Đường thẳng song song và các cặp góc: từ đọc đúng vị trí đến chứng minh
Gọi đúng tên đồng vị, so le trong, trong cùng phía; phân biệt dấu hiệu và tính chất của hai đường thẳng song song; viết bài chứng minh có lí do từng dòng, kể…
Toán 7 · Hình học · Góc và đường thẳng song song
Đường thẳng song song và các cặp góc: từ đọc đúng vị trí đến chứng minh
Hình học lớp 7 khó không phải vì có nhiều công thức, mà vì một góc có thể mang nhiều tên và nhiều quan hệ. Bài này giúp em nhìn đúng vị trí trước khi tính, rồi viết được một bài chứng minh hai đường thẳng song song có đủ lí do.
90 phút Mức: khá đến giỏi 16 bài chấm tự động và 2 bài tự chấm Có hình vẽ tính từ số đo thật
Bạn sẽ học: góc kề bù, góc đối đỉnh, tia phân giác; gọi tên các cặp góc tạo bởi một đường cắt hai đường thẳng; dấu hiệu và tính chất của hai đường thẳng song song; cách viết chứng minh; kẻ đường phụ.
1 Mục tiêu và bản đồ của bài
Nhìn trước con đường sẽ đi để không lạc giữa các cặp góc.
Hãy tưởng tượng em đứng trên cầu vượt nhìn xuống hai làn đường thẳng tắp chạy cạnh nhau. Dù đi bao xa, hai làn đường ấy không bao giờ gặp nhau: đó là hai đường thẳng song song. Còn một con đường nhỏ cắt ngang qua cả hai làn sẽ tạo ra một “bó” góc quanh mỗi giao lộ. Toàn bộ chương này xoay quanh một câu hỏi: các góc ở hai giao lộ ấy nói gì về việc hai làn đường có song song hay không?
Câu trả lời gồm hai chiều, và học sinh hay lẫn lộn chúng. Chiều thứ nhất: nếu các góc thỏa một điều kiện nào đó thì hai đường thẳng song song (đây là dấu hiệu nhận biết ). Chiều thứ hai: nếu đã biết hai đường thẳng song song thì các góc phải thỏa những điều kiện nào đó (đây là tính chất ). Bài này dạy em tách bạch hai chiều ấy và dùng đúng chiều, đúng lúc.
Bước · Câu hỏi em tự đặt · Công cụ dùng
1 · Hai góc này nằm ở đâu so với các đường thẳng? · Gọi tên cặp góc: kề bù, đối đỉnh, đồng vị, so le trong, trong cùng phía
2 · Đề đã cho hai đường thẳng song song chưa? · Phân biệt “dấu hiệu” và “tính chất”
3 · Cần tính số đo góc hay cần chứng minh song song? · Tính chất để tính góc; dấu hiệu để kết luận song song
4 · Còn thiếu góc trung gian nào? · Kề bù, đối đỉnh, tia phân giác, kẻ đường phụ
5 · Mỗi dòng viết ra đã có lí do chưa? · Bảng “mệnh đề, lí do”
GV
Cô Lukato
Trong hình học, một con số đúng mà không có lí do thì chưa phải là một bước chứng minh. Ngay từ đầu, em hãy tập thói quen: viết một mệnh đề thì viết luôn “vì sao”.
Trước khi vào bài, hãy thử ba câu hỏi nhanh để biết mình đang đứng ở đâu. Không sao nếu em sai; phần giải thích sau mỗi câu sẽ chỉ ra chỗ nhầm.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng bao nhiêu?
Sai: 90^{\circ} là tổng của hai góc phụ nhau, không phải hai góc kề bù.
Đúng: hai góc kề bù có hai cạnh không chung là hai tia đối nhau, nên cùng tạo thành một góc bẹt 180^{\circ}.
Sai: 270^{\circ} không phải tổng đặc biệt nào của hai góc kề nhau trên một đường thẳng.
Sai: 360^{\circ} là một vòng đầy quanh một điểm, gồm bốn góc quanh giao điểm của hai đường thẳng.
Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra một góc 50^{\circ}. Góc đối đỉnh với nó bằng bao nhiêu?
Đúng: hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau.
Sai: 130^{\circ}=180^{\circ}-50^{\circ} là số đo của góc kề bù với góc đã cho, không phải góc đối đỉnh.
Sai: 40^{\circ}=90^{\circ}-50^{\circ} là số đo của góc phụ, không liên quan đến hai đường thẳng cắt nhau.
