Dịch bài toán thành phép tính: biểu thức, phương trình, Vi-ét (Phần 1)
Thay số, điều kiện xác định, rút gọn biểu thức có căn, phương trình bậc nhất, Vi-ét và cách gỡ căn bằng một bình phương.
Toán 9 · Ôn tập · Biểu thức, phương trình, Vi-ét
Dịch bài toán thành phép tính: biểu thức, phương trình, Vi-ét (Phần 1)
Hai bài đầu (Câu 1 và Câu 2) trông như thuần kĩ thuật: thay số, điều kiện xác định, rút gọn biểu thức có căn, phương trình bậc nhất, Vi-ét. Nhưng câu nào cũng cần dịch lời thành kí hiệu cho đúng, giải, rồi dịch ngược để kiểm tra. Bài này dạy em thói quen ba nhịp ấy qua hai bài đầu.
Khoảng 90 phút Mức: cơ bản đến khá Dịch - giải - dịch ngược
Em sẽ học: điều kiện xác định, rút gọn biểu thức có căn bậc hai, phương trình bậc nhất một ẩn, định lí Vi-ét và cách gỡ căn bằng một bình phương đúng.
1 Hai câu đầu, một thói quen: dịch, giải, dịch ngược
Đề bài, kí hiệu và thói quen ba nhịp cho cả bài.
Bộ bài gồm bảy câu: năm câu đầu là phần đại số, thống kê và xác suất; hai câu cuối là hình học. Điểm của năm câu đầu lần lượt là 1,5; 1; 1,5; 1 và 1 điểm. Bài này là Phần 1 , dành cho Câu 1 và Câu 2 (tổng 2,5 điểm). Dưới đây là hai câu ấy do LUKATO viết lại bằng lời của mình, giữ nguyên dữ kiện và yêu cầu.
Câu 1 và Câu 2 (bản viết lại của LUKATO)
Câu 1. a) Tính giá trị của biểu thức A=x-9 khi x=10. b) Viết điều kiện xác định của phân thức B=\dfrac{2x+7}{x-4}. c) Rút gọn biểu thức C=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}} với x\gt 0 và x\ne 9.
Câu 2. a) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình 2x-8=x+3. b) Cho phương trình x^{2}-6x+2=0, biết rằng phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt x_{1}, x_{2}. Không giải phương trình, hãy tính P=\sqrt{12x_{1}+7}+x_{2}.
Ba câu còn lại của phần đại số (Câu 3 về bảng tần số ghép nhóm và xác suất, Câu 4 về giá vé và hàm số, Câu 5 về bài toán gói quà) được học trọn trong bài "Dịch bài toán thành phép tính: thống kê, xác suất, hàm số và mô hình hóa (Phần 2)" . Hai phần độc lập: em có thể học phần nào trước cũng được.
GV
Cô Lukato
Nhiều em coi Câu 1 và Câu 2 là "câu cho điểm" nên làm vội. Cô muốn em thấy chúng cũng là những câu chuyện nhỏ cần dịch: "không xác định" nghĩa là mẫu bằng 0, "không giải phương trình" nghĩa là phải dùng tổng và tích nghiệm, "hai nghiệm dương" là chìa khóa để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Dịch đúng thì giải chỉ là kĩ thuật, rồi em nhớ dịch ngược lại: kết quả có hợp lí không?
Thói quen ba nhịp của cả bài là như sau, minh họa bằng Câu 2b.
Nhịp · Em làm gì · Ví dụ ở Câu 2b
Dịch · đọc kĩ, ghi điều kiện, đổi từng cụm từ thành kí hiệu · "không giải phương trình" thì dùng x_{1}+x_{2}=6, x_{1}x_{2}=2; "nghiệm dương" cho x_{1}\gt 0
Giải · dùng kĩ thuật đã học: biến đổi, quy đồng, Vi-ét · 12x_{1}+7=(x_{1}+3)^{2}, nên P=x_{1}+3+x_{2}=9
Dịch ngược · trả kết quả về đề, kiểm tra điều kiện và độ hợp lí · thay nghiệm thật 3-\sqrt{7}\approx 0{,}354 và 3+\sqrt{7}\approx 5{,}646: P\approx 3{,}354+5{,}646=9
Kiểm tra đầu vào: ba câu ngắn dưới đây cho em biết mình đang đứng ở đâu. Sai cũng không sao, mỗi câu đều có giải thích.
