dfrac{1}{x-1} là cặp đó, phần dư 1 là hằng số nên không ảnh hưởng dấu bằng.
Vì x>1 nên x-1>0. Cô-si: (x-1)+\dfrac{1}{x-1}\ge 2\sqrt{1}=2. Suy ra biểu thức \ge 2+1=3.
Điều kiện x>1 chính là điều kiện để hai hạng tử dương.
Dấu bằng khi x-1=\dfrac{1}{x-1}, tức (x-1)^{2}=1; vì x-1>0 nên x-1=1, x=2. Thử: 2+\dfrac{1}{1}=3.
Nghiệm x=0 của (x-1)^{2}=1 bị loại vì không thỏa x>1.
Kết luận: giá trị nhỏ nhất là 3, đạt được khi x=2.
Trọn vẹn: cận dưới, điều kiện dấu bằng, giá trị điểm rơi, kết luận.
Ví dụ 3 · Với x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của \dfrac{x^{2}+4}{2x}
Tách phân thức thành tổng: \dfrac{x^{2}+4}{2x}=\dfrac{x^{2}}{2x}+\dfrac{4}{2x}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}.
Vì sao: tổng hai hạng tử dễ áp dụng Cô-si hơn một phân thức nguyên khối. Đây là thao tác “bẻ đôi tử số”.
Hai hạng tử \dfrac{x}{2} và \dfrac{2}{x} đều dương và có tích \dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{2}{x}=1.
Tích bằng hằng số: điều kiện để Cô-si cho cận dưới thật sự.
Suy ra \dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\ge 2\sqrt{1}=2, dấu bằng khi \dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{x}, tức x^{2}=4, x=2.
Biểu thức này sẽ xuất hiện lại ở mục 5 với tên gọi T; hãy nhớ cận T\ge 2 và điểm rơi x=2.