Sai: 100^{\circ}=2\cdot 50^{\circ}; không có quan hệ nào cho ta nhân đôi số đo.
Tia Oz nằm trong góc xOy=84^{\circ} và là tia phân giác của góc ấy. Số đo góc xOz là bao nhiêu?
Sai: 84^{\circ} là số đo của cả góc xOy; tia phân giác chỉ lấy một nửa.
Sai: 96^{\circ}=180^{\circ}-84^{\circ} là số đo góc kề bù với xOy.
Đúng: tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng 84^{\circ}:2=42^{\circ}.
Sai: 168^{\circ}=2\cdot 84^{\circ} là nhân đôi, trong khi phân giác là chia đôi.
2 Kề bù, đối đỉnh và tia phân giác: vốn liếng ở một giao điểm
Ba quan hệ nhỏ nhưng xuất hiện trong hầu hết mọi bài chứng minh.
Ta bắt đầu từ chỗ đơn giản nhất: một giao điểm. Khi hai đường thẳng cắt nhau tại O, chúng tạo ra bốn góc quanh O. Hình 1 cho thấy một trường hợp, trong đó một góc là 70^{\circ}.
Hình 1. Hai đường thẳng cắt nhau: hai góc cùng màu là đối đỉnh và bằng nhau (70 và 70; 110 và 110); hai góc khác màu kề nhau và cộng lại 180 (số đo tính bằng độ).
Nhìn hình, em thấy ngay hai quy luật. Các góc đứng cạnh nhau (kề nhau) luôn cộng lại thành 180^{\circ}, vì hai cạnh ngoài của chúng nằm trên cùng một đường thẳng. Các góc đứng đối diện nhau (đối đỉnh) luôn bằng nhau. Hãy gọi tên chính xác hai khái niệm này.
Hai góc kề bù
Hai góc có chung một cạnh, và hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.
Tổng hai góc kề bù bằng 180^{\circ}.
Hai góc đối đỉnh
Hai góc có chung đỉnh, và mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Nhiều em nhớ “đối đỉnh thì bằng nhau” như một câu thần chú mà không biết vì sao. Nhưng một bài chứng minh cần hiểu lí do, nên ta chứng minh nó ngay bây giờ. Đặt tên bốn góc ở Hình 1 theo thứ tự \hat{O}_{1},\hat{O}_{2},\hat{O}_{3},\hat{O}_{4}, trong đó \hat{O}_{1} và \hat{O}_{3} là một cặp đối đỉnh.
Ví dụ 1 · Vì sao hai góc đối đỉnh bằng nhau?
Góc \hat{O}_{1} và góc \hat{O}_{2} là hai góc kề bù, nên \hat{O}_{1}+\hat{O}_{2}=180^{\circ}.
Vì sao làm bước này: hai góc kề nhau trên cùng một đường thẳng cộng lại thành góc bẹt.
Góc \hat{O}_{3} và góc \hat{O}_{2} cũng là hai góc kề bù, nên \hat{O}_{3}+\hat{O}_{2}=180^{\circ}.
Vì sao làm bước này: ta dùng \hat{O}_{2} làm “cầu nối” chung cho cả hai góc cần so sánh.
Suy ra \hat{O}_{1}+\hat{O}_{2}=\hat{O}_{3}+\hat{O}_{2}. Bớt \hat{O}_{2} ở cả hai vế: \hat{O}_{1}=\hat{O}_{3}.
Vì sao làm bước này: hai tổng cùng bằng 180^{\circ} thì bằng nhau; rồi bỏ số hạng chung.
Cách chứng minh này còn cho em một bài học chung: muốn so sánh hai góc, hãy tìm một góc thứ ba làm cầu nối (ở đây là một góc bù với cả hai). Ta sẽ gặp lại ý tưởng này nhiều lần.
Sắp xếp các bước để chứng minh: hai góc đối đỉnh \hat{O}_{1} và \hat{O}_{3} bằng nhau.
Các bước (bấm để chọn)
Chuỗi của bạn
Bẫy: đảo ngược một định lí
Nhiều em nghĩ: “hai góc bằng nhau thì đối đỉnh”. Chiều này sai . Hai góc 40^{\circ} đặt ở hai nơi hoàn toàn xa nhau vẫn bằng nhau mà không đối đỉnh. Định lí chỉ đúng theo chiều: đối đỉnh thì bằng nhau. Về sau, chính sự nhầm chiều này khiến nhiều em kết luận sai rằng “hai góc bằng nhau nên hai đường thẳng song song”.