Phân thức \dfrac{5}{x+3} xác định khi nào?
Sai. Em đã lấy x-3\ne 0; mẫu ở đây là x+3, nên nghiệm của x+3=0 là -3.
Đúng. Mẫu x+3 khác 0 khi x\ne -3; các giá trị còn lại đều được phép, kể cả số nhỏ hơn -3.
Sai. x=-5 vẫn cho \dfrac{5}{-2}, là số hợp lệ. Điều kiện chỉ loại đúng một giá trị.
Sai. x=-3 làm mẫu bằng 0 và phép chia cho 0 không có nghĩa.
Cho x=16. Nhớ rằng \sqrt{x} là căn bậc hai số học của x.
a) \sqrt{x}=4.
Đúng: 4\ge 0 và 4^{2}=16.
b) \sqrt{x} nhận hai giá trị là 4 và -4.
Sai: 16 có hai căn bậc hai là 4 và -4, nhưng căn bậc hai số học chỉ là số không âm 4.
c) \dfrac{2}{\sqrt{x}-3}=2.
Đúng: \sqrt{x}-3=4-3=1, nên giá trị bằng \dfrac{2}{1}=2.
d) Đẳng thức x-9=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right) chỉ đúng khi x=16.
Sai: đó là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, đúng với mọi x\ge 0 vì \left(\sqrt{x}\right)^{2}=x.
Giải 5x-2=3x+6. Chuyển 3x sang trái và -2 sang phải (nhớ đổi dấu): 5x-3x=6+ , suy ra 2x=8 và x= .
Bản đồ của bài: mục 2 và 3 nói về Câu 1; mục 4 và 5 về Câu 2. Mục 6 gom cách trình bày và các lỗi thường gặp; mục 7 và 8 là luyện tập tổng hợp và thử thách; mục 9 là tự kiểm tra.
2 Câu 1a và 1b: thay số và điều kiện xác định
Hai câu ngắn nhất của đề, nhưng chứa hai thói quen quan trọng nhất của đại số.
Câu 1a và 1b là hai câu "mở màn": rất ngắn, nhưng ẩn hai ý tưởng nền tảng. Ý tưởng thứ nhất: biểu thức là một cỗ máy , đưa vào một số và nhận ra một số. Ý tưởng thứ hai: không phải số nào cũng được đưa vào máy , vì có những số làm máy hỏng.
Câu 1a: thay số. Biểu thức A=x-9. Muốn biết A khi x=10, em thay chữ x bằng số 10: A=10-9=1. Chỉ có vậy. Điều đáng học ở đây là thói quen viết: "Thay x=10 vào A, ta có A=10-9=1. Vậy khi x=10 thì A=1." Hai vế đều có, câu kết luận nhắc lại đề.
Câu 1b: điều kiện xác định. Hãy nghĩ tới một phép chia đời thường: chia 12 cái kẹo cho 3 bạn, mỗi bạn được 4 cái. Còn chia 12 cái kẹo cho 0 bạn thì sao? Không có bạn nào để nhận, câu hỏi "mỗi bạn được mấy cái" không có nghĩa. Đó là lí do toán học cấm chia cho 0 .
Ghi nhớ: điều kiện xác định của phân thức
Phân thức \dfrac{P}{Q} chỉ có nghĩa (xác định) khi mẫu thức Q\ne 0. Tìm điều kiện xác định của một phân thức nghĩa là tìm những giá trị của biến làm mẫu bằng 0, rồi loại các giá trị đó ra.
