Câu hình ba ý: chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, từng bước một
Đường tròn đường kính, trung tuyến cạnh huyền, tam giác đồng dạng, hai cách chứng minh cho mỗi ý khó và 22 bài luyện có gợi ý.
Toán 9 · Hình học phẳng · Ôn tập
Bốn điểm B, K, E, M cùng nằm trên một đường tròn: học chứng minh qua một câu hình ba ý
Câu 6 có ba ý nối tiếp nhau như ba bậc thang. Bài này không chỉ chép lời giải: em sẽ học cách đọc hình, chọn công cụ, tự nghĩ ra từng bước và viết bài cho gọn mà đủ ý.
Khoảng 110 phút Mức: khá - giỏi 2 cách cho mỗi ý khó
Em sẽ học: đường tròn đường kính và góc vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền, góc nội tiếp, tam giác đồng dạng góc - góc, đường trung trực, cách trình bày bài chứng minh.
1 Đề bài và chuỗi ba bậc thang
Một bài hình dài nhưng chặt: mỗi ý là bậc thang cho ý sau.
Câu 6 là bài hình học phẳng, gồm ba ý a, b, c. Dưới đây là đề bài.
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC có AB\lt AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của đoạn AH. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với BK; đường thẳng này cắt AC tại M.
a) Chứng minh bốn điểm B, K, E, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \angle KMB=\angle ACB.
c) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC và kẻ đường kính BN của đường tròn đó. Chứng minh tam giác BKM đồng dạng với tam giác BAN, và đường thẳng OM đi qua trung điểm của đoạn NC.
Hình 1. Câu a và câu b: hai góc vuông BKM và BEM cùng nhìn đoạn BM, nên K và E nằm trên đường tròn đường kính BM (nét đứt).
GV
Cô Lukato
Nhìn hình có đủ thứ: hai đường cao, trực tâm, trung điểm, một đường tròn thứ hai, đường kính... Nhiều em hoảng vì "nhiều điểm quá". Bí quyết là đừng nhìn cả hình cùng lúc. Mỗi ý chỉ cần một, hai công cụ; và ý sau luôn dùng lại ý trước.
Chỗ đáng chú ý nhất của đề là cách ba ý được nối: câu a cho một đường tròn, câu b dùng đường tròn ấy để có một góc bằng góc C, câu c dùng chính góc ấy để tìm ra hai tam giác đồng dạng. Ta gọi đó là "chuỗi ba bậc thang".
Hình 2. Sơ đồ ba câu của bài hình: câu sau luôn dùng kết quả của câu trước.
Ba câu hỏi nhanh để kiểm tra hành trang; mỗi phương án đều có giải thích.
Điểm X nằm trên đường tròn đường kính BM, và X khác B, khác M. Góc BXM bằng bao nhiêu?
Sai. Với đường kính BM, góc này luôn bằng một giá trị cố định khác 60^{\circ}.
Đúng. Đây là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, luôn bằng 90^{\circ}. Đảo lại, nếu \angle BXM=90^{\circ} thì X thuộc đường tròn đường kính BM.
Sai. 180^{\circ} chỉ xảy ra khi ba điểm B, X, M thẳng hàng, tức X nằm trên đường thẳng BM, không phải là điểm của đường tròn (khác B, M).
Sai. Mọi điểm X như vậy đều cho cùng một góc, và đó không phải 45^{\circ}.
Xét các góc nội tiếp trong một đường tròn.
a) Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, nằm cùng phía so với dây cung ấy, thì bằng nhau.
Đúng: đó là hệ quả của định lí góc nội tiếp, và là công cụ số một của bài hôm nay.
b) Góc nội tiếp luôn bằng góc ở tâm cùng chắn một cung.
Sai: góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn cung đó.
c) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90^{\circ}.
Đúng: đây chính là trường hợp góc ở tâm bằng 180^{\circ}.
d) Trong tứ giác nội tiếp, hai góc kề nhau có tổng bằng 180^{\circ}.
Sai: tổng 180^{\circ} là của hai góc đối nhau.
Tam giác AEH vuông tại E có cạnh huyền AH=14. Trung điểm K của AH cách E một khoảng bằng . Nếu tam giác ADC vuông tại D có \angle ACD=50^{\circ} thì \angle DAC= độ.