Ví dụ 2 · Biết một góc, tính ba góc còn lại
Đề: hai đường thẳng cắt nhau tại O, một góc bằng 70^{\circ}. Tính ba góc còn lại.
Vì sao làm bước này: liệt kê rõ góc nào đối đỉnh, góc nào kề bù với góc đã biết.
Góc đối đỉnh với góc 70^{\circ} cũng bằng 70^{\circ}.
Vì sao làm bước này: đối đỉnh thì bằng nhau.
Góc kề bù với góc 70^{\circ} bằng 180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}.
Vì sao làm bước này: hai góc kề bù cộng lại 180^{\circ}.
Góc còn lại đối đỉnh với góc 110^{\circ}, nên cũng bằng 110^{\circ}. Vậy bốn góc là 70^{\circ},110^{\circ},70^{\circ},110^{\circ}.
Vì sao làm bước này: kiểm tra: tổng bốn góc 70+110+70+110=360, đủ một vòng quanh O.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Hai đường thẳng xx^{\prime} và yy^{\prime} cắt nhau tại O. Biết góc xOy=70^{\circ}. Tính số đo góc yOx^{\prime} (độ), nhập một số.
Gợi ý 1. Góc yOx^{\prime} nằm cạnh góc xOy, hai cạnh không chung Ox và Ox^{\prime} là hai tia đối nhau.
Gợi ý 2. Vậy hai góc này kề bù: cộng lại bằng 180^{\circ}.
Chính xác! Hai góc kề bù nên 180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}.
Đây là số đo của góc đối đỉnh với xOy. Góc yOx^{\prime} đứng cạnh chứ không đối diện, nên kề bù chứ không đối đỉnh.
Bạn lấy 90^{\circ}-70^{\circ}. Hai góc kề bù cộng lại 180^{\circ}, không phải 90^{\circ}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Hai tia Ox và Ox^{\prime} đối nhau nên góc xOy và góc yOx^{\prime} là hai góc kề bù. Do đó yOx^{\prime}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Hai góc kề bù hơn kém nhau 40^{\circ}. Tính số đo góc nhỏ (độ).
Gợi ý 1. Gọi góc nhỏ là x. Góc lớn là x+40.
Gợi ý 2. Hai góc kề bù nên x+(x+40)=180.
Chính xác! 2x+40=180 nên x=70; góc lớn là 110^{\circ}.
Đây là góc lớn. Đề hỏi góc nhỏ: 70^{\circ}.
Bạn đã chia đôi 180^{\circ} mà quên rằng hai góc hơn kém nhau 40^{\circ}. Cần giải 2x+40=180.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Gọi góc nhỏ là x thì góc lớn là x+40. Hai góc kề bù: x+(x+40)=180, tức 2x=140, nên x=70. Góc nhỏ bằng 70^{\circ}, góc lớn bằng 110^{\circ}.
Bây giờ đến tia phân giác. Tia Oz nằm trong góc xOy và chia góc ấy thành hai góc bằng nhau gọi là tia phân giác của góc xOy. Khi đó xOz=zOy=\dfrac{1}{2}\,xOy. Có một kết quả rất đẹp: hai tia phân giác của hai góc kề bù luôn vuông góc với nhau.
Ví dụ 3 · Hai tia phân giác của hai góc kề bù
Đề: góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù. Tia Om là phân giác của góc xOy, tia On là phân giác của góc yOz. Tính góc mOn.
Vì sao làm bước này: hãy thử với một số cụ thể trước, ví dụ xOy=84^{\circ}, để đoán kết quả.
Với xOy=84^{\circ}: góc kề bù yOz=180^{\circ}-84^{\circ}=96^{\circ}. Vì Om là phân giác: mOy=42^{\circ}; vì On là phân giác: yOn=48^{\circ}.
Vì sao làm bước này: mỗi tia phân giác lấy một nửa góc của nó.
Tia Oy nằm giữa Om và On, nên mOn=mOy+yOn=42^{\circ}+48^{\circ}=90^{\circ}.
Vì sao làm bước này: cộng hai góc kề nhau cùng nằm trong một góc.
Tổng quát: mOn=\dfrac{1}{2}xOy+\dfrac{1}{2}yOz=\dfrac{1}{2}(xOy+yOz)=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{\circ}=90^{\circ}, với mọi số đo của xOy.