Với B=\dfrac{2x+7}{x-4}: mẫu là x-4. Mẫu bằng 0 khi x=4. Vậy điều kiện là x\ne 4. Tử 2x+7 không ảnh hưởng, vì tử bằng 0 vẫn được (ví dụ \dfrac{0}{5}=0).
Ví dụ 1 · Điều kiện xác định của B=\dfrac{2x+7}{x-4}, và kiểm tra bằng số
Xác định mẫu thức: mẫu của B là x-4.
Vì sao làm vậy: điều kiện xác định chỉ do mẫu quyết định, nên ta nhìn thẳng vào mẫu.
Cho mẫu khác 0: x-4\ne 0. Chuyển vế: x\ne 4.
Vì sao làm vậy: tìm những giá trị "cấm" bằng cách giải phương trình x-4=0, rồi loại chúng ra.
Kết luận: điều kiện xác định của B là x\ne 4.
Vì sao làm vậy: đề hỏi "viết điều kiện xác định", nên cần một câu kết luận rõ ràng.
Kiểm tra bằng số: với x=1 thì B=\dfrac{2\cdot 1+7}{1-4}=\dfrac{9}{-3}=-3, hợp lệ. Với x=4 thì mẫu 4-4=0, không tính được.
Vì sao làm vậy: một giá trị được phép thì cho ra số; một giá trị bị cấm thì không. Thử một ví dụ mỗi loại giúp tin vào điều kiện vừa tìm.
Bảng dưới đây gom vài dạng mẫu thức thường gặp để em rèn phản xạ.
Mẫu · Mẫu bằng 0 · Điều kiện
x+5 · x=-5 · x\ne -5
2x-6 · x=3 · x\ne 3
x^{2}-9 · x=3 hoặc x=-3 · x\ne 3 và x\ne -3
x(x-2) · x=0 hoặc x=2 · x\ne 0 và x\ne 2
x^{2}+1 · không có nghiệm thực · mọi x đều được
Bẫy thường gặp
Bẫy: viết điều kiện là x\gt 4 hoặc x\lt 4. Nhiều em nghĩ "x khác 4" thì phải chọn một phía. Nhưng x=1 và x=10 đều là giá trị hợp lệ: x=10 cho \dfrac{27}{6}, x=1 cho -3. Chỉ đúng một số bị loại. Kí hiệu x\ne 4 nghĩa là "mọi số, trừ 4".
Bẫy thường gặp
Bẫy: gặp mẫu có hai thừa số thì chỉ loại một nghiệm. Với mẫu x^{2}-9=(x-3)(x+3), mẫu bằng 0 ở cả hai giá trị x=3 và x=-3. Nếu chỉ ghi x\ne 3, em vẫn để lọt x=-3.
Bài 1 Mức 1 · Nhận biết
Tính giá trị của A=x-9 khi x=25.
Gợi ý 1. Thay x=25 vào biểu thức.
Gợi ý 2. Giữ đúng thứ tự: lấy giá trị của x trừ đi 9, không phải 9 trừ đi x.
Chính xác! A=25-9=16.
Em đã cộng 25+9; biểu thức là x-9, có dấu trừ.
Em đã lấy 9-25; hãy giữ thứ tự x-9 với x=25.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Thay x=25: A=25-9=16.
Bài 2 Mức 1 · Nhận biết
Phân thức \dfrac{5x-1}{x+6} không xác định tại giá trị nào của x?
Gợi ý 1. Mẫu bằng 0 khi nào?
Gợi ý 2. Chỉ mẫu x+6 quyết định, tử 5x-1 không liên quan. Tìm số mà cộng thêm 6 thì được 0, chú ý dấu.
Chính xác! Mẫu x+6=0 khi x=-6, nên điều kiện là x\ne -6.
Em lấy nghiệm của x-6=0. Mẫu là x+6, nên nghiệm của x+6=0 là -6.