2 Đọc hình và kiểm tra bằng số
Ta hiểu rõ hình trước khi chứng minh: mỗi điểm sinh ra từ đâu, và điều đề sắp bắt chứng minh có thật đúng không.
Bước dựng · Điều em biết chắc
Tam giác nhọn ABC, AB\lt AC · Cả ba góc nhỏ hơn 90^{\circ}; các chân đường cao nằm trong các cạnh
AD\perp BC tại D, BE\perp AC tại E · \angle ADC=\angle ADB=90^{\circ} và \angle AEB=\angle BEC=90^{\circ}
H=AD\cap BE · H là trực tâm; CH\perp AB
K là trung điểm của AH · KA=KH, và K nằm trên đường cao AD
Đường thẳng qua K, vuông góc BK, cắt AC tại M · \angle BKM=90^{\circ} và M thuộc đường thẳng AC
Câu c: O tâm ngoại tiếp, BN đường kính · O là trung điểm BN; \angle BAN=\angle BCN=90^{\circ}
Bảng trên là kho "điều được dùng": khi bí, hãy đọc lại từng dòng.
GV
Cô Lukato
Có một thói quen rất tốt của người giỏi hình: kiểm tra hình bằng số . Ta chọn một tam giác cụ thể, tính tọa độ mọi điểm, rồi thử xem điều đề bắt chứng minh có thật đúng không. Việc thử số không thay được lời chứng minh, nhưng nó giúp em không mất công chứng minh một điều sai.
Ta chọn hệ tọa độ với B(0;0), C(9;0), A(3;6). Kiểm tra: AB^{2}=45, AC^{2}=72, nên AB\lt AC; cả ba góc đều nhọn. Mọi điểm còn lại tính được bằng cách giải hệ phương trình (xem phần gập cuối mục).
Điểm · Tọa độ · Cách có được
D · (3;0) · chân đường cao từ A xuống trục hoành
E · (4{,}5;\,4{,}5) · chân đường cao từ B xuống AC, nằm trên đường y=x
H · (3;3) · giao của x=3 và y=x
K · (3;\,4{,}5) · trung điểm của A(3;6) và H(3;3)
M · (7{,}5;\,1{,}5) · giao của AC (x+y=9) và đường qua K vuông góc BK
O · (4{,}5;\,1{,}5) · cách đều A, B, C
N · (9;3) · đối xứng của B qua O
Ví dụ 1 · Thử bằng số ba điều mà đề sẽ bắt chứng minh
Câu a nói B, K, E, M cùng thuộc một đường tròn. Tâm dự đoán là trung điểm I của BM: I(3{,}75;\,0{,}75). Ta tính IB^{2}=3{,}75^{2}+0{,}75^{2}=14{,}625.
Vì sao làm vậy: nếu \angle BKM=90^{\circ} thì K nằm trên đường tròn đường kính BM; ta chỉ việc kiểm tra các khoảng cách tới I.
Tính IK^{2}=(3-3{,}75)^{2}+(4{,}5-0{,}75)^{2}=0{,}5625+14{,}0625=14{,}625 và IE^{2}=(4{,}5-3{,}75)^{2}+(4{,}5-0{,}75)^{2}=14{,}625. Cả bốn điểm cách I cùng một khoảng: câu a đúng với tam giác này.
Kiểm tra: IM^{2} cũng bằng 14{,}625 (vì I là trung điểm của BM).
Câu b: góc ACB. Tam giác ADC vuông tại D có AD=6 và DC=9-3=6, nên nó vuông cân tại D và \angle ACB=45^{\circ} (cũng có thể tính \tan\angle ACB=\dfrac{AD}{DC}=1). Tam giác BKM vuông tại K có KB^{2}=29{,}25 và KM^{2}=29{,}25, nên vuông cân, \angle KMB=45^{\circ}. Hai góc bằng nhau: câu b đúng.
Vì sao làm vậy: ta tính cả hai góc từ tọa độ chứ không đo bằng thước, nên kết quả là chính xác.
Câu c: OM đi qua trung điểm J của NC. Ta có J(9;\,1{,}5); O và M đều có tung độ 1{,}5 nên đường thẳng OM là y=1{,}5, đi qua J. Câu c đúng.