Vì sao làm bước này: kết quả không phụ thuộc số đo ban đầu, vì hai nửa cộng lại đúng bằng nửa của góc bẹt.
Bài 3 Mức 2 · Vận dụng
Góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù. Tia Om là phân giác của góc xOy, tia On là phân giác của góc yOz. Tính số đo góc mOn (độ).
Gợi ý 1. mOn=mOy+yOn, mỗi góc thành phần bằng một nửa góc lớn tương ứng.
Gợi ý 2. Nửa của xOy cộng nửa của yOz bằng nửa của tổng hai góc kề bù.
Chính xác! mOn=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{\circ}=90^{\circ}, không phụ thuộc vào số đo của xOy.
Bạn đã cộng hai góc kề bù mà chưa lấy một nửa. Tia phân giác chỉ lấy nửa mỗi góc, nên kết quả là 180^{\circ}:2.
Bạn đã lấy nửa lần nữa. Nửa của xOy cộng nửa của yOz là nửa của 180^{\circ}, tức 90^{\circ}.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
mOy=\dfrac{1}{2}xOy và yOn=\dfrac{1}{2}yOz. Vì Oy nằm giữa Om và On nên mOn=\dfrac{1}{2}(xOy+yOz)=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{\circ}=90^{\circ}.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Hai góc kề bù có số đo tỉ lệ với 2 và 7. Tính số đo góc nhỏ (độ).
Gợi ý 1. Gọi hai góc là 2k và 7k. Hai góc kề bù cộng lại 180^{\circ}.
Gợi ý 2. 9k=180.
Chính xác! 9k=180 nên k=20; góc nhỏ 2k=40^{\circ}, góc lớn 7k=140^{\circ}.
Đây là giá trị của k, chưa phải số đo của góc nhỏ. Góc nhỏ là 2k=40^{\circ}.
Đây là góc lớn (7k). Đề hỏi góc nhỏ.
Lời giải mở sau khi bạn làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Đặt hai góc là 2k và 7k. Từ 2k+7k=180 suy ra k=20. Góc nhỏ là 2\cdot 20=40^{\circ} và góc lớn là 7\cdot 20=140^{\circ}.
3 Một đường cắt hai đường: tám góc và bốn loại cặp
Gọi đúng tên cặp góc là nửa chặng đường của bài chứng minh.
Giờ ta thêm một đường thứ ba. Đường thẳng c cắt đường thẳng a tại A và cắt đường thẳng b tại B. Ở mỗi giao điểm có bốn góc, vậy là tám góc . Để nói chuyện với nhau cho gọn, ta đánh số các góc theo một quy ước cố định: tại mỗi điểm, đi ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ góc phía trên bên phải. Đó là các góc \hat{A}_{1},\hat{A}_{2},\hat{A}_{3},\hat{A}_{4} và \hat{B}_{1},\hat{B}_{2},\hat{B}_{3},\hat{B}_{4} trong Hình 2.
Hình 2. Đường thẳng c cắt a tại A và cắt b tại B tạo tám góc. Tại mỗi điểm, các góc được đánh số 1, 2, 3, 4 ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ góc phía trên bên phải.
Trong tám góc ấy, bốn góc \hat{A}_{3},\hat{A}_{4},\hat{B}_{1},\hat{B}_{2} nằm giữa hai đường thẳng a và b: ta gọi chúng là các góc trong . Bốn góc còn lại \hat{A}_{1},\hat{A}_{2},\hat{B}_{3},\hat{B}_{4} nằm ngoài dải giữa hai đường thẳng: các góc ngoài . Ngoài ra, mỗi góc ở A có thể nằm cùng phía hoặc khác phía với một góc ở B so với đường thẳng c. Hai câu hỏi “trong hay ngoài” và “cùng phía hay khác phía” đủ để gọi tên mọi cặp góc.
Tên cặp góc · Nhận diện · Các cặp trong Hình 2
Đồng vị · Một góc ở A, một góc ở B, cùng vị trí (cùng số thứ tự) · \hat{A}_{1} và \hat{B}_{1}
\hat{A}_{2} và \hat{B}_{2}
\hat{A}_{3} và \hat{B}_{3}
\hat{A}_{4} và \hat{B}_{4}
So le trong · Cả hai đều là góc trong, ở hai phía khác nhau của c · \hat{A}_{3} và \hat{B}_{1}
\hat{A}_{4} và \hat{B}_{2}
Trong cùng phía · Cả hai đều là góc trong, ở cùng một phía của c · \hat{A}_{3} và \hat{B}_{2}