Đó là nghiệm của tử 5x-1=0. Điều kiện xác định chỉ do mẫu.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
Phân thức không xác định khi mẫu bằng 0: x+6=0, suy ra x=-6.
Bài 3 Mức 1 · Nhận biết
Phân thức \dfrac{3}{2x-8} xác định khi x\ne a. Tìm số a.
Gợi ý 1. Cho 2x-8=0.
Gợi ý 2. Chuyển -8 sang vế phải (đổi dấu) để còn 2x bằng một số, rồi chia cho hệ số của x.
Chính xác! 2x-8=0 khi x=4.
Em quên chia cho hệ số 2: 2x=8 thì x=4.
Em nhầm dấu: 2x-8=0 cho x=+4.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
2x-8=0 suy ra 2x=8, x=4. Vậy điều kiện là x\ne 4.
Bài 4 Mức 2 · Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị của x làm phân thức \dfrac{x}{x^{2}-16} không xác định. Nhập hai giá trị, cách nhau dấu chấm phẩy.
Gợi ý 1. Phân tích x^{2}-16=(x-4)(x+4).
Gợi ý 2. Mẫu bằng 0 khi một trong hai thừa số bằng 0.
Chính xác! x^{2}-16=0 khi x=4 hoặc x=-4.
Em chỉ lấy một giá trị. Mẫu x^{2}-16 bằng 0 ở cả x=4 và x=-4.
Em lấy x^{2}=16 nhưng chưa lấy căn: x=\pm 4.
Lời giải mở sau khi em làm đúng, thử 2 lần, hoặc xem hết gợi ý.
Lời giải
x^{2}-16=(x-4)(x+4)=0 khi x=4 hoặc x=-4. Vậy phân thức không xác định tại x=4 và x=-4.
3 Câu 1c: rút gọn biểu thức có căn bậc hai
Ba kĩ thuật quen thuộc, một cách đặt ẩn phụ, và một thói quen giữ điều kiện.
Câu 1c là câu nặng nhất trong ba ý: rút gọn một biểu thức có hai phân thức, có căn bậc hai và có nhân. Nhiều em thấy dài nên sợ. Nhưng nếu đi từng bước, nó chỉ dùng ba kĩ thuật em đã biết: quy đồng , cộng phân thức , và triệt tiêu thừa số chung .
Trước hết, bớt rối bằng một mẹo: đặt t=\sqrt{x} (căn bậc hai của x). Khi đó t\gt 0 (vì x\gt 0), t^{2}=x, và điều kiện x\ne 9 đổi thành t\ne 3 (vì x=9 khi t=3, với t\gt 0). Biểu thức trở thành
C=\left(\dfrac{1}{t-3}+\dfrac{1}{t+3}\right)\cdot\dfrac{t+3}{t}
nhìn quen hơn nhiều: chỉ có chữ t, như một bài rút gọn phân thức thường. Mọi thứ khác là xử lí phân thức.
Ghi nhớ: mẫu chung của hai phân thức
Hằng đẳng thức (t-3)(t+3)=t^{2}-9. Với t=\sqrt{x} thì t^{2}-9=x-9. Đây chính là mẫu chung của hai phân thức trong ngoặc, và cũng là con số x-9 em gặp ở Câu 1a.
Điều kiện x\gt 0 và x\ne 9 không phải để cho đẹp. Thứ nhất, \sqrt{x} chỉ có nghĩa khi x\ge 0. Thứ hai, \sqrt{x} nằm ở mẫu của phân thức \dfrac{t+3}{t}, nên \sqrt{x}\ne 0, tức x\gt 0. Thứ ba, \sqrt{x}-3 nằm ở mẫu, nên \sqrt{x}\ne 3, tức x\ne 9. Còn \sqrt{x}+3 luôn dương, không gây thêm điều kiện nào.