Chú ý: tam giác ta chọn có góc C bằng 45^{\circ} nên có vài điều "đẹp bất thường", ví dụ KB=KM. Bài chứng minh của em không được dùng những điều đẹp ấy.
Bẫy thường gặp
Bẫy: dùng một trường hợp đặc biệt của hình để "chứng minh". Ở tam giác trên, KB=KM và OM\parallel BC, đều đúng, nhưng KB=KM chỉ đúng khi \angle C=45^{\circ}. Nếu em viết "vì KB=KM nên..." trong bài thi, em đã dùng điều không có trong giả thiết. Các điều đúng với mọi tam giác nhọn mới được dùng.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Với tam giác trên (A(3;6), H(3;3)), đoạn AH dài bao nhiêu?
Gợi ý 1. A và H cùng hoành độ 3.
Gợi ý 2. Độ dài bằng hiệu hai tung độ.
Chính xác! AH=6-3=3.
Đó là độ dài AD, cả đường cao. H nằm giữa A và D.
Đó là độ dài AK (nửa của AH); đề hỏi AH.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
A và H cùng nằm trên đường thẳng x=3 nên AH=|6-3|=3.
Bài 2 Mức 2 · Vận dụng
Tính KB^{2} với K(3;\,4{,}5) và B(0;0). Nhập số thập phân.
Gợi ý 1. KB^{2}=(3-0)^{2}+(4{,}5-0)^{2}.
Gợi ý 2. Tính riêng từng bình phương rồi cộng; nhập số thập phân dùng dấu phẩy.
Chính xác! KB^{2}=9+20{,}25=29{,}25.
Đó là KB (căn bậc hai), không phải KB^{2}.
Em quên cộng 3^{2}=9.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
KB^{2}=3^{2}+4{,}5^{2}=9+20{,}25=29{,}25. Đây cũng là KM^{2}, vì tam giác BKM vuông cân trong tam giác đặc biệt này.
Tọa độ này được tính thế nào? Xem lại phương trình
Đường thẳng AC đi qua A(3;6) và C(9;0) nên có phương trình x+y=9. Đường cao BE vuông góc với AC và đi qua B, nên là y=x. Chân E là nghiệm của x+y=9, y=x, tức E(4{,}5;\,4{,}5). Đường cao AD là x=3; H là giao của x=3 và y=x, tức H(3;3); K là trung điểm AH, K(3;\,4{,}5). Đường thẳng qua K vuông góc BK (vectơ BK=(3;\,4{,}5)) có phương trình 3(x-3)+4{,}5(y-4{,}5)=0. Kết hợp với x+y=9, ta được x=7{,}5, y=1{,}5: M(7{,}5;\,1{,}5). Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều B, C nên có hoành độ 4{,}5; cách đều B, A cho tung độ 1{,}5. Từ đó O(4{,}5;\,1{,}5) và N=2O-B=(9;3).
3 Hai công cụ đầu: trung tuyến cạnh huyền và đường tròn đường kính
Nền tảng cho câu a và câu b: cả hai đều đến từ một ý tưởng, hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
Công cụ 1. Trung tuyến ứng với cạnh huyền. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Ghi nhớ: trung tuyến ứng với cạnh huyền
Tam giác AEH vuông tại E; K là trung điểm cạnh huyền AH. Khi đó KE=KA=KH=\dfrac{1}{2}AH. Đảo lại: nếu một điểm E có trung tuyến EK của tam giác AEH bằng nửa cạnh AH thì góc E vuông.
Hình 3. Trung tuyến EK ứng với cạnh huyền AH của tam giác vuông AEH bằng nửa cạnh huyền: KE = KA = KH.
Vì sao đúng? Lấy điểm P đối xứng với E qua K. Vì K là trung điểm của cả AH và EP, tứ giác AEHP có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên là hình bình hành. Hình bình hành có một góc vuông (\angle AEH=90^{\circ}) là hình chữ nhật. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau: EP=AH. Mà EK=\dfrac{1}{2}EP nên EK=\dfrac{1}{2}AH.
Nói cách khác, ba điểm A, E, H cùng cách đều K: chúng nằm trên đường tròn tâm K, bán kính \dfrac{1}{2}AH, như Hình 3. Đây là mấu chốt của câu b.
Công cụ 2. Đường tròn đường kính. Nhờ công cụ 1, ta chứng minh được điều rất hay dùng: một điểm nhìn đoạn BM dưới góc vuông thì nằm trên đường tròn đường kính BM.