Ví dụ 2 · Rút gọn C từng bước (đặt t=\sqrt{x}, với t\gt 0, t\ne 3)
Viết lại: C=\left(\dfrac{1}{t-3}+\dfrac{1}{t+3}\right)\cdot\dfrac{t+3}{t}.
Vì sao làm vậy: đặt t để công thức gọn, dễ nhìn ra mẫu chung.
Quy đồng trong ngoặc, mẫu chung (t-3)(t+3): \dfrac{1}{t-3}+\dfrac{1}{t+3}=\dfrac{(t+3)+(t-3)}{(t-3)(t+3)}.
Vì sao làm vậy: muốn cộng hai phân thức khác mẫu, ta đưa chúng về cùng mẫu; nhân tử và mẫu của phân thức đầu với t+3, phân thức sau với t-3.
Rút gọn tử: (t+3)+(t-3)=2t. Vậy ngoặc bằng \dfrac{2t}{(t-3)(t+3)}.
Vì sao làm vậy: hai số +3 và -3 triệt tiêu nhau, chỉ còn t+t=2t.
Nhân với phân thức thứ hai: C=\dfrac{2t}{(t-3)(t+3)}\cdot\dfrac{t+3}{t}.
Vì sao làm vậy: phép nhân phân thức là nhân tử với tử, mẫu với mẫu; ta thấy trước thừa số chung t và t+3.
Triệt tiêu thừa số chung t (vì t\gt 0) và t+3 (vì t+3\gt 0): C=\dfrac{2}{t-3}.
Vì sao làm vậy: được phép gạch vì các thừa số này khác 0; nếu chúng có thể bằng 0, ta phải xét riêng trường hợp đó.
Trả về x: C=\dfrac{2}{\sqrt{x}-3} với x\gt 0 và x\ne 9.
Vì sao làm vậy: đề cho biến x, nên kết luận phải viết theo x, kèm điều kiện.
Bây giờ đến bước "dịch ngược": ta thử bằng số xem công thức vừa rút gọn có đúng không. Bảng dưới tính từ biểu thức gốc và từ biểu thức rút gọn; hai cột cuối trùng nhau ở mọi dòng (cột t là t=\sqrt{x}, cột C rút gọn là \dfrac{2}{t-3}).
x · t · C gốc · C rút gọn
4 · 2 · -2 · -2
16 · 4 · 2 · 2
25 · 5 · 1 · 1
36 · 6 · \dfrac{2}{3} · \dfrac{2}{3}
100 · 10 · \dfrac{2}{7} · \dfrac{2}{7}
GV
Cô Lukato
Trong bảng, em chọn toàn các số x là số chính phương để \sqrt{x} ra số đẹp, tránh phải bấm máy. Mẹo này dùng được cả trong phòng thi: muốn kiểm tra một phép rút gọn có căn, hãy thử với x=4, 16, 25. Nếu hai vế lệch nhau ở một dòng, chắc chắn đã có lỗi.
Bẫy thường gặp
Bẫy: gạch "nhầm chỗ". Ở bước 4 có \dfrac{2t}{(t-3)(t+3)}\cdot\dfrac{t+3}{t}. Được phép gạch t với t và (t+3) với (t+3) vì chúng là thừa số của tử và mẫu. Nhưng nếu em thấy \dfrac{t+3}{t} mà gạch t với 3 (\dfrac{t+3}{t}=\dfrac{3}{1}), hoặc gạch t ở tử với t trong t-3, là sai: một số hạng trong tổng không gạch được. Ví dụ với t=4: \dfrac{t+3}{t}=\dfrac{7}{4}, còn \dfrac{3}{1}=3.
Câu hỏi hay: nếu điều kiện đã rõ ở đề (x\gt 0, x\ne 9), sao ta còn phải nói tới điều kiện khi trình bày? Ví dụ 3 dưới đây cho thấy vì sao. Ta rút gọn một biểu thức khác , có thừa số bị triệt tiêu, và xem điều kiện nào "biến mất" khỏi kết quả nhưng vẫn phải giữ.