Ghi nhớ: đường tròn đường kính
Cho đoạn BM. Điểm X (khác B, M) thỏa \angle BXM=90^{\circ} khi và chỉ khi X nằm trên đường tròn đường kính BM.
Vì sao? Gọi I là trung điểm của BM. Nếu \angle BXM=90^{\circ} thì XI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông BXM, nên XI=\dfrac{1}{2}BM, tức X cách I đúng bằng bán kính. Chiều ngược lại cũng vậy: XI=\dfrac{1}{2}BM kéo theo góc X vuông (chiều đảo của công cụ 1).
GV
Cô Lukato
Điều này rất tiện: hai điểm khác nhau cùng nhìn một đoạn dưới góc vuông thì cùng nằm trên một đường tròn , đường tròn có đường kính là đoạn đó. Em sẽ dùng đúng cách nghĩ này ở câu a.
Tam giác PQR vuông tại P, QR=10. Gọi I là trung điểm của QR. Độ dài PI là
Đúng. PI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên bằng nửa cạnh huyền: \dfrac{10}{2}=5.
Sai. 10 là độ dài của cả cạnh huyền; trung tuyến chỉ bằng một nửa.
Sai. 20 là gấp đôi cạnh huyền; em đã nhầm chiều.
Sai. Chỉ cần biết tam giác vuông và độ dài cạnh huyền là tính được, dù không biết hai cạnh góc vuông.
Bài 3 Mức 1 · Nhận biết
Trong tam giác AEH vuông tại E, cạnh huyền AH=18, K là trung điểm AH. Tính KE.
Gợi ý 1. Nhớ công cụ 1: KE=KA=KH.
Gợi ý 2. K là trung điểm của AH, nên KA bằng mấy phần AH?
Chính xác! KE=\dfrac{1}{2}\cdot 18=9.
Đó là độ dài cạnh huyền AH. Trung tuyến chỉ bằng nửa.
Em đã nhân đôi thay vì chia đôi.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
K là trung điểm cạnh huyền nên KE=\dfrac{1}{2}AH=9.
Bài 4 Mức 1 · Nhận biết
Điểm K thỏa \angle BKM=90^{\circ} và BM=10. Đường tròn đường kính BM có bán kính bao nhiêu?
Gợi ý 1. Đường kính là BM.
Gợi ý 2. Bán kính bằng nửa đường kính.
Chính xác! Bán kính =\dfrac{10}{2}=5.
Đó là đường kính, không phải bán kính.
Em đã nhân đôi thay vì chia đôi.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
K nhìn BM dưới góc vuông nên nằm trên đường tròn đường kính BM; đường tròn này có bán kính \dfrac{BM}{2}=5.
4 Hai công cụ tiếp: góc nội tiếp và góc của trực tâm
Cầu nối giữa một đường tròn và các góc; cùng mẹo "cùng phụ" quen thuộc của bài có hai đường cao.
Công cụ 3. Góc nội tiếp cùng chắn một cung. Đây là công cụ mạnh nhất của mọi bài về đường tròn: nó biến "bốn điểm cùng thuộc một đường tròn" thành "hai góc bằng nhau", và ngược lại.
Ghi nhớ: góc nội tiếp cùng chắn cung
Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một dây cung, có đỉnh nằm cùng phía so với dây cung ấy, thì bằng nhau. Nếu hai đỉnh nằm khác phía thì hai góc bù nhau (tổng 180^{\circ}).
Vì sao? Mỗi góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì cùng bằng nửa góc ở tâm ấy, nên bằng nhau. Nếu hai đỉnh khác phía thì chúng chắn hai cung bù nhau, tổng hai cung là 360^{\circ}, tổng hai góc là 180^{\circ}.
Ví dụ 2 · Dùng góc nội tiếp trong đường tròn đường kính BM
Cho K, E, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính BM, và biết \angle KEB=38^{\circ}. Tính \angle KMB, biết M và E nằm cùng phía so với đường thẳng KB.
Vì sao làm vậy: ta nhận ra hai góc KEB và KMB cùng chắn dây KB.
Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KB, có đỉnh E, M cùng phía so với KB, nên \angle KMB=\angle KEB=38^{\circ}.